求通项公式方法

专题一求数列通项公式的方法1：a n与S n的关系
知识点：已知数列的前n项和S n，所求出的通项公式a n一定是分段的形式吗？
解：a n＝S n－S n－1成立的条件是：________________
已知数列的前n项和S n，求通项公式a n所用方法为a n＝________________
1）但当n＝1时，a1＝S1若适合于a n＝S n－S n－1，通项公式可写为a n＝S n－S n－1；
2）当n＝1时，a1＝S1若不适合于a n＝S n－S n－1，只能分段写．
1.已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)在函数f(x)＝2x－1的图象上，(1)求数列{a n}的通项公式．
2.数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n＋1＝3S n(n≥1)，求数列{a n}的通项公式．
3.已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝1，a n＝
2S2n
2S n－1
(n≥2)，求a n. 4．已知数列{a n}，a n∈N*，S n是其前n项和，S n＝
1
8(a n＋2)
2.
(1) 数列{a n}的通项公式．（2）求证：{a n}是等差数列；
5．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，求数列{S n n }的前n 项和T n .
6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n
n
)(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，
(1)求证：数列{a n }为等差数列；
(2)T n 是数列{3a n a n ＋1
}的前n 项和，求使T n <m
20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .
7.已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋a n ·a n ＋1－a n ＝0.
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
2n
a n 的前n 项和S n .
专题二 求数列通项公式的方法2：累加法与累乘法
1.若数列{a n }是等差数列，公差为d ，则等差数列的定义
a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数 )．或a n ＋1－a n = ＝d (n ∈N *
)是一个常数即可．
用累加法推导等差数列通项公式
(1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)，则通项公式为 (2)累加法 求递推关系式形如 )(1n f a a n n +=+数列通项公式
解：当a n －a n －1＝f (n )满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1累加．
例1.设数列{}n a 中21=a ，11++=+n a a n n ，求通项n a . （2010.四川.文16）
1 在数列{}n a 中21=a ，)1
1ln(1n
a a n n ++=+*)(N n ∈，求n a .
2 已知数列{}n a 中11=a ，113
1
++=-n n n a a *)(N n ∈，求n a .
2.若数列{a n }是等比数列，公比为q 是常数且不为0，则等比数列的定义
a n ＋1a n ＝q (q ≠0是常数，n ∈N *
) 或a n a n －1
＝q (n ≥2 ，q ≠0是常数) 2累乘法：求递推关系式形如)(1n f a a n n ⋅=+ (其中)(n f 不是常量函数) 数列通项公式
当
a n a n －1＝g (n )满足一定条件时， 常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2
a 1·a 1
累乘． 在运用累加法和累乘法时，要看清项数，计算时项数易出错
(1) 用累乘法已知{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝1
2
，求数列{a n }的通项公式。

例1．设{}n a 是首项为1的正项数列,且0)1(12
2
1=+-+++n n n n a a na a n ),3,2,1( =n ，求n a .
练习：已知数列{}n a 满足11=a ，1321)1(32--++++=n n a n a a a a )2(≥n ，求n a .
类型3 递推关系式形如 q pa a n n +=+1（q p ,为常数）
（1）R q p ∈=,1⇒转化为成等差数列q a a n n +=+1，即q a a n n =-+1. （2）0,0=≠q p ⇒转化为成等比数列n n pa a =+1
，即p a a
n
n =+1.
（3）0,0,1≠≠≠q p p .其中（1）（2）两种在此不再介绍，下面就（3）来探讨一下： 例1．已知数列{}n a 中，若11=a ，321+=+n n a a )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式.
点评：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式。

那么本题的关键是如何想到同加适当的常数“3” 构造等比数列，我们可以通过设参数的方法逼出常数。

解： （设参数） m a m a n n ++=++321
（提系数） )2
3(21m
a m a n n ++=++ （令相等） 2
3m
m +=
（求参数） 3=m
练习1数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式.
2.已知数列{}n a 中，21=a ，)2)(12(1+-=+n n a a ， ,3,2,1=n ，求n a .
2 设数列{}n a 满足a a =1，c ca a n n -+=+11，*)(N n ∈，其中a ，c 为实数，且0≠c ，求
数列}{n a 的通项公式.
类型4：周期数列：
1.已知数列{}n a 满足11=a ，22-=a ，n
n a a 1
2-
=+ *)(N n ∈，求100a .
2.数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π
2
，其前n 项和为S n ，求S 2 012的值
类型5：数列递推公式是分式形式时常通过取倒数转化等差数列求通项公式： 已知数列{}n a 的53
1=
a ，1
231+=+n n n a a a ,2,1=n ，求{}n a 的通项公式.
专题3：数列求和
1．公式法(分组求和法)
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项分组后利用等差或等比数列前n 项和公式求解．
【例】已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2
3＝6a 6，且S 1,2S 2,3S 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公
式；(2)设数列{b n －a n }是一个首项为－6，公差为2的等差数列，求数列{b n }的前n 项和T n .
2．裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的.利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致. ①
1n (n ＋k )＝1k ·(1n －1
n ＋k
)；
②若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)；③1
n ＋1＋n ＝n ＋1－n 等．
【例】 已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .
(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝
1
a 2n －1(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n .
3．错位相减法
若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以公比
q ，然后错位一项与{a n b n }
的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法． 1.在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n
2n ，求T n .
2.在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，且b n ＝2
a n ·a n ＋1，求数列{
b n }的前n 项的和．。