2016-2017年江苏省镇江市高三(上)期末数学试卷及参考答案

2016-2017学年江苏省镇江市高三（上）期末数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）复数z=（1﹣2i）（3+i），其中i为虚数单位，则|z|是．3．（5分）若圆锥底面半径为2，高为，则其侧面积为．
4．（5分）袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．
5．（5分）将函数y=5sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则φ=．
6．（5分）数列{a n}为等比数列，且a1+1，a3+4．a5+7成等差数列，则公差d等于．
7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集为．
8．（5分）双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的
离心率为．
9．（5分）圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程为．
10．（5分）已知椭圆为常数，m＞n＞0）的左、右焦点分别为
F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则=．11．（5分）定义在（0，）的函数f（x）=8sinx﹣tanx的最大值为．12．（5分）不等式log a x﹣ln2x＜4（a＞0，且a≠1）对任意x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为．
13．（5分）已知函数y=与函数y=的图象共有k（k∈N*）个公共点，
A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，A k（x k，y k），则（x i+y i）=．
14．（5分）已知不等式（m﹣n）2+（m﹣lnn+λ）2≥2对任意m∈R，n∈（0，+∞）恒成立，则实数λ的取值范围为．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且
．
（1）求cos2α的值；
（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．
16．（14分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC=．求证：
（1）AC1∥平面BDE；
（2）A1E⊥平面BDE．
17．（14分）如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F．
（1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；
（2）设∠CEF=θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF=，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．
18．（16分）已知椭圆C：的离心率为，且点（﹣，）
在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为H，O为坐标原点且OH=1，求△POQ面积的最大值．
19．（16分）已知n∈N*，数列{a n}的各项为正数，前n项的和为S n，且a1=1，a2=2，设b n=a2n﹣1+a2n．
（1）如果数列{b n}是公比为3的等比数列，求S2n；
（2）如果对任意n∈N*，S n=恒成立，求数列{a n}的通项公式；
（3）如果S2n=3（2n﹣1），数列{a n a n+1}也为等比数列，求数列{a n}的通项公式．20．（16分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=λ（x2﹣1）（λ为常数）
（Ⅰ）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在x=1处有相同的切线，求实数λ的值；（Ⅱ）若λ=，且x≥1，证明：f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数λ的取值范围．
2016-2017学年江苏省镇江市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．
【分析】求出A∪B，再明确元素个数
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；
故答案为：5
2．（5分）复数z=（1﹣2i）（3+i），其中i为虚数单位，则|z|是5．
【分析】根据复数模长的定义直接求模即可．
【解答】解：复数z=（1﹣2i）（3+i），i为虚数单位，
则|z|=|（1﹣2i）|×|（3+i）|
=×
=5．
故答案为：5．
3．（5分）若圆锥底面半径为2，高为，则其侧面积为6π．
【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为2，高为，
∴母线长为：=3，
∴圆锥的侧面积为：πrl=π×2×3=6π，
故答案为：6π．
4．（5分）袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为0.6．
【分析】基本事件总数n==10，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=
，由此能求出这2只球颜色不同的概率．
【解答】解：袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，
从中一次随机摸出2只球，
基本事件总数n==10，
这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=，
∴这2只球颜色不同的概率为p=．
故答案为：0.6．
5．（5分）将函数y=5sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，
所得函数图象关于y轴对称，则φ=．
【分析】求得y=5sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后的解析式，利用正弦函数的对称性可得φ的值．
【解答】解：∵y=5sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得：g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ+），
∵g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象关于y轴对称，
∴g（x）=2sin（2x+2φ+）为偶函数，
∴2φ+=kπ+，k∈Z，
∴φ=kπ+，k∈Z．
∵0＜φ＜，
∴φ=．
故答案为：．
6．（5分）数列{a n}为等比数列，且a1+1，a3+4．a5+7成等差数列，则公差d等于3．
【分析】设出等比数列的公比，由a1+1，a3+4．a5+7成等差数列求得公比，再由等差数列的定义求公差．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
则，
由a1+1，a3+4．a5+7成等差数列，得
，即q2=1．
∴d=．
故答案为：3．
7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．
【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，解不等式即可．
【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=x2+4x，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=x2+4x=﹣f（x），
则f（x）=﹣x2﹣4x，x＜0，
当x＞0时，不等式f（x）＞x等价为x2﹣4x＞x即x2﹣5x＞0，
得x＞5或x＜0，此时x＞5，
当x＜0时，不等式f（x）＞x等价为﹣x2﹣4x＞x即x2+5x＜0，
得﹣5＜x＜0，
当x=0时，不等式f（x）＞x等价为0＞0不成立，
综上，不等式的解为x＞5或﹣5＜x＜0，
故不等式的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞），
故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）
8．（5分）双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为1+．
【分析】由题意可得c﹣=2a，化简整理，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：双曲线的焦点（c，0）到相应准线x=的距离等于实轴
长2a，
可得c﹣=2a，即c2﹣2ac﹣a2=0，
解得c=（1+）a或c=（1﹣）a（舍去），
即有离心率e==1+．
故答案为：1+．
9．（5分）圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．
【分析】设出圆心坐标，利用直线与圆相切，求出x的值，然后求出半径，即可得到圆的方程．
【解答】解：设圆心O为（x，﹣4x）k op=
k L=﹣1 又相切∴k op•k L=﹣1∴x=1∴O（1，﹣4）r==
所以所求圆方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．
故答案为：（x﹣1）2+（y+4）2=8．
10．（5分）已知椭圆为常数，m＞n＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则=2n﹣m．【分析】由题意画出图形，再由数量积的坐标运算可得答案．
【解答】解：如图，F1（﹣c，0），F2（c，0），
设P（x0，y0），则，
∴=（x0+c，y0）•（x0﹣c，y0）==b2﹣c2=2b2﹣a2=2n﹣m．故答案为：2n﹣m．
11．（5分）定义在（0，）的函数f（x）=8sinx﹣tanx．
【分析】利用导函数研究其单调性，求其最大值．
【解答】解：函数f（x）=8sinx﹣tanx，
那么：f′（x）=8cosx﹣=，
令f′（x）=0，
得：cosx=
∵x∈（0，），
∴x=．
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，）上是单调增函数．当x∈（，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（，）上是单调减函数．
∴当x=时，函数f（x）取得最大值为
故答案为：．
12．（5分）不等式log a x﹣ln2x＜4（a＞0，且a≠1）对任意x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为（0，1）∪（，+∞）．
【分析】不等式转化为＜（lnx）2+4，令t=lnx，得到＜t2+4在t∈（0，ln100）恒成立，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：∵不等式log a x﹣ln2x＜4，
∴＜（lnx）2+4，
令t=lnx，
∵x∈（1，100），∴t=lnx∈（0，ln100），
∴＜t2+4在t∈（0，ln100）恒成立，
0＜a＜1时，lna＜0，显然成立，
a＞1时，lna＞0，
故lna＞，
令g（t）=，t∈（0，ln100），
则g′（t）=，
令g′（t）＞0，解得：0＜t＜2，
令g′（t）＜0，解得：t＞2，
故g（t）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
故g（t）≤g（2）=，
故lna＞，解得：a＞，
综上，a∈（0，1）∪（，+∞），
故答案为：（0，1）∪（，+∞）．
13．（5分）已知函数y=与函数y=的图象共有k（k∈N*）个公共点，A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，A k（x k，y k），则（x i+y i）=2．
【分析】f（x）关于（0，1）对称，同理g（x）=关于（0，1）对称，如图所示，两个图象有且只有两个交点，即可得出结论．
【解答】解：由题意，函数f（x）==2﹣，
f（﹣x）+f（x）=2，∴f（x）关于（0，1）对称，同理g（x）=关于（0，1）对称，
如图所示，两个图象有且只有两个交点，
∴（x i+y i）=2，
故答案为2．
14．（5分）已知不等式（m﹣n）2+（m﹣lnn+λ）2≥2对任意m∈R，n∈（0，+∞）恒成立，则实数λ的取值范围为λ≥1．
【分析】问题看作点（m，m+λ），（n，lnn）两点的距离的平方，即为直线y=x+λ和直线y=lnx的距离的最小值，当y=lnx的切线斜率为1时，求出y=lnx在（1，0）处的切线与y=x+λ的最小值，解出即可．
【解答】解：不等式（m﹣n）2+（m﹣lnn+λ）2≥2对任意m∈R，n∈（0，+∞）恒成立，
看作点（m，m+λ），（n，lnn）两点的距离的平方，
即为直线y=x+λ和直线y=lnx的距离的最小值，
当y=lnx的切线斜率为1时，
y′==1，点（1，0）处的切线与y=x+λ平行，
距离的最小值是d=≥，
解得：λ≥1或λ≤﹣3，
∵当λ≤﹣3时，直线与曲线相交，不合题意，应舍去，
故答案为：λ≥1．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且
．
（1）求cos2α的值；
（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．
（1）由已知得=2cosα﹣sinα=0，从而sin2α+cos2α=5cos2α=1，进而cos2α=【分析】
，由此能求出cos2α．
（2）由cos2α=，，得cosα=，sinα==，由sin（α﹣β）=，且，得sinβ=2cos，由此能求出β的值．
【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．
∴=2cosα﹣sinα=0，
∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，∴cos2α=，
∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣．
（2）∵cos2α=，，
∴cosα=，sinα==，
∵sin（α﹣β）=，且，
∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=，
∴2cosβ﹣sinβ=，∴sinβ=2cos，
∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2﹣=0，
解得cosβ=或cosβ=﹣（舍），
∵，∴β=．
16．（14分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC=．求证：
（1）AC1∥平面BDE；
（2）A1E⊥平面BDE．
【分析】（1）证明线面平行，只需证明直线与平面内的一条直线平行即可．连接AC与DB交于O，连接OE，AC1∥OE，即可证明AC1∥平面BDE．
（2）证明线面垂直，只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可．连接OA1，可证OA1⊥DB，OE⊥DB，平面A1OE⊥DB．可得A1E⊥DB．利用勾股定理证明A1E⊥EB即可得A1E⊥平面BDE．
【解答】解：（1）ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，AB=BC=EC=．
可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形，E为CC1的中点．
连接AC与DB交于O，连接OE，
可得：AC1∥OE，
OE⊂平面BDE．
∴AC1∥平面BDE．
（2）连接OA1，
根据三垂线定理，可得OA1⊥DB，OE⊥DB，OA1∩OE=O，
∴平面A1OE⊥DB．
可得A1E⊥DB．
∵E为CC1的中点．设AB=BC=EC=AA1=a
∴，A1E=，A1B=
∵A1B2=A1E2+BE2．
∴A1E⊥EB．
∵EB⊂平面BDE．BD⊂平面BDE．EB∩BD=B，
∴A1E⊥平面BDE．
17．（14分）如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F．
（1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；
（2）设∠CEF=θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF=，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．
【分析】（1）由题意，BD=300，BE=100，△BDE中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；
（2）△BDE中，由正弦定理可得=，可将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．
【解答】解：（1）由题意，BD=300，BE=100，
△ABC中，cosB=，B=，
△BDE中，由余弦定理可得DE==100m；
（2）由题意，EF=2DE=2y，∠BDE=∠CEF=θ．
△CEF中，CE=EFcos∠CEF=2ycosθ
△BDE中，由正弦定理可得=，
∴y==，0，
∴θ=，y min=50m．
18．（16分）已知椭圆C：的离心率为，且点（﹣，）
在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为H，O为坐标原点且OH=1，求△POQ面积的最大值．
【分析】（1）由椭圆的离心率为，且点（﹣，）在椭圆C上，列出方程
组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设l与x轴的交点为D（n，0），直线l：x=my+n，联立，得（4+m2）
x2+2mny+n2﹣4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、均值定理，结合已知条件能求出△POQ面积的最大值．
【解答】解：（1）∵椭圆C：的离心率为，且点（﹣，
）在椭圆C上．
∴．解得a2=4，b2=1，
∴椭圆C的方程为．
（2）设l与x轴的交点为D（n，0），直线l：x=my+n，
与椭圆交点为P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得（4+m2）y2+2mny+n2﹣4=0，
y1，2=，
∴，，
∴=，即H（），
由OH=1，得，
=•OD•|y1﹣y2|=|n||y1﹣y2|，
则S
△POQ
令T===12•16•，
设t=4+m2，则t≥4，==≤=，当且仅当t=，即t=12时，（S
）max=1，
△POQ
∴△POQ面积的最大值为1．
19．（16分）已知n∈N*，数列{a n}的各项为正数，前n项的和为S n，且a1=1，a2=2，设b n=a2n﹣1+a2n．
（1）如果数列{b n}是公比为3的等比数列，求S2n；
（2）如果对任意n∈N*，S n=恒成立，求数列{a n}的通项公式；
（3）如果S2n=3（2n﹣1），数列{a n a n+1}也为等比数列，求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）b1=a1+a2=3，可得b n=3n=a2n﹣1+a2n．利用分组求和与等比数列的求和公式即可得出S2n．
（2）对任意n∈N*，S n=恒成立，可得n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：
=，a n＞0．可得a n﹣a n﹣1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（3）由S2n=3（2n﹣1），且a1=1，a2=2，可得a1+a2+a3+a4=9，可得a3+a4=6．由数列{a n a n+1}也为等比数列，设公比为q=，可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为q．即可得出．
【解答】解：（1）b1=a1+a2=3，∴b n=3n=a2n﹣1+a2n．
∴S2n=3+32+…+3n==．
（2）对任意n∈N*，S n=恒成立，
∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：=，a n＞0．
∴a n﹣1=±a n
﹣1，取正号不成立，∴a n﹣a n
﹣1
=1，
∴a n=1+（n﹣1）=n．
（3）∵S2n=3（2n﹣1），且a1=1，a2=2，
∴a1+a2+a3+a4=3×（22﹣1）=9=1+2+a3+a4，
∴a3+a4=6．
∵数列{a n a n+1}也为等比数列，设公比为q=，
∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为q．
∴a3=q，a4=a2q=2q，
∴q+2q=3×2，解得q=2．
∴=2n﹣1，
a2n==2n．
可得a n=（k∈N*）．
20．（16分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=λ（x2﹣1）（λ为常数）
（Ⅰ）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在x=1处有相同的切线，求实数λ的值；（Ⅱ）若λ=，且x≥1，证明：f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）先分别求导，再根据函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，得到f′（1）=g′（1），即可求出λ的值，
（2）设h（x）=g（x）﹣f（x）=（x2﹣1）﹣xlnx，利用导数求出函数的最小值为0，即可证明．
（3）分离参数，构造函数m（x）=，多次利用导数和构造函数，判断出m （x）在[1，+∞）为减函数，再根据极限的定义求出m（x）的最大值，问题即可解决．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=xlnx，g（x）=λ（x2﹣1），
∴f′（x）=1+lnx，g′（x）=2λx，
∵函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，
∴f′（1）=g′（1），
∴1+ln1=2λ，
解得λ=，
（2）当，且x≥1时，设h（x）=g（x）﹣f（x）=（x2﹣1）﹣xlnx，
∴h′（x）=x﹣1﹣lnx，
令φ（x）=x﹣1﹣lnx，
∴φ′（x）=1﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴φ（x）min=φ（1）=1﹣1﹣ln1=0，
∴h′（x）=x﹣1﹣lnx≥0，在[1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）上递增，
∴h（x）min=h（1）=0，
∴当，且x≥1，f（x）≤g（x）成立，
（3）对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，
∴xlnx≤λ（x2﹣1），
∴λ≥，
设m（x）=，
则m′（x）==，
令n（x）=x2﹣1﹣（x2+1）lnx，
则n′（x）=2x﹣2xlnx﹣（x+）=，
再令p（x）=x2﹣2x2lnx﹣1
则p′（x）=2x﹣2（2xlnx+x）=﹣4xlnx＜0在[1，+∞）为恒成立，∴p（x）在[1，+∞）为减函数，
∴p（x）≤p（1）=0，
∴n′（x）＜0在[1，+∞）为恒成立，
∴n（x）在[1，+∞）为减函数，
∴n（x）≤n（1）=0，
∴m′（x）＜0在[1，+∞）为恒成立，
∴m（x）在[1，+∞）为减函数，
∵m（x）===，
∴m（x）≤，
∴λ≥．
故λ的取值范围为[，+∞）．。