福建省惠南中学高三数学(理科)月考试卷

某某省惠南中学高三年数学（理科）月考试卷
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A .
R x x y ∈-=,3
B.R x x y ∈=,sin
C. R x x y ∈=,
D.R
x x y ∈=,)21
(
2、{}
312>+=x x A ,
{}
等于
则B A x x x B ⋂≤-+=,062( )
A (]()∞+⋃--，，
123 B (][)2123，，⋃-- C [)(]2123，，
⋃-- D (](]213，，⋃-∞- 3．有关命题的说法错误的是（）.
A.命题“若2
320x x -+= 则 1x =”的逆否命题为：“若1x ≠,则2
320x x -+≠”.
B.“1x =”是“2
320x x -+=”的充分不必要条件. C .若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.
D.对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有2
10x x ++≥
4、函数)
13lg(13)(2
++-=
x x x x f 的定义域是 （ ）
A.),31(+∞- B .)1,31(- C. )31,31(- D.
)
31,(--∞ 5．已知函数
()b ax x x f --=2的两个零点是2和3,则函数()12--=ax bx x g 的零点是（）
A ．1-和2-
B ．1和2
C ．21和31
D ．21-和31-
6．使a x x <-+-|5||4|有实数解的a 为（）
A ．1>a
B ．91<<a
C ．1<a
D ．1≥a
7.函数
|32|2
--=x x y 的单调递增区间为（ ）
A ．]1,(-∞
B ． ),1[+∞
C ． ]1,(--∞，]3,1[
D ．]1,1[-，),3[+∞
8．.
=⎰
（ ）.
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4
π 9．方程3log 3
=+x x 的解所在的区间为
（ ）
A ．(0,2)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
10.设函数()f x 是定义在实数集上,它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，则
()31x f x =-，
则有（ ）
A ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11、已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程
2
||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值
X 围是
（ ）
A.[0,6π] B .[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]
6π
π
12、方程011
1
2=-+-
x x 的实数根的情况是（ ） Ａ 有且只有一个实数根 Ｂ 有两个正实数根
Ｃ 有两个负实数根 Ｄ 有一个正实数根，一个负实数根
请将选择题的答案转涂到答题卡上！
二．填空题：每小题4分，共20分（把答案填在答题卷上）
13.3log 9
log 2
8的值是
14．a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b =则5a b -=．
15．已知实数x ，y 满足2211x y x y x y -≤⎧⎪
-≥-⎨⎪+≥⎩
，则23z x y =+的最大值为．
16．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点
到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断序号是_______________.
17规定记号“⊗”表示一种运算，即2
(,)a b ab a b a b R ⊗=++∈，若0k x ⊗>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值X 围是
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．计算下列定积分。

（本小题满分10分）
（1）
3
4
|2|x dx -+⎰
（2）1
2
1
1
e dx x +-⎰
19．( 本小题满分12分)
已知集合{4,2,0,1,3,5}A =--，在平面直角坐标系中，点(,)x y 的坐标x ∈A ，y ∈A .
求：（1）点（x ，y ）正好在第二象限的概率；（2）点(,)x y 不在x 轴上的概率. 20. ( 本小题满分12分)
已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意的21,x x 都满足)()()(2121x f x f x x f +=+，且当x <0时，0)(<x f . 试判断)(x f 的单调性和奇偶性。

21、( 本小题满分12分)
已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23
与x ＝1时都取得极值 （1） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间 （2） 若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值X 围。

22、 ( 本小题满分12分) 已知函数x
x
x f y ln )(=
=。

（1）求函数)(x f y =的图像在e
x 1=处的切线方程；
（2）求)(x f y =的最大值;
(3) 设实数0>a ，求函数)()(x af x F =在[]a a 2,上的最小值 23、（本小题满分12分）已知()()()f x x x a x b =--，点()()()(),,,A s f s B t f t . （1）若1a b ==,求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若函数()f x 的导函数()f x '满足：当1x ≤时，有()f x '≤2
3恒成立，求函数()f x 的解析表达式；
（3）若0a b <<，函数()f x 在x s =和x t =
处取得极值，且a b +=，证明：OA 与OB 不可能垂直。

惠南中学高三年数学（理科）月考试卷答案
一、选择题：（每小题5分，共60分） 1—6 ACCBDA 7—12 DDCBBD
二．填空题：每小题4分，共20分（把答案填在答题卷上）
13. 3
2
14. 7 15. 18 16. ① 17.(0,4)_
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18.解：(1)3
4|2|x dx -+⎰=2
3
4
2
22x dx x dx ----+++⎰⎰（）（） =2241(2)|2x x ---+ +23
21
(2)|2
x x -+
=292
(2) 原式=1
2ln(1)|e x +-=ln ln1e -=1
19.（1）61（2）6
5
20.解： （1）令x x x x f y x -=====21,,0)0(,0令有
有,0)0()()()(==-=+-f x x f x f x f 即)(),()(x f x f x f 故-=-为奇函数 在R 上任取0,2121<-<x x x x 则，由题意知0)(21<-x x f
则0)()()()()(212121<-=-+=-x f x f x f x f x x f 故)(x f 是增函数 21．解：（1）f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f '（x ）＝3x 2＋2ax ＋b 由f '（23
－）＝
124
a b 093
－＋＝，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得 a ＝1
2
－，b ＝－2
f
2
所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－3
）与（1，＋∞） 递减区间是（－2
3
，1）
（2）f （x ）＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝
2227
＋c
为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。

要使f （x ）<c 2（x ∈〔－1，2〕）恒成立，只需c 2>f （2）＝2＋c 解得c <－1或c >2
22、解（1）)(x f 定义域为()+∞,0 1分
2
/x lnx
-1(x)=
∴f 2分
e e
f -=)1
( 3分
又2/2)1
(e e
f k == 4分
∴函数)(x f y =的在e x 1
=处的切线方程为：
)1
(22e
x e e y -=+，即e x e y 322-= 5分
（2）令0)(/=x f 得e x = 当),0(e x ∈时，0)(/>x f ，)(x f 在),0(e 上为增函数 6
分
当),(+∞∈e x 时，0)(/<x f ，在),(+∞e 上为减函数 7分
e
e f x f 1
)()(max =
=∴ 8分 （3） 0>a ，由（2）知：
)(x F 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减。

∴)(x F 在[]a a 2,上的最小值)}2(),(m in{)(min a F a F x f = 9分
2
ln 21)2()(a
a F a F =
- 10分 ∴当20≤<a 时，,0)2()(≤-a F a F =)(min x f a a F ln )(= 11分
当a <2时0)2()(>-a F a F ，=)(min x f a a F 2ln 2
1
)2(= 12分
23、解：(Ⅰ) x x x x f +-=232)(, 143)('2+-=x x x f 令'()0f x ≥得01432≥+-x x ，解得1
13
x x ≤≥或
故()f x 的增区间1(,]3
-∞和[1,)+∞4分
（Ⅱ）f '(x)=ab x b a x ++-)(232
当x ∈[-1，1]时，恒有|f '(x)|≤2
3
.
故有23-≤f '(1)≤23，23-≤f '(-1)≤23
，
及23-≤f '(0)≤2
3
6分
即⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+++-++--③
.23 ≤ab ≤2
3②,23 ≤ ab )b a (23 ≤
23①,23 ≤ ab )b a (23 ≤23
…………8分 ①+②，得29-≤ab ≤23-，………8分 又由③，得ab =2
3
-，将上式代回①
和②，得0=+b a 故x x x f 2
3
)(3
-=. 10分
（Ⅲ）假设OA ⊥OB ，即OA OB ⋅=(,())(,())()()0s f s t f t st f s f t ⋅=+=11分 故
(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1[st-(s+t)a+a 2][st-(s+t)b+b 2]=-1,……………11分
由s ，t 为f '(x)=0的两根可得，s+t=32
(a+b), st=3
1, (0<a<b) 从而有ab(a-b)2=9.………12分
这样1236249
4)()(22=≥+=
+-=+ab ab
ab b a b a 即b a +≥23，这与b a +<23矛盾. ………………………14分
故OA 与OB 不可能垂直. …。