2017-2018学年宁夏石嘴山市平罗中学高二(下)期中数学试卷(文科)含解析

2017-2018学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（下）期中
数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是（）
A．（0，1） B．（1，0） C．D．
2．（5分）下列求导正确的是（）
A．（3x2﹣2）'=3x B．（log2x）'=
C．（cosx）'=sinx D．（）'=x
3．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）
A．2 B．3 C．7 D．5
4．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
5．（5分）函数f（x）=sinx+cosx在点处的切线斜率为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
6．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和到y轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（）
A．y2=8x B．y2=4x C．y2=16x D．y2=32x
7．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（）
A．B．1 C．﹣1 D．﹣
8．（5分）已知f（x）=2x3﹣x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值为6，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为（）
A．6 B．﹣6 C．﹣26 D．
9．（5分）双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程是（）
A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±4x
10．（5分）若f′（x 0）=4，则=（）
A．2 B．4 C．D．8
11．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．
12．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间[1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）如果质点A按照规律s=5t2运动，则在t=3时的瞬时速度为．
14．（5分）若双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则
m=．
15．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x+lnx，则f′（1）的值为
16．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=2，|PQ|=4，则抛物线方程是．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣12x
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．
18．（12分）已知双曲线4x2﹣y2=1及直线y=x+m，若直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程．
19．（12分）若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值．（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间．
20．（12分）已知抛物线的准线方程为x=﹣1．
（1）求抛物线方程；
（2）若抛物线上任意一点为A（x，y），求点A到点P（1，1）与到抛物线焦点的距离和的最小值．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=4x+1平行，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．
22．（12分）在平面直角坐标系中，动点A（x，y）到F1（﹣1，0）与F2（1，0）的距离之和为4．
（1）求动点A的轨迹方程M；
（2）若斜率为的直线l与轨迹M交于C，D两点，为轨迹M上不同与C，D的一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问k1+k2是否为定值，若是，求出该值，若不是，说明理由．
2017-2018学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（下）期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是（）
A．（0，1） B．（1，0） C．D．
【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选：C．
2．（5分）下列求导正确的是（）
A．（3x2﹣2）'=3x B．（log2x）'=
C．（cosx）'=sinx D．（）'=x
【解答】解：（3x2﹣2）'=6x，（log2x）'=，（cosx）'=﹣sinx，（）'=﹣，故选：B．
3．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）
A．2 B．3 C．7 D．5
【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．
根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a ﹣3=7．
故选：C．
4．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：由函数图象可知函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，所以函数的导数值f′（x）＜0，因此D正确，
故选：D．
5．（5分）函数f（x）=sinx+cosx在点处的切线斜率为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：根据题意，函数f（x）=sinx+cosx，
其导数f′（x）=cosx﹣sinx，
f′（）=cos﹣sin=0﹣1=﹣1，
即切线的斜率k=﹣1；
故选：B．
6．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和到y轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（）
A．y2=8x B．y2=4x C．y2=16x D．y2=32x
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；
抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点F和到y轴的距离分别为10和6，
则=10﹣6=4，
∴p=8，
∴抛物线的方程为y2=16x．
故选：C．
7．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（）
A．B．1 C．﹣1 D．﹣
【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x ＞0）
∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，
解得f′（1）=﹣1，
∴f′（2）=2f′（1）+=﹣2+=﹣．
故选：D．
8．（5分）已知f（x）=2x3﹣x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值为6，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为（）
A．6 B．﹣6 C．﹣26 D．
【解答】解：函数的导数为f′（x）=6x2﹣2x=2x（3x﹣1），
由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数递减，
∵x∈[﹣2，2]，
∴函数在[﹣2，0]，[，2]上递增，则[0，]上递减，
f（0）=m，或f（2）=16﹣4+m=12+m
则函数的最大值为f（2）=12+m=6，解得m=﹣6，
则f（x）=2x3﹣x2﹣6，
∵f（）=2×（）3﹣﹣6=﹣6﹣，
f（﹣2）=2×（﹣2）3﹣（﹣2）2﹣6=﹣26，
∴当x=﹣2时，函数取得最小值为﹣26，
故选：C．
9．（5分）双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程是（）
A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±4x
【解答】解：∵双曲线x2﹣my2=1的实轴长为2，虚轴长是实轴长的2倍，
∴其虚轴长为4，即2b=4，
∴=b2=4，
∴双曲线x2﹣my2=1的方程为：x2﹣=1．
∴双曲线的渐近线方程是：y=±2x．
故选：A．
10．（5分）若f′（x 0）=4，则=（）
A．2 B．4 C．D．8
【解答】解：=2=2f′（x 0）
=8，
故选：D．
11．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．
【解答】解：依题意可知点F（﹣c，0）
直线AB斜率为=，直线BF的斜率为=
∵∠FBA=90°，
∴（）•=﹣=﹣1
整理得c2+ac﹣a2=0，即（）2+﹣1=0，即e2+e﹣1=0
解得e=或﹣
∵0＜e＜1
∴e=，
故选：C．
12．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间[1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．D．
【解答】解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；
由已知条件知x∈（1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；
设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立；
法一：（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立；
（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，
则需：解得m≤2；
∴m＜﹣2，
∴综上得m≤2，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]；
法二：问题转化为m≤x+在[1，+∞）恒成立，
而函数y=x+≥2，
故m≤2；
故选：B．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）如果质点A按照规律s=5t2运动，则在t=3时的瞬时速度为30．【解答】解：∵质点A按照规律s=5t2运动，
∴s′=10t，
当t=3时，
∴在t=3时的瞬时速度为s′=10×3=30．
故答案为：30．
14．（5分）若双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则m=6．【解答】解：抛物线的焦点为（3，0）
∴双曲线的右焦点为（3，0）
∵a=，b=，c=3
∴m+3=9
∴m=6
故答案为：6
15．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x+lnx，则f′（1）的值为e+1
【解答】解：由f（x）=e x+lnx，得f′（x）=e x+，
∴f′（1）=e+1．
故答案为：e+1．
16．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=2，|PQ|=4，则抛物线方程是y2=4x．．
【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，
由抛物线的定义可知，
|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p=2+p，
又|PQ|=4，∴p=2，
∴抛物线方程为y2=4x．
故答案为：y2=4x．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣12x
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的最值．
【解答】解：（1），
令=0，
解得x=2，x=﹣2，
x，f′（x），f（x）的变化如下表：
∴f（x）极大值为f（﹣2）=16，f（x）极小值为f（2）=﹣16；
（2）由（1）知，f（﹣2）=16，f（2）=﹣16，
又f（﹣3）=9，f（3）=﹣9
∴f（x）最大值为f（﹣2）=16，f（x）最小值为f（2）=﹣16．
18．（12分）已知双曲线4x2﹣y2=1及直线y=x+m，若直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程．
【解答】解：联立直线y=x+m和双曲线4x2﹣y2=1，
可得3x2﹣2mx﹣1﹣m2=0，
可得△=4m2+12（1+m2）＞0，
设弦的端点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=m，x1x2=﹣，
即有|AB|=•
=•=，
解得m=±，
则所求直线方程为y=x±．
19．（12分）若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值．（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间．
【解答】解：（1）f′（x）=3ax2﹣b
由题意知，
解得a=，b=2，
∴所求的解析式为f（x）=x3﹣2x+4；
（2）由（1）可得f′（x）=x2﹣2=（x﹣2）（x+2）
令f′（x）＞0，得x＞2或x＜﹣2，函数的单调增区间：（﹣∞，﹣2），（2，+∞）；令f′（x）＜0，得﹣2＜x＜2，所以函数的单调减区间（﹣2，2）．
20．（12分）已知抛物线的准线方程为x=﹣1．
（1）求抛物线方程；
（2）若抛物线上任意一点为A（x，y），求点A到点P（1，1）与到抛物线焦点的距离和的最小值．
【解答】解：（1）设抛物线的标准方程为y2=2px，p＞0，
由抛物线的准线方程为x=﹣1，
可得﹣=﹣1，即p=2，
即有抛物线的方程为y2=4x；
（2）抛物线的焦点F（1，0），
由抛物线的定义可得|AF|=|AM|，（|AM|为A到准线的距离），
如图，当A运动到A'，此时P，A'，M'三点共线，
可得|AP|+|AF|=|AP|+|AM|
≥|A'P|+|A'M'|=|PM'|=1+1=2，
点A到点P（1，1）与到抛物线焦点的距离和的最小值为2．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=4x+1平行，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
【解答】解（1）：因为f′（x）=+a 所以f′（1）=a+1 即切线的斜率k=a+1，又f（1）=a，
所以切线方程为：y﹣a=（a+1）（x﹣1），
即y=（a+1）x﹣1，
又切线与直线y=4x+1平行
所以a+1=4，即a=3，
（2）：由（1）得f′（x）=+a=，x＞0，
若a＞0，则f′（x）＞0，
此时函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
若a＜0，则当ax+1＞0即0＜x＜﹣时，f′（x）＞0，
当ax+1＜0即x＞﹣时，f′（x）＜0，
此时函数f（x）在（0，﹣）上为单调递增函数，在（﹣，+∞）上为单调递减函数．
22．（12分）在平面直角坐标系中，动点A（x，y）到F1（﹣1，0）与F2（1，0）的距离之和为4．
（1）求动点A的轨迹方程M；
（2）若斜率为的直线l与轨迹M交于C，D两点，为轨迹M上不同与C，D的一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问k1+k2是否为定值，若是，求出该值，若不是，说明理由．
【解答】解：（1）由题知|AF1|+|AF2|=4，|F1F2|=2，则|AF1|+|AF2|＞|F1F2|，
由椭圆的定义知点A轨迹M是椭圆，其中a=2，c=1，
因为b2=a2﹣c2=3，
所以，轨迹M的方程为+=1；
（2）设直线l的方程为y=x+t，C（x1，y1），D（x2，y2），
联立直线l的方程与椭圆方程，消去y可得3x2+4（x+t）2=12，
化简得x2+tx+t2﹣3=0，
当△＞0时，即t2﹣4（t2﹣3）＞0，也即|t|＜2时，直线l与椭圆有两交点，由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣3，
所以k1==，k2==，
则k1+k2=+=
==0，
所以k1+k2为定值．。