§8.4多元复合函数的求导法则吉林化工学院.ppt

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dz lim z z du z dv. dt t t0 u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
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dz z du z dv u v
如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具
有连续偏导数 则 dz z dx z dy x y
(z u z v)dx(z u z v)dy u x v x u y v y
z (u dx u dy) z (v dx v dy) u x y v x y
§8.4 多元复合函数的求导法则
一、链式法则 二、全微分不变性
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一、链式法则
定理 如果函数u (t)及v (t)都在点t可导， 函数z f (u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数，则 复合函数z f [(t),(t)]在对应点t 可导，且其导
v 1, w 0, v 0, w 1.
x
x
y
y 区
z f u f , x u x x
z y
f u f . u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把 复 合 函 数 z f[(x, y), x, y] 中的 u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对 x的偏导数 变而对x 的偏导数
z y
z u
uy
z v
dv dy
(2) z f u f x u x x
z y
f u
u y
f y
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设zf(u x y) 且u(x y) 则
z f u f z f u f x u x x y u y y
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小结
1、链式法则（分三种情况）
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性
（理解其实质）
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数可用下列公式计算：
dz z du z dv． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则u (t t) (t),v (t t) (t);
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由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
y
2
z z u z v y u y v y
2uln v(
x y2
)
u2 v
(2)
2x2 y3
ln(3x
2
y)
பைடு நூலகம்
(3x
2x2 2 y)
y
2
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设zf(u v) u(t) v(t) 则
dz dt
z u
du dt
dv
eusinvdu eucosvdv
eusinv (ydxxdy) eucosv (dxdy)
(yeusinveucosv)dx(xeusinveucosv)dy
exy[ysin(xy)cos(xy)]dx
exy[xsin(xy)cos(xy)]dy
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z z u z v u v,
u v
1
2
当u 0，v 0时，1 0， 2 0
z z u z v u v t u t v t 1 t 2 t
当t 0时， u 0，v 0
u du , v dv , t dt t dt
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由此可见 无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性
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例6 设zeusinv uxy vxy 利用全微分形式不变性求全 微分
解
dz
z u
du
z v
z v
dv dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
z z u z v x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
讨论 (1)设 zf(u v) u(x y) v(y) 则z
x
？z y
？
(2)设 zf(u x y) 且 u(x y) 则z ？z ？
x y
提示
(1) z z u x u x
的两个偏导数存在且可用下列公式计算上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnology上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnology类似地再推广设具有对x和y的偏导数复合函数上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnology特殊地变而对x的偏导数两者的区别上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnology上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnology讨论提示dtdvdtdudtdzdydvdydv上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnologycossinzexezeyezexezexezexezeyezeyezeye上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnology设zarcsinxy而x3ty4tdtdzdtdydtdxdtdz上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnology引入记号提示1211121112112221222122211211xyzf具有二阶连续偏导数121112111211上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnology应用复合函数求导法则yfcossinf其中xcosysinsincoscossin转换成极坐标系中的形式sincossincoscossincossin上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnologyv具有连续偏导数则有全微分二全微分形式不变性如果zfuv具有连续偏导数上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnology由此可见无论z是自变量uv的函数或中间变量uv的函数它的全微分形式是一样的这个性质叫做全微分形式不变性v具有连续偏导数则有全微分全微分形式不变性如果zfuv具有连续偏导数上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnologysinvuxy利用全微分形式不变性求全微分xyysinxycosxydxyexyxsinxycosxydydvcosvdudxdycosvydxxdydv上页下页返回退出jlininstitutechemicaltechnology1链式法则分三种情况2全微分形式不变性特别要注意课中所讲的特殊情况理解其
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例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数
求 w 及 2w x xz 解 令uxyz vxyz 则wf(u v)
w x
f u
u x
f v
v x
f1
yzf2
2w xz
z
(
f1
yzf2)
f1 z
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例1 设zu2ln v 而 u x v3x2y 求 z z
y
x y
解：
z z u x u x
z v v x
2uln v 1 u2 3 yv
2x y2
ln(3x
2
y)
(3x
3x2 2 y)
x 应用复合函数求导法则 得
u x
u
x
u
x
u
x
u
y
2
u
cos
u
y s in
u y
u
y
u
y
u
y
u
x
2
u
sin
u
cos
两式平方后相加 得
(u x
)2
(
u y
)2
(
u
)2
1
2
(
u
)2
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二 全微分形式不变性
设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分
z v
v . y
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类似地再推广，设u (x, y)、v (x, y)、
w w(x, y)都在点(x, y)具有对x和y的偏导数，复合
函数z f[(x, y), (x, y), w(x, y)]在对应点(x, y)
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例5 设uf(x y)具有连续的偏导数 把(u)2 (u)2转换成 x y
极坐标系中的形式
解 uf(x y)f(cos sin)F( )
其中 xcosθ ysinθ x2 y2 arctan y
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例3 设zarcsin(x y) 而x3t y4t3 求 dz . dt
解: dz z dx z dy dt x dt y dt
1 3 1 12t2 1(x y)2 1(x y)2
3(14t2) 1(3t 4t3)2
z du z dv u v
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❖全微分形式不变性 设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分
dz z du z dv u v
如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具
有连续偏导数 则 dz z dx z dy z du z dv x y u v
例22 设 uf(x y z) ex2 y2z2 而 zx2sin y求u 和u x y
解解 u f f z 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2xsin y x x z x 2x (1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 y u f f z 2 yex2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y y y z y 2( y x4 sin y cos y)ex2 y2 x4 sin 2 y
的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x z
u v
x
z
z
u
z
v
z
w
.
wy
y u y v y w y
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特殊地 z f (u, x, y) 其中 u (x, y)
即 z f[(x, y), x, y], 令 v x, w y,
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v，
z
z
u
z
v
.
x u x v x y u y v y
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链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x
z z u y u y
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上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是
多元函数的情况： z f[(x, y), (x, y)].
如果u (x, y)及v (x, y)都在点
(x, y)具有对x和y的偏导数，且函数z f (u, v)在
对应点(u, v)具有连续偏导数，则复合函数
z f[(x, y), (x, y)]在对应点(x, y)的两个偏
yf2
yz
f2 z
f11 xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22
f11 y(x z) f12 yf2 xy2zf22
引提入示记 号f12 z
f1fufu12fuz(uzu,v)fv1fv2
fvz1vz2f1ff121u(ux,vxvyf)y1f222同理有
f2
f11
f22 等