练素养 2. 用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关的应用课件冀教版数学九年级上册
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设直线 AB 的表达式为 y＝ax＋b，代入点 A，B 的坐标 得－－24aa＋＋bb＝＝42，，解得ab＝＝16，. ∴直线 AB 的表达式为 y＝x＋6.
∵AC∥y 轴交 x 轴于点 C，A(－2，4)，∴C(－2，0)． ∴S△ ABC＝12×4×2＝4. 设 P(p，p＋6)，∴S△PAC＝12×4×(p＋2)＝2S△ABC＝8. ∴2p＋4＝8.∴p＝2.∴P(2，8)．
【解】直线AB向下平】设直线 AB 平移后的表达式为 y＝－x＋n. 令－x＋n＝4x，变形，得 x2－nx＋4＝0. ∵一次函数 y＝－x＋n 的图像与反比例函数 y＝4x的图像只 有一个交点，
∴(－n)2－16＝0，解得 n1＝4，n2＝－4.
∴易得直线 AB 向下平移了 1 个单位长度或 9 个单位长度．
面积为 18，则 k 的值为( )
A．18
B．36
C．－18
D．－36
【点拨】如图，连接 OP.
∵点 B 是点 A 关于 x 轴的对称点，
∴OA＝OB，∴S△ AOP＝S△ POB＝12S△ PAB．
∵△PAB 的面积为 18，∴S△AOP＝9.∴|k|＝18. 又∵反比例函数 y＝kx(k≠0，x＜0)的图像在第二象限，
(1)反比例函数的表达式为__y_＝__2x___；
【点拨】∵反比例函数 y＝kx的图像经过点 A(1，2)， ∴2＝k1，∴k＝2. ∴反比例函数的表达式为 y＝2x.
(2)求图中阴影部分的面积． 【解】∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点 O 重 合，边分别与坐标轴平行，∴设 B 点的坐标为(m，m)． ∵反比例函数 y＝2x的图像经过 B 点， ∴m＝m2 ，即 m2＝2. ∴易得小正方形的面积为 4m2＝8.
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3．[2023·长沙]如图，在平面直角坐标系中，点 A 在反比例
函数 y＝kx(k 为常数，k＞0，x＞0)的图像上，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，连接 OA．若△ OAB 的面积为1192，
19 则 k＝____6____．
【点拨】由 k 的几何意义可得
k2＝1192，所以 k＝169.
(2)已知 P 为反比例函数 y＝4x图像上的一点，S△OBP＝2S△OAC， 点 P 的坐标为_(_2_，__2_)_或__(－__2_，__－__2_)__．
【点拨】在 y＝x＋3 中，当 y＝0 时，x＝－3， ∴B(－3，0)．∴OB＝3. ∵C(0，3)，∴OC＝3. 过点 A 作 AH⊥y 轴于点 H，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D， 则 AH＝1. ∵S△ OBP＝2S△ OAC， ∴12OB·PD＝2×12OC·AH，即12×3×PD＝2×12×3×1.
∴PD＝2. ∴点 P 的纵坐标为 2 或－2. 将 y＝2 代入 y＝4x，得 x＝2； 将 y＝－2 代入 y＝4x，得 x＝－2， ∴点 P 的坐标为(2，2)或(－2，－2)．
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6.如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原 点 O 重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数 y＝kx的图 像与大正方形的一边交于点 A(1，2)， 且经过小正方形的顶点 B．
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4．[2024·郑州外国语中学月考]如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝－x＋5 的图像与反比例函数 y＝kx(k＞ 0)的图像相交于 A，B 两点，与 x 轴相交于点 C，连接 OB，且△ BOC 的面积为52.
(1)反比例函数的表达式为___y＝__4x___； 【点拨】设点 B 的坐标为(a，b)．根据题意可得点 C 的坐 标为(5，0)，则 S△BOC＝12OC·b＝52b＝52，可得 b＝1. ∵点 B 在一次函数 y＝－x＋5 的图像上，∴易得点 B 的坐 标为(4，1)．由反比例函数 y＝kx(k＞0)的图像过点 B(4，1)， 得 1＝k4，∴k＝4.∴反比例函数的表达式为 y＝4x.
冀教版 九年级上
第二十七章 反比例函数 练素养 2. 用反比例函数比例系数k
的几何意义解与面积相关的应用
1．[2024·邢台信都区月考]如图，点 P 是反比例函数 y＝kx(k≠0，
x<0)图像上一点，过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A，点 B 是点
A 关于 x 轴的对称点，连接 PB，若△ PAB 的
(2)连接OA，求△AOB的面积； 【解】由题意得－x＋5＝4x. 变形，得 x2－5x＋4＝0， 解得 x1＝1，x2＝4. ∴易得点 A 的坐标为(1，4)． ∴S△ AOB＝S△AOC－S△ BOC＝12×5×4－52＝7.5.
(3)将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的 图像只有一个交点，请直接写出直线AB向下平移了几 个单位长度．
(1)求直线AB的表达式和反比例函数的表达式； 【解】∵直线 y＝x＋b 与反比例函数 y＝kx(x＞0)的图像交 于点 A(2，3)， ∴3＝2＋b，3＝k2.∴b＝1，k＝6. ∴直线 AB 的表达式为 y＝x＋1，反比例函数的表达式为 y＝6x.
(2)求△ABC的面积． 【解】在 y＝x＋1 中，令 x＝0，则 y＝1，∴B(0，1)． 把 y＝1 代入 y＝6x，得 x＝6，∴C(6，1)． ∴BC＝6.∴S△ ABC＝12×6×(3－1)＝6.
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分 别与坐标轴平行，且A(1，2)， ∴易得大正方形在第一象限的顶点坐标为(2，2)． ∴易得大正方形的面积为4×22＝16. ∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面 积＝16－8＝8.
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7．如图，这是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角 坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为 y＝－6x，y＝6x. 现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成矩形产 品按面积计算，每单位面积 25 元， 请你帮助工人师傅计算一下，所 用钢条一共花了多少钱？
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5．[2023·乐山]如图，一次函数 y＝kx＋b 的图像与反比例函 数 y＝4x的图像交于点 A(m，4)，与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C(0，3)．
(1)求m的值和一次函数的表达式； 【解】∵点 A(m，4)在反比例函数 y＝4x的图像上， ∴4＝m4 .∴m＝1.∴A(1，4)． 又∵点 A(1，4)，C(0，3)都在一次函数 y＝kx＋b 的图像 上，∴kb＋＝b3＝，4，解得kb＝＝13，. ∴一次函数的表达式为 y＝x＋3.
(1)反比例函数的表达式为__y_＝__－__8x_(x_<_0_)_． 【点拨】连接 AO. ∵OC＝2OD，△ ACD 的面积是 6， ∴S△ AOC＝4.∴|k|＝8. ∵图像在第二象限，∴k＝－8. ∴反比例函数的表达式为 y＝－8x(x<0)．
(2)点P为第一象限内直线AB上一点，且△PAC的面积等于 △BAC面积的2倍，求点P的坐标． 【解】∵点 A(－2，m)，B(n，2)在函数 y＝－8x(x<0)的图 像上，∴A(－2, 4)，B(－4，2)．
∴k＝－18.故选 C． 【答案】C
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2．[2023·鞍山]如图，直线 AB 与反比例函数 y＝kx(x<0)的图 像交于点 A(－2，m)，B(n，2)，过点 A 作 AC∥y 轴交 x 轴于点 C，在 x 轴正半轴上取一点 D，使 OC＝2OD，连 接 BC，AD，△ ACD 的面积是 6.
【解】由题易知两条坐标轴将矩形 ABCD 分成四个全等的 小矩形． 易知点 A 为反比例函数 y＝6x的图像上的一点， ∴S 矩形 AEOH＝6.∴S 矩形 ABCD＝4×6＝24. ∴总费用为 25×24＝600(元)． 答：所用钢条一共花了 600 元．
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8．[2023·江西]如图，已知直线 y＝x＋b 与反比例函数 y＝kx (x＞0)的图像交于点 A(2，3)，与 y 轴交于点 B，过点 B 作 x 轴的平行线交反比例函数 y＝kx(x＞0)的图像于点 C， 连接 AC．
设直线 AB 的表达式为 y＝ax＋b，代入点 A，B 的坐标 得－－24aa＋＋bb＝＝42，，解得ab＝＝16，. ∴直线 AB 的表达式为 y＝x＋6.
∵AC∥y 轴交 x 轴于点 C，A(－2，4)，∴C(－2，0)． ∴S△ ABC＝12×4×2＝4. 设 P(p，p＋6)，∴S△PAC＝12×4×(p＋2)＝2S△ABC＝8. ∴2p＋4＝8.∴p＝2.∴P(2，8)．
【解】直线AB向下平】设直线 AB 平移后的表达式为 y＝－x＋n. 令－x＋n＝4x，变形，得 x2－nx＋4＝0. ∵一次函数 y＝－x＋n 的图像与反比例函数 y＝4x的图像只 有一个交点，
∴(－n)2－16＝0，解得 n1＝4，n2＝－4.
∴易得直线 AB 向下平移了 1 个单位长度或 9 个单位长度．
面积为 18，则 k 的值为( )
A．18
B．36
C．－18
D．－36
【点拨】如图，连接 OP.
∵点 B 是点 A 关于 x 轴的对称点，
∴OA＝OB，∴S△ AOP＝S△ POB＝12S△ PAB．
∵△PAB 的面积为 18，∴S△AOP＝9.∴|k|＝18. 又∵反比例函数 y＝kx(k≠0，x＜0)的图像在第二象限，
(1)反比例函数的表达式为__y_＝__2x___；
【点拨】∵反比例函数 y＝kx的图像经过点 A(1，2)， ∴2＝k1，∴k＝2. ∴反比例函数的表达式为 y＝2x.
(2)求图中阴影部分的面积． 【解】∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点 O 重 合，边分别与坐标轴平行，∴设 B 点的坐标为(m，m)． ∵反比例函数 y＝2x的图像经过 B 点， ∴m＝m2 ，即 m2＝2. ∴易得小正方形的面积为 4m2＝8.
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3．[2023·长沙]如图，在平面直角坐标系中，点 A 在反比例
函数 y＝kx(k 为常数，k＞0，x＞0)的图像上，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，连接 OA．若△ OAB 的面积为1192，
19 则 k＝____6____．
【点拨】由 k 的几何意义可得
k2＝1192，所以 k＝169.
(2)已知 P 为反比例函数 y＝4x图像上的一点，S△OBP＝2S△OAC， 点 P 的坐标为_(_2_，__2_)_或__(－__2_，__－__2_)__．
【点拨】在 y＝x＋3 中，当 y＝0 时，x＝－3， ∴B(－3，0)．∴OB＝3. ∵C(0，3)，∴OC＝3. 过点 A 作 AH⊥y 轴于点 H，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D， 则 AH＝1. ∵S△ OBP＝2S△ OAC， ∴12OB·PD＝2×12OC·AH，即12×3×PD＝2×12×3×1.
∴PD＝2. ∴点 P 的纵坐标为 2 或－2. 将 y＝2 代入 y＝4x，得 x＝2； 将 y＝－2 代入 y＝4x，得 x＝－2， ∴点 P 的坐标为(2，2)或(－2，－2)．
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6.如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原 点 O 重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数 y＝kx的图 像与大正方形的一边交于点 A(1，2)， 且经过小正方形的顶点 B．
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4．[2024·郑州外国语中学月考]如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝－x＋5 的图像与反比例函数 y＝kx(k＞ 0)的图像相交于 A，B 两点，与 x 轴相交于点 C，连接 OB，且△ BOC 的面积为52.
(1)反比例函数的表达式为___y＝__4x___； 【点拨】设点 B 的坐标为(a，b)．根据题意可得点 C 的坐 标为(5，0)，则 S△BOC＝12OC·b＝52b＝52，可得 b＝1. ∵点 B 在一次函数 y＝－x＋5 的图像上，∴易得点 B 的坐 标为(4，1)．由反比例函数 y＝kx(k＞0)的图像过点 B(4，1)， 得 1＝k4，∴k＝4.∴反比例函数的表达式为 y＝4x.
冀教版 九年级上
第二十七章 反比例函数 练素养 2. 用反比例函数比例系数k
的几何意义解与面积相关的应用
1．[2024·邢台信都区月考]如图，点 P 是反比例函数 y＝kx(k≠0，
x<0)图像上一点，过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A，点 B 是点
A 关于 x 轴的对称点，连接 PB，若△ PAB 的
(2)连接OA，求△AOB的面积； 【解】由题意得－x＋5＝4x. 变形，得 x2－5x＋4＝0， 解得 x1＝1，x2＝4. ∴易得点 A 的坐标为(1，4)． ∴S△ AOB＝S△AOC－S△ BOC＝12×5×4－52＝7.5.
(3)将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的 图像只有一个交点，请直接写出直线AB向下平移了几 个单位长度．
(1)求直线AB的表达式和反比例函数的表达式； 【解】∵直线 y＝x＋b 与反比例函数 y＝kx(x＞0)的图像交 于点 A(2，3)， ∴3＝2＋b，3＝k2.∴b＝1，k＝6. ∴直线 AB 的表达式为 y＝x＋1，反比例函数的表达式为 y＝6x.
(2)求△ABC的面积． 【解】在 y＝x＋1 中，令 x＝0，则 y＝1，∴B(0，1)． 把 y＝1 代入 y＝6x，得 x＝6，∴C(6，1)． ∴BC＝6.∴S△ ABC＝12×6×(3－1)＝6.
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分 别与坐标轴平行，且A(1，2)， ∴易得大正方形在第一象限的顶点坐标为(2，2)． ∴易得大正方形的面积为4×22＝16. ∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面 积＝16－8＝8.
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7．如图，这是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角 坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为 y＝－6x，y＝6x. 现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成矩形产 品按面积计算，每单位面积 25 元， 请你帮助工人师傅计算一下，所 用钢条一共花了多少钱？
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5．[2023·乐山]如图，一次函数 y＝kx＋b 的图像与反比例函 数 y＝4x的图像交于点 A(m，4)，与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C(0，3)．
(1)求m的值和一次函数的表达式； 【解】∵点 A(m，4)在反比例函数 y＝4x的图像上， ∴4＝m4 .∴m＝1.∴A(1，4)． 又∵点 A(1，4)，C(0，3)都在一次函数 y＝kx＋b 的图像 上，∴kb＋＝b3＝，4，解得kb＝＝13，. ∴一次函数的表达式为 y＝x＋3.
(1)反比例函数的表达式为__y_＝__－__8x_(x_<_0_)_． 【点拨】连接 AO. ∵OC＝2OD，△ ACD 的面积是 6， ∴S△ AOC＝4.∴|k|＝8. ∵图像在第二象限，∴k＝－8. ∴反比例函数的表达式为 y＝－8x(x<0)．
(2)点P为第一象限内直线AB上一点，且△PAC的面积等于 △BAC面积的2倍，求点P的坐标． 【解】∵点 A(－2，m)，B(n，2)在函数 y＝－8x(x<0)的图 像上，∴A(－2, 4)，B(－4，2)．
∴k＝－18.故选 C． 【答案】C
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2．[2023·鞍山]如图，直线 AB 与反比例函数 y＝kx(x<0)的图 像交于点 A(－2，m)，B(n，2)，过点 A 作 AC∥y 轴交 x 轴于点 C，在 x 轴正半轴上取一点 D，使 OC＝2OD，连 接 BC，AD，△ ACD 的面积是 6.
【解】由题易知两条坐标轴将矩形 ABCD 分成四个全等的 小矩形． 易知点 A 为反比例函数 y＝6x的图像上的一点， ∴S 矩形 AEOH＝6.∴S 矩形 ABCD＝4×6＝24. ∴总费用为 25×24＝600(元)． 答：所用钢条一共花了 600 元．
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8．[2023·江西]如图，已知直线 y＝x＋b 与反比例函数 y＝kx (x＞0)的图像交于点 A(2，3)，与 y 轴交于点 B，过点 B 作 x 轴的平行线交反比例函数 y＝kx(x＞0)的图像于点 C， 连接 AC．