山西省大同市水泊寺中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析

山西省大同市水泊寺中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则f（x）的递增区间为（）
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
参考答案：
B
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．再根据正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解：由图象可知A=2，，所以T=π，故ω=2．
由，得（k∈Z）．∵，∴，所以
．
由（k∈Z），得（k∈Z）．所以f（x）的单增区间是（k∈Z），故选：B．
【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的单调性，属于基础题．
2. 如图：二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
3. 设向量满足，，则＝( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
4. 若x，y满足约束条件，则的最大值是（）
A. 6
B. 4
C. -2
D. -11
参考答案：
B
【分析】
先作可行域，再根据目标函数表示直线，结合图象确定最优解，即得结果.
【详解】先作可行域，则直线过点时取最大值
4
故选B
【点睛】本题考查利用线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
5. 若集合=（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
6. (x2+)5的展开式中x4的系数为
A．10 B．20 C．40 D．80 参考答案：
C
由题可得
令,则
所以
故选C.
7. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设
，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案：B
8. 设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）
A．3 B．C．5 D．7
参考答案：
A
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．
解答：解：由题意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴ac=4，c＞0，
则则≥2×=3，当且仅当时取等号，
则的最小值是 3．
故选A．
点评：本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是拆项，属于基础题．
9. （5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈
时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）
A．（，2） B．（，2） C．
参考答案：
B
【考点】：函数的周期性；函数奇偶性的性质．
【专题】：函数的性质及应用．
【分析】：由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3
个不同的实
数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a 的取值范围．
解：设x∈，则﹣x∈，
∴f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）=2x﹣1．
∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴当x∈时，（x﹣4）∈，
∴f（x）=f（x﹣4）=x x﹣4﹣1；
当x∈时，（x﹣4）∈，
∴f（x）=f（x﹣4）=2x﹣4﹣1．
∵若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，
∴函数y=f（x）与函数y=log a（x+2）在区间（﹣2，6]上恰有三个交点，
通过画图可知：恰有三个交点的条件是，解得：＜a＜2，
即＜a＜2，因此所求的a的取值范围为（，2）．
故选：B 【点评】：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．
10. 函数的单调递减区间是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为cm，半径为cm，则该圆锥的体积
为
.
参考答案：
略
12. （5分）（2015?钦州模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，若bcosC+
（2a+c）cosB=0，则内角B的大小为．
参考答案：
【考点】：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】：计算题；三角函数的求值；解三角形．
【分析】：运用正弦定理，将边化为角，由两角和的正弦公式和诱导公式，化简整理，结合特殊角的三角函数值，即可得到B．
解：由正弦定理，bcosC+（2a+c）cosB=0，
即为sinBcosC+（2sinA+sinC）cosB=0，
即（sinBcosC+sinCcosB）=﹣2sinAcosB，
即sin（B+C）=﹣2sinAcosB，
即有sinA=﹣2sinAcosB，
则cosB=﹣，
由于0＜B＜π，则B=，
故答案为：．
【点评】：本题考查正弦定理及运用，考查两角和的正弦公式和诱导公式，考查特殊角的三角函数值，考查运算能力，属于基础题．
13. 在“剪刀、石头、布”游戏中，两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率P= ．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】在“剪刀、石头、布”游戏中，两人做手势所有机会均等的结果有9种，利用列举法求出两个人分别出“石头”与“剪刀”的结果个数，由此能求出两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率．【解答】解：在“剪刀、石头、布”游戏中，两人做手势所有机会均等的结果有9种，
其两个人分别出“石头”与“剪刀”的结果有2个：（石头，剪刀），（剪刀，石头），
∴两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率p=．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
14. 若实数x，y满足约束条件且目标函数z=x-y的最大值为2，则实数m= ___．
参考答案：
2
【分析】
作出可行域，寻求目标函数取到最大值的点，求出m. 【详解】先作出实数x，y满足约束条件的可行域如图，
∵目标函数z=x-y的最大值为2，
由图象知z=2x-y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2．
由，解得A（2，0），同时A（2，0）也在直线x+y-m=0上，
∴2-m=0，则m=2，
故答案为：2．
15. 某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为．
参考答案：
16. 在平面直角坐标系中，定义点、之间的直角距离为
若点，且，则的取值范围
为．参考答案：
或；
由定义得，解得或．
17. 若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过
中的那部分区域的面积为 .
参考答案：
答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆：的一个顶点为，且焦距为2，直线交椭圆于、
两点（点、与点不重合），且满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，若点满足，求直线的斜率的取值范围.
参考答案：
（1）依题意，，，则，
解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线垂直于轴时，由消去整理得，
解得或，此时，直线的斜率为；
当直线不垂直于轴时，设，，直线：，
由，消去整理得
，
依题意，即，且，，
又，所以
，所以，即，解得满足，
所以，故. 故直线的斜率，
当时，，此时；
当时，，此时；
综上，直线的斜率的取值范围为.
19. （本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，且向量
，且‖，为锐角.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积的最大值.
参考答案：
解：(Ⅰ) 由已知可得，
-------6分
(Ⅱ)
略
20. 某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：
（1）求这5天的平均感染数；
（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x ，y 用（x ，y ）的形式列出所有的基本事件，其中（x ，y ）和（y ，x ）视为同一事件，并求|x ﹣y|≤3或|x ﹣y|≥9的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）由已知利用平均数公式能求出这5天的平均感染数．
（2）利用列举法求出基本事件总数n=10，设满足|x ﹣y|≥9的事件为A ，设满足|x ﹣y|≤3的事件为B ，利用列举法能求出|x ﹣y |≤3或|x ﹣y|≥9的概率． 【解答】解：（1）由题意这5天的平均感染数为：
．
（2）（x ，y ）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），
（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17）， 基本事件总数n=10，
设满足|x ﹣y|≥9的事件为A ，
则事件A 包含的基本事件为：（23，32），（32
，
17），（29，17），共有m=3个，
∴P（A ）=
，
设满足|x ﹣y|≤3的事件为B ，由事件B 包含的基本事件为（23，24），（32，29），共有m′=2个，
∴P（B ）=
，
∴|x﹣y|≤3或|x ﹣y|≥9的概率P=P （A ）+P （B ）=
．
【点评】本题考查平均数和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
21. 已知椭圆
的离心率为，右顶点为A ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 经过C 的左焦点F 1且与C 相交于B ，D 两点，求△ABD 面积的最大值及相应的直线l 的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设经过左焦点F 1（﹣
，0）的直线方程为x=my ﹣
，代入椭圆方程，运用韦达定理，和三
角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值和对应的直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）离心率为
，即为=，
由b=，a 2﹣b 2=c 2，解得a=
，
即有椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）设经过左焦点F1（﹣，0）的直线方程为x=my﹣，
代入椭圆方程可得，（2+m2）y2﹣2my﹣3=0，
即有y1+y2=，y1y2=﹣，
则△ABD的面积为+=|AF1|?|y1﹣y2|
=（+）?
=（6+3）?，
令t=1+m2（t≥1），即有=
=≤=，
当且仅当t=1即m=0时，取得最大值，
则有△ABD的面积的最大值为3+，
此时直线l的方程为x=﹣．
22.
已知函数在定义域上为增函数，且满足, . (Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 解不等式
参考答案：
1）
(2）
而函数f(x)是定义在上为增函数即原不等式的解集为。