新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数4-1函数的奇偶性素养作业北师大版必修第一册

第二章 §4 4.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列说法正确的是( B ) A ．偶函数的图象一定与y 轴相交
B ．奇函数y ＝f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0
C ．奇函数y ＝f (x )的图象一定过原点
D ．图象过原点的奇函数必是单调函数
[解析] A 项中若定义域不含0，则图象与y 轴不相交，C 项中定义域不含0，则图象不过原点，D 项中奇函数不一定单调，故选B ．
2．对于定义域是R 的任意奇函数f (x )，都有( C ) A ．f (x )－f (－x )＞0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0
D ．f (x )·f (－x )＞0
[解析] ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0， ∴f (x )·f (－x )＝－f 2
(x )≤0，故选C ．
3．若y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下面坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是( C )
A ．(a ，－f (a ))
B ．(－a ，f (a ))
C ．(－a ，－f (a ))
D ．(a ，f (－a ))
[解析] ∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－a )＝－f (a )， ∴(－a ，－f (a ))在y ＝f (x )图象上．
4．下列函数中既是奇函数又是偶函数的是( A ) A ．f (x )＝x 2
－1－1－x 2
B ．f (x )＝1－x ＋1＋x
C ．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0
D ．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，
－1，x ＜0
[解析] 选项A 中定义域为{－1，1}，函数解析式为y ＝0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B 为偶函数，选项C 为偶函数，选项D 为非奇非偶函数，故选A ．
5．若函数f (x )＝x 2
＋a
x
(a ∈R )，则下列结论正确的是( C ) A ．对任意实数a ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．对任意实数a ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数
C ．存在实数a ，使f (x )是偶函数
D ．存在实数a ，使f (x )是奇函数
[解析] 对于A ，取a ＝4.5，则f (1)＝5.5，f (1.5)＝1.52＋4.5
1.5＝5.25，f (1)＞f (1.5)，
A 错；对于
B ，取a ＝0，则f (x )＝x 2
在(0，＋∞)上为增函数，B 错；对于C ，取a ＝0，则
f (x )＝x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝f (x )＝x 2，C 对；对于D ，假设存在
实数a 使f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)，又f (－1)＝1－a ，f (1)＝1＋a ，－f (1)＝－1－a ，显然f (－1)≠－f (1)，即假设不成立，D 错．
6．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝x 2
＋|x |－1，则当x ＜0时，f (x )的解析式为f (x )＝( D )
A ．x 2
－|x |＋1 B ．－x 2
＋|x |＋1 C ．－x 2－|x |－1
D ．－x 2
－|x |＋1
[解析] 若x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝x 2
＋|x |－1， ∵f (－x )＝－f (x )，
∴－f (x )＝x 2
＋|x |－1，f (x )＝－x 2
－|x |＋1． 二、填空题
7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2
＋1，则f (－2)＋f (0)＝__－5__．
[解析] 由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22
＋1)＝－5，f (0)＝0， ∴f (－2)＋f (0)＝－5．
8．(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x 3
(a ·2x －2－x
)是偶函数，则a ＝__1__． [解析] 因为f (x )＝x 3
(a ·2x －2－x
)， 故f (－x )＝－x 3
(a ·2－x －2x
)， 因为f (x )为偶函数，故f (－x )＝f (x )时
x 3(a ·2x －2－x )＝－x 3(a ·2－x －2x )，整理得到(a －1)(2x ＋2－x )＝0，
故a ＝1，故答案为1． 三、解答题
9．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2
＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．
[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2
－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2
－x －2
又f (x )＋g (x )＝x 2
＋x －2，两式联立得：
f (x )＝x 2－2，
g (x )＝x ．
10．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2
＋3x ＋2．若当x ∈[1，3]时，f (x )的
最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．
[解析] ∵当x ＜0时，f (x )＝x 2
＋3x ＋2， 且f (x )是奇函数，∴当x ＞0时，－x ＜0， 则f (－x )＝x 2
－3x ＋2．
故当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝3x －x 2
－2．
∴当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，32时，f (x )是增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f (x )是减函数．因此当x ∈[1，3]时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1
4
，f (x )min ＝f (3)
＝－2．
∴m ＝14，n ＝－2，从而m －n ＝94
．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2021·全国高考乙卷理科)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( B )
A ．f (x －1)－1
B ．f (x －1)＋1
C ．f (x ＋1)－1
D ．f (x ＋1)＋1
[解析] 由题意可得f (x )＝
1－x 1＋x ＝－1＋21＋x ，对于A ，f (x －1)－1＝2
x
－2不是奇函数；对于B ，f (x －1)＋1＝2x 是奇函数；对于C ，f (x ＋1)－1＝2
x ＋2－2，定义域不关于原点对称，
不是奇函数；对于D ，f (x ＋1)＋1＝
2
x ＋2
，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B 2．如果奇函数f (x )在区间[－7，－3]上单调递减且最大值为5，那么函数f (x )在区间[3，7]上( C )
A ．单调递增且最小值为－5
B ．单调递增且最大值为－5
C ．单调递减且最小值为－5
D ．单调递减且最大值为－5
[解析] f (x )为奇函数，所以f (x )在[3，7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f (7)为最小值．
又已知f (－7)＝5， 所以f (7)＝－f (－7)＝－5．
3．(多选题)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1，0]上单调递减，则f (x )在( AC )
A ．[0，1]上单调递增
B ．[0，1]上先增后减
C ．[2，3]上单调递增
D ．[2，3]上先减后增
[解析] 因为f (x )在[－1，0]上单调递减， 又f (x )为偶函数，所以f (x )在[0，1]上单调递增．
由f (x ＋2)＝f (x )，得f (x －2)＝f (x )，设x ∈[2，3]，则x －2∈[0，1]，又f (x －2)＝f (x )，从而f (x )在[2，3]上单调递增．故选AC ．
4．(多选题)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( BD )
A ．|f (x )g (x )|是奇函数
B ．f (x )|g (x )|是奇函数
C ．f (x )＋|g (x )|是偶函数
D ．|f (x )|＋g (x )是偶函数
[解析] A 中，令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴A 中函数是偶函数，A 错误；B 中，令h (x )＝f (x )·|g (x )|，则
h (－x )＝f (－x )·|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴B 中函数是奇函数，B 正确；C 中，
由f (x )是奇函数，可得f (－x )＝－f (x )，由g (x )是偶函数可得g (－x )＝g (x )，由f (－x )＋|g (－x )|＝－f (x )＋|g (x )|知C 错误；D 中，由|f (－x )|＋g (x )＝|－f (x )|＋g (x )＝|f (x )|＋g (x )，知D 正确，故选BD ．
二、填空题
5．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝__3__． [解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)． 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3．
6．已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在R 上是减函数，若f (a －1)＋f (1)＞0，则实数
a 的取值范围是__(－∞，0)__．
[解析] ∵f (a －1)＋f (1)＞0，∴f (a －1)＞－f (1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)． ∴f (a －1)＞f (－1)．
又f (x )在R 上是减函数，∴a －1＜－1，即a ＜0． 三、解答题
7．判断函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x (1－x )，(x ＜0)，x (1＋x )，(x ＞0)的奇偶性．
[解析] 本题是求分段函数的奇偶性，则只需分段讨论即可．
∵函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f (－x )＝(－x )[1－(－x )]＝－x (1＋x )＝－f (x )(x ＞0)；当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝－x (1－x )
＝－f (x )(x ＜0)．
综上可得，f (x )为奇函数．
8．已知偶函数f (x )的定义域是{x |x ≠0}，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (2)＝1．
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)解不等式f (2x －1)＜2． [解析] (1)证明：设x 2＞x 1＞0， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1) ＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x 1． ∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1
＞1．
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x 1＞0，即f (x 2)－f (x 1)＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)．
∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)∵f (2)＝1，∴f (4)＝f (2)＋f (2)＝2． ∵f (x )是偶函数，∴不等式f (2x －1)＜2可化为
f (|2x －1|)＜f (4)．
又∵函数在(0，＋∞)上是增函数， ∴|2x －1|＜4，且2x －1≠0， 解得－32＜x ＜52，且x ≠12
，
∴不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪⎪－32
＜x ＜52，且x ≠12．。