苏教版高中数学选修2-1章末综合测评(三) 空间向量与立体几何

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章末综合测评(三) 空间向量与立体几何
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．已知空间直角坐标系中有点A (－2,1,3)，B (3,1,0)，则|AB →
|＝________. 【解析】 ∵AB →
＝(5,0，－3)， ∴|AB →
|＝52＋02＋(－3)2＝34. 【答案】
34
2．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.
【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－3
2.
【答案】 16 －3
2
3．下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为________．
①空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底；②向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行；③平面α的法向量垂直于α内的每个向量；④空间中的任一非零向量都可惟一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式．
【解析】 若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内，故②错误．
【答案】 ②
4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为8
9，则λ＝________.
【解析】 由已知得，89＝a·b
|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9，
∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝2
55. 【答案】 －2或2
55
5．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1
2，2，C (－1,0，
2)，则角A 的大小为________．
【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，1
2，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →
|AB →||AC →|＝3
21×1＝
3
2，故角A 的大小为30°
.
【答案】 30°
6．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列各命题中，真命题是________．
①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→
是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→
是一对相反向量；
③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→
是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→
是一对相反向量．
【解析】 ①∵四边形ADC 1B 1为平行四边形，O 为对角线交点，
∴OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→
是一对相反向量，∴①真； ②∵OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，CB →＝D 1A 1→， ∴OB
→－OC →＝OA 1→－OD 1→， ∴②假；
③如图，设正方形ABCD 的中心为O 1，正方形A 1B 1C 1D 1的中心为O 2，则OA →
＋OB →＋OC →＋OD →＝4OO 1→，OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→＝4OO 2→，
∵OO 1→与OO 2→
是相反向量，∴③真； ④OA 1→－OA →＝AA 1→，OC →－OC 1→＝C 1C →， ∵AA 1→与C 1C →
是相反向量，∴④真． 【答案】 ①③④
7．在空间直角坐标系O -xyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．
【解析】 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC →＝(x －1,2，z －3)，AB →
＝(1,3，－4)，因为AC →与AB →
共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5
3，z ＝13，
所以点C 的坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫5
3，0，13. 【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5
3，0，13
8．二面角α-l -β等于120°，A ，B 是棱l 上两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于________．
【解析】 设BD →＝a ，AB →＝b ，AC →
＝c ，由已知条件，|a |＝1，|b |＝1，|c |＝1，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝120°.
|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →
|2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ＝4， 则|CD →
|＝2. 【答案】 2
9．已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →
取最小值时，点Q 的坐标为________. 【导学号：09390091】
【解析】 由题意可知OQ →＝λOP →，故可设Q (λ，λ，2λ)，则QA →·QB →＝6λ2－16λ
＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－2
3，∴当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值，此时点Q 的坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，43，83. 【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，43，83
10．在空间中，已知平面α过点A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点C (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.
【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，AB →＝(－3，4,0)，AC →
＝(－3,0，a )，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧
－3x ＋4y ＝0，
－3x ＋az ＝0，
则3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 3，a 4，1，故cos 〈n ，u 〉＝
1a 29＋a 2
16＋1
＝2
2.
又∵a >0，∴a ＝12
5. 【答案】 12
5
11．空间四边形ABCD 中，连结AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →
的化简结果是________．
【解析】 如图，延长DE 交BC 于F ，易知F 是BC 中点，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →－AD →＋BF →－32·
23DF →＝DB →＋BF →－DF →＝DB →＋BF →＋FD →＝DF →＋FD →
＝0.
【答案】 0
12．已知动点P 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上一点，记D 1P
D 1
B ＝λ.当∠AP
C 为钝角时，则λ的取值范围为________．
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则有
A (1,0,0)，
B (1,1,0)，
C (0,1,0)，
D 1(0,0,1)，所以D 1B →
＝(1,1，－
1)，由题意，可设D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，连结D 1A ，D 1C ，则D 1A →
＝(1,0，－1)，D 1C →＝(0,1，－1)，所以P A →＝PD 1→＋D 1A →
＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →
＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，当∠APC 为钝角时，cos ∠APC ＝P A →，PC
→＝
P A →·PC →
|P A →|·|PC →|
<0.
由此得出λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，1.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，1
13．在△ABC 中，若∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为________．
【解析】 建立如图所示的坐标系，则C (0,0,0)，A (4,0,0)，
B (0,43，0)，P (0,0,4)，设M (x ，y,0)，则AM →＝(x －4，y,0)，AB →
＝(－4,43，0)，易知AB →＝λAM →
，即(－4,43，0)＝λ(x －4，y,0)，
∴⎩⎨⎧
λ(x －4)＝－4，λy ＝43，得3x ＋y －43＝0，所以y ＝43－3x ，PM →＝(x ，y ，－4)＝(x,43－3x ，－4)，|PM →
|2＝x 2＋(43－3x )2＋16＝4(x －3)2＋28，∵0≤x ≤4，
∴当x ＝3时，|PM →
|min ＝27. 【答案】 27
14．如图1所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO -A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为________．
图1
【解析】 由题图易知A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A ′(a,0，a )． ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，a 2，a 2.
∴EF ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0－a 22＝a 24＋a 24＝2
2a .
【答案】 2
2a
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)如图2，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．
图2
【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→
， ∴|AC 1→|＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2
＝
AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)
. ∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→|
＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°) ＝23.
16．(本小题满分14分)如图3，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .
图3
【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →
＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.
而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →
)＝c ＋12(a ＋b )， BD →＝AD →－AB →
＝b －a ，
OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →
)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c ， ∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1
2a ＋12b ·(b －a )
＝c ·(b －a )＋1
2(a ＋b )·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝1
2(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →， ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →
. ∴A 1O ⊥OG .
又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面GBD .
17．(本小题满分14分)如图4，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.
图4
(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .
【证明】 (1)设AC 与BD 交于点G . ∵EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝1
2AC ＝1， ∴四边形AGEF 为平行四边形，∴AF ∥EG .
∵EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .
(2)连结FG ，∵正方形ABCD 和四边形ACEF 所在平面互相垂直，且CE ⊥AC ，
∴CE ⊥平面ABCD .
如图，以C 为原点，CD ，CB ，CE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)， D (2，0,0)，E (0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，2
2，1，
∴CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2
2，1，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)，
∴CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →
＝－1＋0＋1＝0， ∴CF →⊥BE →，CF →⊥DE →， ∴CF ⊥BE ，CF ⊥DE . 又∵BE ∩DE ＝E ， ∴CF ⊥平面BDE .
18．(本小题满分16分)在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝1，∠BCA ＝90°，现将△ABC 沿着与平面ABC 垂直的方向平移到△A 1B 1C 1的位置，已知AA 1＝2，分别取A 1B 1，A 1A 的中点P ，Q .
(1)求BQ →
的模；
(2)求cos 〈BQ →，CB 1→〉，cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值，并比较〈BQ →，CB 1→〉与〈BA 1→
，
CB 1→
〉的大小；
(3)求证：AB
1⊥C 1P .
【解】 (1)以C 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，2，
Q (1,0,1)，B 1(0，1,2)，A 1(1,0,2)，
∴BQ →＝(1，－1,1)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→＝(1，－1，2)，AB 1→＝(－1,1,2)，C 1P →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，0， ∴|BQ →
|＝12＋(－1)2＋12＝ 3.
(2)∵BQ →·CB 1→＝0－1＋2＝1，|BQ →|＝3， |CB 1→
|＝02＋12＋25＝5，
∴cos 〈BQ →，CB 1→
〉＝BQ →·CB 1→|BQ →|·|CB 1→|
＝13×5＝1515.
又∵BA 1→·CB 1→＝0－1＋4＝3，|BA 1→
|＝1＋1＋4＝6，|CB 1|＝0＋1＋4＝5， ∴cos 〈BA 1→，CB 1→
〉＝BA 1→·CB 1→
|BA 1→|·|CB 1→|＝330＝3010.
∵0<1515<30
10<1，
∴〈BQ →，CB 1→〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，〈BA 1→，CB 1→〉∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，
又∵y ＝cos x 在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2内单调递减，
∴〈BQ →，CB 1→〉>〈BA 1→，CB 1→
〉．
(3)证明：∵AB 1→·C 1P →＝(－1,1，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，0＝0， ∴AB 1→⊥C 1P →
，即AB 1⊥C 1P .
19．(本小题满分16分)如图5，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .
图5
(1)证明：PC ⊥平面BED ；
(2)设二面角A -PB -C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小.
【导学号：09390092】
【解】 如图，设AC ∩BD ＝O ，以O 为坐标原点，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则A (－2，0,0)，C (2，0,0)，P (－2，0,2)． 设BD ＝2a ，则B (0，－a,0)，D (0，a,0)． (1)证明：PC →＝(22，0，－2)，BD →
＝(0,2a,0)． 由PE ＝2EC ，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，23，则BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，a ，23.
所以PC →·BE →＝(22，0，－2)·
⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，a ，23＝0， PC →·BD →
＝(22，0，－2)·(0,2a,0)＝0， 即PC →⊥BE →，PC →⊥BD →.
又因为BE ∩BD ＝B ，所以PC ⊥平面BED . (2)设平面P AB 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)． 易得AP →＝(0,0,2)，AB →
＝(2，－a,0)． 由⎩⎨⎧
n ·AP →＝0，n ·AB →＝0，
得⎩⎨⎧
2z 1＝0，
2x 1－ay 1
＝0.
取x 1＝1，可得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2
a ，0.
设平面PBC 的法向量m ＝(x 2，y 2，z 2)． 易得BC →＝(2，a,0)，CP →
＝(－22，0,2)．
由⎩⎨⎧ m ·BC →＝0，m ·CP →＝0，得⎩⎨⎧
2x 2＋ay 2＝0，－22x 2＋2z 2＝0. 取x 2＝1，可得m ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－2a ，2. 因为二面角A -PB -C 为90°，
所以m ·n ＝0，即1×1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2a ×2a ＋2×0＝0，解得a ＝ 2. 所以PD →＝(2，2，－2)，平面PBC 的一个法向量为m ＝(1，－1，2)，
所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为|PD →·m ||PD →||m |
＝12，所以PD 与平面PBC 所成角的大小为π6.
20．(本小题满分16分)如图6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．
图6
(1)求证：B 1E ⊥AD 1；
(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．
(3)若二面角A -B 1E -A 1的大小为30°，求AB 的长．
【解】 (1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA
1→的方向
分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0，1,1)，
E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)， 故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，1，0.
∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0.
∴B 1E ⊥AD 1.
(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，
－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
由⎩⎨⎧ n ·AB 1→＝0，n ·AE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.
取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.
又∵DP ⊄平面B 1AE ，
∴存在一点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.
(3)连结A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .
又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1.
∴AD 1⊥平面DCB 1A 1.
∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)．
设AD 1→与平面B 1AE 的法向量n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|
＝－a 2－a
21＋a 24＋a 2.
∵二面角A -B 1E -A 1的大小为30°.
∴|cos θ|＝cos 30°， 即
3a 2
21＋5a 24＝32，解得a ＝2， 即AB 的长为2.。