专题06 解直角三角形中的背靠背模型(解析版)

专题06 解直角三角形中的背靠背模型
【模型展示】
【中考真题】
1、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的
3≈，结果保留整数．）
高度．（参考数据：4.1
2≈，7.1
解：过点A作AE⊥MN于E，
过点C作CF⊥MN于F ……………………1分
则EF=5.1
-=0.2 ……………2分
=
AB-
7.1
CD
在Rt⊥AEM中，
⊥⊥MAE=45°，⊥AE=ME …………………………………3分
设AE=ME=x （不设参数也可）
⊥MF=x ＋0.2，CF=28x - …………………………………………………………………4分
在Rt⊥MFC 中，⊥MFC=90°，⊥MCF=30°
⊥MF=CF·tan⊥MCF ……………………………………………………………………5分 ⊥)28(3
32.0x x -=+ …………………………………………………………………… 6分 ⊥≈x 10.0 …………………………………………………………………………………7分
⊥MN ≈12 ……………………………………………………………………………………8分
答：旗杆高约为12米．
【精典例题】
1、由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．
解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，
由题意得∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AB ＝80.
在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，
⊥BD ＝AB·sin60°＝40 3.
在Rt⊥BCD 中，⊥BCD ＝45°，
∴BC ＝BD sin45°
＝40 6. 答：BC 的长为406海里．
2、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯
角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是_m(结果保留根号)．
3、放置在水平桌面上的台灯的平面示意图如图所示，灯臂AO 长为40 cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°.由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA ，∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC .(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm.温馨提示：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，3≈1.73)
解：在Rt △ACO 中，sin 75°＝
OC OA ＝OC 40
≈0.97， 解得OC ≈38.8 cm.
在Rt △BCO 中，tan 30°＝OC BC ≈38.8BC ≈1.733
， 解得BC ≈67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是67.3 cm.
4、如图，A ，B 两市相距150km ，国家级风景区中心C 位于A 市北偏东60°方向上，位于B 市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C 为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A ，B 两市的高速公路，高速公路AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）
解：高速公路AB 不穿过风景区．过点C 作CH ⊥AB 于点H ，如图所示．
根据题意，得：⊥CAB ＝30°，⊥CBA ＝45°，
在Rt⊥CHB 中，⊥tan⊥CBH ＝＝1，⊥CH ＝BH ．
设BH ＝tkm ，则CH ＝tkm ，在Rt⊥CAH 中，⊥tan⊥CAH ＝
＝， ⊥AH ＝
tkm ．⊥AB ＝150km ，⊥t +t ＝150， ⊥t ＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．⊥54.75＞50，⊥高速公路AB 不穿过风景区．
5、在一次海上救援中，两艘专业救助船A ，B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B 在A 的正北方向，事故渔船P 在救助船A 的北偏西30°方向上，在救助船B 的西南方向上，且事故渔船P 与救助船A 相距120海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离；
(2)若救助船A ，B 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
解：(1)过点P 作PC ⊥AB 于点C ，则∠PCA ＝∠PCB ＝90°.
由题意，得PA ＝120海里，∠A ＝30°，∠B ＝45°，
∴PC ＝12
PA ＝60海里， PB ＝PC sinB
＝602海里． 答：收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离为602海里．
(2)救助船A 所用的时间为12040
＝3(小时)， 救助船B 所用的时间为60230
＝22(小时)， ⊥3＞22，⊥救助船B 先到达．
6、如图，要在江苏省某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点
B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程工程需尽快完成．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．
解：（1）NM不穿过原始森林保护区．理由如下：
作CD⊥AB于D，
设CD＝x米，
⊥⊥CAD＝45°，
⊥AD＝CD＝x米，
⊥⊥DCB＝60°，
⊥BD＝CD•tan⊥DCB＝x，
⊥AD+BD＝AB，
⊥x+x＝600，
解得，x＝300（﹣1）≈219.6＞200．
⊥MN不会穿过森林保护区．
（2）设甲工程队单独完成此项工程需要y天，则乙工程队单独完成此项工程需要（y+10）天．根据题意得：+＝，
解得：y＝20．
经检验知：y＝20是原方程的根．
则y+10＝30．
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数分别是20天、30天．
7、如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏
东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）．参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.732．
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
根据题意，得⊥ABD＝67°，AB＝520，⊥CBD＝30°，
在Rt⊥ABD中，AD＝AB•sin67°，
BD＝AB•cos67°，
在Rt⊥CBD中，CD＝BD•tan30°，
⊥AC＝AD+CD
＝AB•sin67°+AB•cos67°•tan30°
≈520×0.92+520×0.38×
≈592（km）．
答：A地到C地之间高铁线路AC的长592km．
8、如图，一架无人机在距离地面高度为21.4米的点B处，测得地面点A的俯角为47°，接着，这架无人机
从点B沿仰角为37°的方向继续飞行20米到达点C，此时测得点C恰好在地面点D的正上方，且A，D两点在同一水平线上，求A，D两点之间的距离．（结果精确到1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07，≈2.45）
解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点A作AF⊥BE于点F，
由题意可知：
CD⊥AD，
⊥四边形AFED是矩形，
⊥AD＝EF，
在Rt⊥BCE中，BC＝20，⊥CBE＝37°，
⊥BE＝BC•cos37°＝20×0.80≈39.2，
在Rt⊥ABF中，AF＝21.4，⊥ABF＝47°，
⊥BF＝＝≈20，
⊥EF＝BE﹣BF≈39.2﹣20≈19，
⊥AD＝EF≈19（米）．
答：A，D两点之间的距离约为19米．
9、如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到
B处时，望见渔船D在南偏东45°方向，又航行半小时到达C处望见渔船D在南偏东62°方向，若海监船的速度为40海里/小时，求A、B之间的距离．（精确到0.1海里，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
解：过点D作DE⊥AB于点E，
⊥⊥ADE＝⊥BDE＝45°，
⊥AE＝BE＝DE，
设BE＝x，则DE＝x，
⊥BC＝，
⊥CE＝x+20，
在Rt⊥CDE中，⊥CDE＝62°，
，
⊥，
⊥，
⊥AB＝2x＝2×22.72≈45.4，
答：A、B之间的距离为45.4海里．
10、科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，
导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）
解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt⊥ABD中，BD＝AB•sin⊥BAD＝8×＝4（千米），⊥⊥BCD中，⊥CBD＝45°，
⊥⊥BCD是等腰直角三角形，
⊥CD＝BD＝4（千米），
⊥BC＝BD＝4（千米）．
答：B，C两地的距离是4千米．。