2016_2017学年高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数高效测评新人教A版选修1_1
高中数学第3章导数及其应用3.33.3.3函数的最大(小)值与导数1数学教案
3.3.3 函数的最大(小)值与导数如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示]根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．下列说法正确的是( )A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值D[极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．]2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是()A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋1C[y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.]3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]求函数的最值(1)f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．[解] (1)f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2，又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8，所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12； 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x－e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)．∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.求函数在闭区间上最值的步骤 1求f ′x ，解方程f ′x ＝0；2确定在闭区间上方程f ′x ＝0的根； 3求极值、端点值，确定最值.[跟进训练]1．求函数f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]上的最大值和最小值．[解] f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，且x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 ⎝⎛⎭⎫0，2π32π3 ⎝⎛⎭⎫2π3，4π3 4π3 ⎝⎛⎭⎫4π3，2π 2π f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗ππ3＋322π3－32∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.由函数的最值求参数值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b ↗ b ↘－16a＋b[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 已知函数最值求参数值范围的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.[跟进训练]2．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a ，b 的值．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x )＋－0 ＋f (x )－1－32a ＋b ↗b↘－a 32 ＋b↗1－32a ＋b由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 32，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，a ＝63.所以a ＝63，b ＝1.与最值有关的恒成立问题1．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若f (x )≥c 或f (x )≤c 恒成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )min 或c ≥f (x )max .2．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x )≥c 或f (x )≤c 成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )max 或c ≥f (x )min .【例3】 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． [思路点拨] (1)利用配方法，即可求出二次函数f (x )的最小值h (t )；(2)构造函数g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )，只需使g (t )在(0,2)上的最大值小于零即可求得m 的取值范围．[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0,2))<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，等价于g (t )的最小值g (2)<0.∴－3－m <0， ∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)． 分离参数求解不等式恒成立问题1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． 1．判断正误(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103A [函数y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)．y ′＝1－ln x x 2，由1－ln x x2＝0得x ＝e ， 当0<x <e 时，y ′>0， 当x >e 时，y ′<0.因此当x ＝e 时，函数y ＝ln x x 有最大值，且y max ＝1e ＝e －1.]3．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为( )A ．2B ．4C ．18D ．20D [f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0得x ＝±1. 当0≤x <1时，f ′(x )<0； 当1<x ≤3时，f ′(x )>0.则f (1)最小，又f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，f (3)>f (0)，所以最大值为f (3)，即M ＝f (3)， N ＝f (1)，所以M －N ＝f (3)－f (1)＝(18－a )－(－2－a )＝20.]4．设函数f (x )＝12x 2e x，x ∈[－2,2]，若f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x e x＋12x2e x＝e x2x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：当x＝0时，min要使f(x)>m对x∈[－2,2]恒成立，只需m<f(x)min，∴m<0，即实数m的取值范围为(－∞，0)．。
高中数学3-3-1函数的单调性与导数课件新人教A版选修
或x<－1，∴函数y＝x3－3x的单调增区间是(－∞，－1)， (1，＋∞)．
答案
(－∞，－1)，(1，＋∞)
4．函数y＝xlnx的单调递减区间是________．
解析 y′＝(xlnx)′＝lnx＋1，令y′<0，∴lnx＋1<0，
图所示，则函数f(x＋1)的部分图像可能是(
[解析]
由f′(x)的图像可知，
当x<－1，或x>1时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)为增函数， 当－1<x<1时，f′(x)<0， ∴f(x)在(－1,1)为减函数． 函数f(x)的图像向左平移一个单位得到f(x＋1)的图像， ∴f(x＋1)在(－∞，－2)，(0，＋∞)为增函数，
[规律技巧]
判断函数的单调性一定要先确定函数的定
义域，再对函数求导，利用f′x>0，f′x<0得到相应的单 调区间.
【变式训练1】 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x3－3x＋1； lnx (2)f(x)＝ . x
解 (1)函数的定义域为R， f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1) 令f′(x)>0得，x<－1，或x>1， 令f′(x)<0得，－1<x<1. ∴函数f(x)的增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间 是(－1,1)．
在(－2，0)为减函数， 故A图像有可能．
[答案] A
【变式训练3】 已知二次函数f(x)的图像如图所示，则 其导函数f′(x)的图像大致形状是( )
[解析]
由函数f(x)的图像知，当x∈(－∞，1)时，f(x)为
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1
求函数的单调区间
【例2】 确定函数f(x)＝x3－3x在哪个区间上是增函数， 在哪个区间上是减函数．
【解题探究】利用求导的方法确定函数的单调性．
【解析】∵f(x)＝x3－3x， ∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 令f′(x)＞0，可解得x＜－1或x＞1， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 令f′(x)＜0，可解得－1＜x＜1， ∴f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 故f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区 间(－1，1)上单调递减．
2．(2019 年湖南永州模拟)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx－1 在区间[0,1]上单调递减，m＝a＋b，则 m 的取值范围是( )
A．－∞，－32 B．－32，＋∞ C．－∞，－3 D．[－3，＋∞)
【答案】A 【解析】依题意，f′(x)＝3x2＋2ax＋b≤0，f(x)在[0,1]上 单调递减恒成立，只需ff′ ′01＝ ＝b3≤ ＋02， a＋b≤0 即可，∴3＋2a ＋2b≤0.∴m＝a＋b≤－32.故选 A．
C．y＝ex－x 【答案】C
D．y＝1x
【解析】A，y′＝3x2－3，当 x∈(0,1)时，y′<0，函数单
调递减；B，y＝cos x 在(0,1)上单调递减；C，y′＝ex－1，当 x
∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增；D，y＝1x在(0,1)上单调递减．故
选 C.
2．已知函数 f(x)＝x2＋2cos x，若 f′(x)是 f(x)的导函数， 则函数 f′(x)的图象大致是( )
利用导数判断或证明函数的单调性
【例 1】 求证：函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函 数．
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数
[自主梳理]
函数 f(x)的单调性 单调递增 单调递减
常数函数
第四页，共三十二页。
二、用导数研究函数单调性的一般步骤 1．确定函数 f(x)的定义域； 2．求 f′(x)，令 f′(x)＝0 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 3．把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的 顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义域分成若干个小区间； 4．确定 f′(x)在各小开区间内的 符号，根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在各个相应小 开区间内的增减性．
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第十二页，共三十二页。
探究二 判断函数的单调性
[典例 2] 设函数 f(x)＝x－1x－aln x(a∈R)，讨论 f(x)的单调性．
[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)＝1＋x12－ax＝x2－xa2x＋1.
令 g(x)＝x2－ax＋1，
其判别式 Δ＝a2－4.
A．b2－4ac≤0
B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0
D．b2－3ac≤0
解析：∵f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0 恒成立，而 a>0，∴Δ＝4b2－12ac≤0，即 b2－ 3ac≤0.
答案：D
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3．函数 y＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞)
D．(－3,1)
解析：y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于 ex>0， 则－x2－2x＋3>0，解得－3<x<1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)． 答案：D
2017版高中数学选修1-1(课件)：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数
第五页，编辑于星期六：三点 二十八分。
我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说
明这个法则的正确性：
当v(t)=s (t)>0时，s(t)是增函数；
当v(t)=s′(t)<0时，s(t)是减函数。
我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解 这个法则；
当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于 90°，函数曲线呈上升状态；
3.3.1 函数的单调性与导数
第一页，编辑于星期六：三点 二十八分。
复习
1. 函数的单调性:
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1 ＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)
就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜
x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)
3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是( C)
(A)单调增函数
(B)单调减函数
(C) 在(0, 1 )上是减函数，在( 1 , 1)上
是增函数 e
e
(D) 在( 1 , 1)上是减函数，在(0, 1 )上
e
e
是增函数
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4．函数y=x2(x+3)的减区间是 (－2，0) ，
就是区间I上的减函数.
2. 导数的概念及其四则运算
第二页，编辑于星期六：三点 二十八分。
引入新课
竖直上抛一个小沙袋，沙袋的 高度h是时间t的函数，设h=h(t)， 其图象如图所示。
横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋 的最高点为A，其横坐标为t=t0.
先观察沙袋在区间(a，t0)的运动情况： 根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋 向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于0，
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修1-1
【规律总结】 1.函数的单调性与其导数正负的关系 (1)充分条件:注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数 f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件. (2)恒成立:在区间(a,b)内可导的函数f(x)在区间 (a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)(x∈(a,b))恒成立且f′(x)在区间(a,b) 的任意子区间内都不恒等于0.
3
答案: [ 1 ,1], [2,3)
3
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x3 3x. (2) f ( x) x 2 2 x 3.
(3) f (x) sin x x, x (0, ).
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1.
f(x) = 0.
综上, 函数f ( x )图象 O 1
4
x
的大致形状如图所示.
【变式训练】
(2016·吉安高二检测)函数y=f(x)在定义域 ( 3 ,3) 内可
2
导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则
不等式f′(x)≤0的解集为
.
【解析】由题意不等式f′(x)≤0的解集 即函数y=f(x)的递减区间为 [ 1 ,1], [2,3).
有什么特征?
思考 请同学们回顾一下函数单调性的定义,并
思考某个区间上函数 y f x的平均变化率的几
何意义与其导数正负的关系.
思考: (1)在区间(a,b)上,如果f′(x)>0,则f(x)在该区间上 单调递增,反过来也成立吗? 提示:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数,但 f′(0)=0,即f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充 分不必要条件. (2)利用导数求函数单调区间时,能否忽视定义域? 提示:首先需要确定函数的定义域,函数的单调区间是 定义域的子集.
原创1：3.3.1 利用导数判断函数的单调性
(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、 “和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(2)中的单调 减区间不能写成(0，π)∪32π，2π.
1－3x2<0，解得
x<－
33或
x>
3 3.
因此，函数
f(x)
的
单
调
减
区
间
为
－∞，－
3 3
，
33，＋∞.
(2)f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝ 2sinx＋4π＋1. 令 2sinx＋4π＋1>0，得 0<x<π 或32π<x<2π. 因此函数的单调增区间为(0，π)与32π，2π. 令 2sinx＋4π＋1<0，得 π<x<32π， 因此函数的单调减区间为π，32π.
第三章 导数及其应用
§3.3 导数的应用
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系； 2.能够利用导数研究函数的单调性； 3.会求函数的单调区间.
1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点) 2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点) 3.常与方程、不等式等结合命题.
题目类型三、由单调性求参数的取值范围
例3.若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的 取值范围．
[题后感悟] (1)一般地，已知函数的单调性，如何求参数的取值范 围？
函数在区间[a，b] 上单调递增减
―→
f′x≥0f′x≤0在 区间[a，b]上恒成立
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性bb
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2．在区间(a，b)内，f′(x)>0，且 f(a)≥0，则在区间(a， b)内有( ) A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)＝0 D．不能确定 解析：选 A.由 f′(x)>0，知 f(x)在区间(a，b)内是增函数．又 f(a)≥0，故 f(x)>0.
第三章 导数(dǎo shù)及其应用
3．3 导数的应用
3．3.1 利用导数判断函数的单调性
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第三章 导数(dǎo shù)及其应用
1.了解函数的单调性与导数的关系． 2.能够利用 导数研究函数的单调性． 3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
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3．函数 f(x)＝xln x 的单调递减区间为________． 解析：f′(x)＝ln x＋1.令 ln x＋1<0，解得 x＜1e. 又 x>0，所以函数 f(x)＝xln x 的单调递减区间为0，1e.
答案：0，1e
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当 x∈
12a，＋∞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
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利用导数求函数的单调区间 求下列函数的单调区间． (1)y＝x3－9x2＋24x； (2)f(x)＝x2－ln x.
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第十一页，共三十五页。
【解】 (1)y′＝(x3－9x2＋24x)′ ＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)， 令 3(x－2)(x－4)>0，解得 x>4 或 x<2， 所以 y＝x3－9x2＋24x 的递增区间是(4，＋∞)和(－∞，2)． 令 3(x－2)(x－4)<0，解得 2<x<4， 所以 y＝x3－9x2＋24x 的递减区间是(2，4)．
3.3.1函数的单调性与导数 课件
由 f′(x)≥0 得：x2－ax＋a－1≥0. ∵x∈(6，＋∞)，∴x－1>0， ∴a≤xx2－－11＝x＋1. 又∵x＋1∈(7，＋∞)，∴a≤7.② ∵①②同时成立，∴5≤a≤7. 经检验 a＝5 或 a＝7 都符合题意， ∴所求 a 的取值范围为[5,7]．
2019/12/3
2．如果函数 f(x)＝2x3＋ax2＋1(a 为常数)在区间(－∞，
0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，那么
常数 a 的值为( )
A. 1
B. 2
C. －6
D. －12
解析：f′(x)＝6x2＋2ax，由 f′(x)＝0 得 x＝0 或－a3，
由条件可知，－3a＝2 即 a＝－6. 答案：C
3. 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 ， 可 通 过 解 不 等 式 __f_′__x__>_0___求得，而单调递减区间可由不等式__f_′___x_<_0___ 解得．
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思考探究 在区间(a，b)上，若 f′(x)>0，则 f(x)在此区间上单调递 增，反之也成立吗？ 提示：不一定成立，比如 y＝x3 在 R 上为增函数，但其 在 0 处的导数等于 0.也就是说 f′(x)>0 是 y＝f(x)在某个区间 上是递增的充分不必要条件．
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练 2 求下列函数的单调区间． (1)y＝x3－2x2＋x； (2)y＝ln(2x－1)．
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[解] (1)y′＝3x2－4x＋1. 令 3x2－4x＋1>0，解得 x>1 或 x<13， 因此，y＝x3－2x2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－ ∞，13)． 再令 3x2－4x＋1<0，解得13<x<1. 因此，y＝x3－2x2＋x 的单调递减区间为(13，1)．
高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.2函数的极值课件北师大版选修220831263
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
思维(sīwéi)
辨析
已知极值求参数值
【例2】 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且
f(1)=-1,
(1)求常数a,b,c的值.
(2)判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出
极值.
分析:先求f'(x),再由函数f(x)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1建立关于
A.2
)
B.3
C.4 D.5
解析:f'(x)=3x2+2ax+3,由题意得f'(-3)=0,解得a=5.
答案:D
变式训练3已知函数y=3x-x3+m的极大值为10,则m的值为
解析:y'=3-3x2=3(1+x)(1-x),令y'=0,得x1=-1,x2=1,经判断知x=1是极大
值点,因此f(1)=2+m=10,即m=8.
3
= (x-1)(x+1).
2
当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0,
∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增加的,
在(-1,1)上是减少的.
∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,
当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.
反思感悟已知函数极值求参数的方法
∴f(x)在x=-1处取得极小值.
因此a=2,b=9.
第十九页，共27页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修11
[再练一题]
1．(1)(2016·惠州高二检测)函数 y＝x3－x2－x 的单调递增区间为( )
A.－∞，－13和(1，＋∞)
B.－13，1
C.－∞，－13∪(1，＋∞)
D.－1，13
(2)函数 f(x)＝x－2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．
第十二页，共33页。
【答案】 D
第十五页，共33页。
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键 要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调 递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内 小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
第十六页，共33页。
第十三页，共33页。
函数与导函数的图象
已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图 3－3－1 所示，则 f(x) 的图象只可能是( )
图 3－3－1
第十四页，共33页。
【精彩点拨】
观察导函 数图象
→
f′x＞0时，fx递增 f′x＜0时，fx递减
→
|f′x|较大小， fx变化较快慢
第二十三页，共33页。
[再练一题]
3．(1)若函数 f(x)＝x2－ax在(1，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围是
()
A．a＞－2
B．a≥－2
C．a≤－2
D．a＜－2
第二十四页，共33页。
【解析】 f′(x)＝2x＋xa2. 令 f′(x)≥0，即 2x＋xa2≥0，a≥－2x3， 由于 g(x)＝－2x3 在(1，＋∞)上满足 g(x)＜g(1)＝－2， ∴要使 a≥－2x3 在(1，＋∞)上恒成立，应有 a≥－2.故选 B. 【答案】 B
高二数学 3 -3 -13.3.1 函数的单调性与导数
第24页
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第三章 · 3.1 · 3.3.1
三 函数的导数与图象 【例3】 已知可导函数f(x)的导函数f′(x)的部分图象如
图所示，则函数f(x＋1)的部分图象可能是( )
第25页
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第三章 · 3.1 · 3.3.1
第26页
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第三章 · 3.1 · 3.3.1
【解析】 由f′(x)的图象可知， 当x<－1，或x>1时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)为增函数； 当－1<x<1时，f′(x)<0， ∴f(x)在(－1,1)为减函数． 函数f(x)的图象向左平移一个单位得到f(x＋1)的图象， ∴f(x＋1)在(－∞，－2)，(0，＋∞)为增函数， 在(－2，0)为减函数， 故A图象有可能． 【答案】 A
答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)
第10页
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第三章 · 3.1 · 3.3.1
4．函数y＝xlnx的单调递减区间是________．
解析 ∵y′＝(xlnx)′＝lnx＋1，令y′<0，∴lnx＋1<0， ∴0<x<1e，∴函数y＝xlnx的单调递减区间是(0，1e)．
答案 (0，1e)
第11页
解析 当f′(x)≤0时，函数y＝f(x)是减函数，由图象知， x∈－13，1∪[2,3)．
答案 A
第38页
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第三章 · 3.1 · 3.3.1
4．求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝lnxx.
第39页
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第三章 · 3.1 · 3.3.1
第27页
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性与导数高效测评 新人教A 版选修1-1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
A ．y ＝2－3x 2
B ．y ＝ln x
C ．y ＝1x －2
D ．y ＝sin x
解析： 对于函数y ＝
1x －2，其导数y ′＝－1x －2<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝
1x －2
在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C. 答案： C 2．若在区间(a ，b )内有f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )
A ．f (x )>0
B ．f (x )<0
C ．f (x )＝0
D ．不能确定
解析： ∵f ′(x )>0，∴f (x )在(a ，b )内单调递增．∴f (x )>f (a )≥0，即f (x )>0. 答案： A
3．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )
A ．a ≤0
B ．a <1
C ．a <2
D ．a ≤13 解析： f ′(x )＝3ax 2－1，∵f (x )在R 上为减函数，
∴f ′(x )≤0在R 上恒成立，
∴a ≤0，经检验a ＝0符合题意，故选A.
答案： A
4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )
解析： 由f (x )的图象知f (x )在(－∞，0)上单调递增，
∴f ′(x )>0，排除A ，C.
当x ＞0时，f (x )先增又减后又增，
∴f ′(x )的图象应先在x 轴上方又下方后又上方，故D 正确．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的，则甲是乙的________条件．
解析： f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2
≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．
答案： 充分不必要
6．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________． 解析： f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，
∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75.
答案： －75
三、解答题(每小题10分，共20分)
(1)y ＝23
x 3－2x 2＋3； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.
解析： (1)函数的定义域为R . y ′＝2x 2－4x ＝2x (x －2)．令y ′>0，则2x (x －2)>0，解得x <0或x >2.所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
令y ′<0，则2x (x －2)<0，解得0<x <2，所以函数的单调递减区间为(0,2)．
(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，＋∞. y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3
＝x ＋
x ＋2x ＋3.
令y ′>0，解得－32<x <－1或x >－12
. 所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞. 令y ′<0，解得－1<x <－12
，
所以函数的单调递减区间为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－12. 8．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，求实数a 的取值范围．
解析： f ′(x )＝a －12－x
， ∵f ′(x )≥0在(0,1)上恒成立，
∴a ≥12－x
. 又∵0<x <1,1<2－x <2，
∴12<12－x
<1. ∴a ≥1.
9．(10分)求证：x >1时，x >ln(1＋x )．
证明： 设f (x )＝x －ln(1＋x )，
则f ′(x )＝1－11＋x ＝x 1＋x
， ∵x ≥1时，f ′(x )>0，
∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，
∴当x >1时，f (x )＝x －ln(1＋x )>f (1)＝1－ln 2>1－ln e ＝0，
∴f (x )>0，即x >ln(1＋x )(x >1)．。