高考数学(文)二轮复习 高考小题标准练(六) Word版含解析

高考小题标准练(六)
时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________
一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A ＝{x |y ＝1－x }，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．[0，＋∞) C ．(0,1) D ．[0,1]
解析：由A ＝(－∞，1]，B ＝[0，＋∞)，则A ∩B ＝[0,1]．故选D. 答案：D
2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2
x
的零点所在的大致区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2，e)
D ．(3,4)
解析：由于f (1)＝ln2－21<0，f (2)＝ln3－1>0，由根的存在定理得函数f (x )＝ln(x ＋1)－2
x 的
零点所在的大致区间是(1,2)．故选B.
答案：B
3．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A ．1 cm 3
B ．2 cm 3
C ．3 cm 3
D ．6 cm 3
解析：由正视图、俯视图可知该三棱锥底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1
和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为13×1
2
×1×2×3＝1(cm 3)．故选
A.
答案：A
4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )．记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )
A ．f (x )
B ．－f (x )
C ．g (x )
D ．－g (x )
解析：根据题意，(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x 的左边都是偶函数，求导后都是奇函数．现在f (x )是偶函数，根据上面的推导，所以其导函数g (x )是奇函数，故g (－x )＝－g (x )，故选D.
答案：D
5．已知点P (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，2x －y ≤0，
kx －y ＋1≥0
的一个动点，z ＝|x ＋y |，若对满足条件的
任意点P 都有z ≤3，则实数k 的取值范围是( )
A ．[－1,1]
B ．(－∞，1]
C ．[0,3]
D ．(－∞，1]∪[3，＋∞)
解析：令u ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋u .由题意可知u ≥0.
当－1≤k <2时(如图1)，将y ＝2x 与y ＝kx ＋1的交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12－k ，22－k 代入y ＝－x ＋u 得
z max ＝u max ＝
12－k ＋22－k ＝32－k
≤3，即k ≤1，所以－1≤k ≤1； 当k <－1时(如图2)，z max ＝u max ＝1，满足题意；
当k ≥2时(如图3)，区域为不封闭区域，不存在最大值．故k 的取值范围是k ≤1.故选B.
答案：B
6．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →
)＝0，则△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
解析：由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，得|AB →|2－|AC →|2＝0，所以|AB →|＝|AC →
|.故△ABC 为等腰三角形．故选A. 答案：A
7．若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是奇函数，且在区间⎝⎛⎭⎫0，π
4上是增函数，则实数φ可能是( ) A ．－π
2 B ．0
C.π
2
D ．π 解析：由函数为奇函数得2cos(－2x ＋φ)＝－2cos(2x ＋φ)，化简得cos2x cos φ＝0恒成立，
故cos φ＝0，所以φ＝k π＋π
2
，k ∈Z .当k 为偶数时，y ＝－2sin2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数；当k 为奇数时，y ＝sin2x 在区间⎝⎛⎭
⎫0，π
4上为增函数，故选A. 答案：A
8．从分别写有1,2,3,4的四张卡片中随机取出两张，则取出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是( )
A.13
B.12
C.16
D.34
解析：四张卡片中随机取出两张卡片上的数字之积有6个基本事件：
1×2,1×3,1×4,2×3,2×4,3×4，只有1×3满足，故数字之积是奇数的概率是1
6
.故选C.
答案：C
9．数列{a n }的前n 项和为S n .若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，1
5
，
25，35，45，…，1n ，2
n ，…，n －1n
，…有如下运算和结论： ①a 23＝38 ②S 11＝31
6
③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列
④数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和为T n ＝n 2＋n
4
⑤若存在正
整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝5
7
.
其中正确的运算结果或结论的个数是( ) A ．5 B ．3 C ．2 D ．1
解析：由题意可得a 23＝28，①错误；S 11＝12＋13＋…＋16＝31
6，②正确；可求出③中数列
的通项公式为n
2，③错误；由此可求出该数列前n 项和为T n ＝n 2＋n 4，④正确；可验证⑤也正
确．故选B.
答案：B 10．已知直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线交于P ，Q 两点，由点P ，Q 分别向准线引垂线PR ，QS ，垂足分别为R ，S .若|PF |＝a ，|QF |＝b ，M 为RS 的中点，则|MF |＝( )
A ．a ＋b B.1
2
(a ＋b )
C ．ab D.ab
解析：易证∠RFS ＝90°，故|MF |＝12|RS |＝1
2
(a ＋b )2－(a －b )2＝ab .故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)
11．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为椭圆上一点，则当P A 1→·PF 2
→
取得最小值时，|P A →1＋PF 2→
|的值为__________．
解析：设点P (x ，y )，则P A 1→＝(－2－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，从而P A 1→·PF 2→
＝(1－x )(－
2－x )＋y 2＝x 2＋x －2＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14
(x ＋2)2，故当x ＝－2时，P A 1→·PF 2→取得最小值，此时P A 1→＝
(0,0)，PF 2→＝(3,0)，从而|P A 1→＋PF 2→
|＝3.
答案：3
12．已知正数a ，b 分别为回归直线方程y ^
＝bx ＋a 的常数项和一次项系数，其中x 与y 之间有如下对应数据：
则1a ＋1
b
的最小值是__________． 解析：x ＝4，y ＝92，回归直线y ^
＝bx ＋a 通过样本的中心点⎝⎛⎭⎫4，92，所以4b ＋a ＝92
.所以1a ＋1b ＝2
9(a ＋4b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥29⎝⎛⎭
⎫a ·1a ＋2b ·1b 2＝2. 答案：2
13．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，
x ＋y ＋1≤0，
则3x ＋2y －5
x －1
的取值范围是__________．
解析：作出可行域，如图所示，知点(x ，y )在△ABC 的内部及其边界，
3x ＋2y －5x －1
＝
3(x －1)＋2(y －1)x －1＝3＋2·y －1
x －1.由图可知，点(0，－1)与(1,1)连线的斜率最大且最大值为2，
点(－1,0)与(1,1)连线的斜率最小且最小值为12，所以12≤y －1x －1≤2，即4≤3＋2·y －1x －1
≤7.
答案：[4,7]
14．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－
x
，x ∈(－∞，1)，log 81x ，x ∈(1，＋∞)，则满足方程f (x )＝1
4的x 的值是__________．
解析：令2－x ＝14，得x ＝2∉(－∞，1)，舍去；令log 81x ＝14，所以x ＝811
4＝3∈(1，＋∞)，
所以x ＝3.
答案：3
15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于__________．
解析：EF ∥平面AB 1C ，平面EFCA ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC .又因为点E 为AD
的中点，所以EF 是△DAC 的中位线．又由正方体容易知面对角线AC ＝22，所以EF ＝1
2AC
＝ 2.
答案： 2。