山东省烟台市芝罘实验中学2021年高一数学文测试题含解析

山东省烟台市芝罘实验中学2021年高一数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )
参考答案：
D
上底半径r＝1，下底半径R＝2.∵S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π，
2. 函数的定义域是
A、B、C、D、 [0，+∞)
参考答案：
D
【知识点】函数的定义域与值域
【试题解析】要使函数有意义，需满足：
故答案为：D
3. 点E、F、G、H分别是四面体ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
略
4. （）
A． B． C． D．
参考答案：
A 略
5. 函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的区间是（）
A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）
参考答案：
A
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由函数的解析式可得 f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（）=﹣＞0，再根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的区间．
【解答】解：由于函数f（x）=e x+x﹣2，且f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（）=﹣＞0，
可得函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的区间是（0，），
故选A．
【点评】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，求函数的值，属于基础题．
6. 函数f（x）=的图象大致是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
【考点】函数的图象．
【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断即可．
【解答】解：函数f（x）=，可知函数是奇函数，排除B，
当x=时，f（）=＜0，排除C．
x的值比较大时，f（x）=，可得函数的分子是增函数，但是没有分母增加的快，
可知函数是减函数．
排除D，
故选：A．
7. 下列说法正确的是（）
A．第二象限角比第一象限角大
B．60°角与600°角是终边相同角
C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为
参考答案：
D
【考点】象限角、轴线角．
【分析】举例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角得范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确．
【解答】解：对于A，120°是第二象限角，420°是第一象限角，120°＜420°，故A错误；
对于B，600°=360°+240°，与60°终边不同，故B错误；
对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或y轴正半轴上的角，故C错误；
对于D，分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨慢是逆时针旋转，
∴钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为×2π=，故D正确．
故选：D．
8. 已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集是
．．．．
参考答案：B
9. 如果，，那么（）．
A．B．C．D．
参考答案：
C
∵，，
∴，∴，，
∴，故选．
10. （5分）下列对应f：A→B：
①A=R，B={x∈R|x＞0}，f：x→|x|；
②A=N，B=N*，f：x→|x﹣1|；
③A={x∈R|x＞0}，B=R，f：x→x2．
是从集合A到B映射的有（）
A．①②③B．①②C．②③D．①③
参考答案：
C
考点：映射．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：利用映射的定义选择哪个对应是映射，把握准“对于集合A中任何元素在集合B中有唯一确定的元素与之对应”进行判断．
解答：①A=R，B={x∈R|x＞0}，f：x→|x|，x=0时，B中没有元素对应，∴不是从集合A到B映射；
②A=N，B=N*，f：x→|x﹣1|，符合映射的定义，是从集合A到B映射；
③A={x∈R|x＞0}，B=R，f：x→x2，符合映射的定义，是从集合A到B映射．
故选：C
点评：本题考查映射的概念，弄准两个集合在法则f对应下是否满足映射的定义要求．属于概念性基础问题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数，且，则。

参考答案：
12. 在扇形中，已知半径为，弧长为，则圆心角是弧度，扇形面积是 .
参考答案：
,48
13. 设集合，，若，则a 的取值范围为
________．
参考答案：
.
【分析】
先化简集合A,再根据得到关于a 的不等式求出a的取值范围.
【详解】由得，∴，由得，∴．
又当时，满足，时，也满足，∴. 故答案为
【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．
14. 已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，则cos2α=．
参考答案：
﹣【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣β）和cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]的值．
【解答】解：∵＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）
==，
∵sin（α+β）=﹣，∴cos（α+β）=﹣=﹣，
则cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]=cos（α+β）cos（α﹣β）﹣sin（α﹣β）sin（α﹣β）
=﹣?﹣?（﹣）=，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
15. （3分）已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都成立，则实数a的取值范围是．
参考答案：
（﹣∞，﹣5]
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据奇函数在对称区间上单调性相同结合已知可得f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，进而
可将f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都成立，转化为ax+1≤x﹣2对任意都成立，即a≤=1﹣对任意都成立，即a小于等于函数y=1﹣在的最小值，利用单调性法求出函数y=1﹣在的最小值，可得实数a的取值范围
解答：根据奇函数在对称区间上单调性相同且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
故f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，
若f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都成立，则ax+1≤x﹣2对任意都成立，
即a≤=1﹣对任意都成立，
由函数y=1﹣在为增函数，
故x=时，最最小值﹣5
即a≤﹣5
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]
故答案为：（﹣∞，﹣5]
点评：本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
16. 若且，则
.
参考答案：
0或
17. 已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．
参考答案：
（﹣1，﹣）
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】由于不ax2+bx+c＞0的解集可得：1，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，利用根与系数的关系把不等式cx2﹣bx+a＞0化为二次不等式，求解即可．
【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，由题意得：a＜0，且﹣=1+2=3，=1×2=2，
即b=﹣3a，c=2a，
故不等式cx2﹣bx+a＞0可化为：2x2+3x+1＜0，
化简得（2x+1）（x+1）＜0，
解得：﹣1＜x＜﹣．
∴所求不等式的解集为（﹣1，﹣），
故答案为：（﹣1，﹣）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，是中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．
（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；
（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出四边形BCDM是正方形，从而BD⊥CM，又DF⊥CM，由此能证明CM⊥平面BDF．（2）过N作NO∥EF，交EF于O，连结MO，则四边形EFON是平行四边形，连结OE，则四边形BMON 是平行四边形，由此能推导出N是CE的中点时，MN∥平面BEF．
【解答】证明：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD
∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，
连接DM，则DM⊥AB，
∵AB∥CD，∠BCD=90°，
∴四边形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，
∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．
解：（2）当CN=1，即N是CE的中点时，MN∥平面BEF．证明如下：
过N作NO∥EF，交ED于O，连结MO，
∵EC∥FD，∴四边形EFON是平行四边形，
∵EC=2，FD=3，∴OF=1，∴OD=2，
连结OE，则OE∥DC∥MB，且OE=DC=MB，
∴四边形BMOE是平行四边形，则OM∥BE，又OM∩ON=O，∴平面OMN∥平面BEF，
∵MN?平面OMN，∴MN∥平面BEF．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19. 已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的单调递增区间.
参考答案：
（I）；（II）函数的单调递增区间是．
（Ⅱ）令
函数的单调递增区间是
由,得8分
设，易知.
所以, 当时,在区间上单调递增. 10分
考点：三角函数的图象与性质．
【方法点晴】本题主要考查了三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质及三角函数的单调区间的
求解，本题的解答中利用三角恒等变换的公式求解函数的解析式是解答的关键，进而再利用三角函数的性质即可得到结论，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的化简与运算能力．
20. （12分）已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且
．
①求角A的大小．
②若．
参考答案：
考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．
专题：计算题．
分析：①把已知等式的左边去括号后，分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与
差的正弦函数公式变形，得出sin（2A﹣）的值为1，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
②利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA及已知的面积代入求出bc的值，利用余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA，根据完全平方公式变形后，将cosA，a及bc的值代入，求出b+c的值，将bc=8与b+c=2联立组成方程组，求出方程组的解集即可得到b与c的值．
解答：①∵cosA（sinA﹣cosA）=，
∴sinAcosA﹣cos2A=sin2A﹣（1+cos2A）=sin2A﹣cos2A﹣=，
即sin（2A﹣）=1，又A为三角形的内角，
∴2A﹣=，
解得：A=；
②∵a=2，S△ABC=2，sinA=，
∴bcsinA=2，即bc=8①，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，即8=（b+c）2﹣24，解得：b+c=4②，
联立①②，解得：b=c=2．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
21. 已知函数
(1)若求实数的值，并求此时函数的最小值；
(2)若为偶函数，求实数的值；
(3)若在上是减函数，那么实数的取值范围。

参考答案：
解：（1）由题可知，即
此时函数
故当时，函数。

(4)
（2）若为偶函数，则有对任意
即,故
(8)
（3）函数的单调减区间是，而在上是减函数
∴即故实数的取值范围为
(12)
略
22. 已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k?2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．
参考答案：
【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h（t）的最值，从而求出k的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n
∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1
∵m＞0依题意得，
即，
解得
∴g（x）=x2﹣2x+1，
（Ⅱ）∵
∴，
∵f（2x）﹣k?2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，
即在x∈[﹣3，3]时恒成立
∴在x∈[﹣3，3]时恒成立
只需
令，由x∈[﹣3，3]得
设h（t）=t2﹣4t+1
∵h（t）=t2﹣4t+1
=（t﹣2）2﹣3
∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2当t=8时，取得最大值33．
∴k≥h（t）max=h（8）=33
∴k的取值范围为[33，+∞）．。