矩阵与变换

矩阵知识点归纳
一、二阶矩阵：了解二阶矩阵的概念
1. 线性变换
在平面直角坐标系xOy 中，形如⎩
⎨⎧
x′＝ax ＋by ，
y′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)的几
何变换
2. 二阶矩阵
由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a b c d 称为，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素，矩阵常用大写字母A ，B ，C 表示 3、变换、矩阵的相等
练习：已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 二、二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换
1. 了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面
向量的乘法
（1）向量a →
＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y 的形式
（2）二阶矩阵A=⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d 与列矩阵a →=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为A a →
=⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ax ＋by cx ＋dy . （3）变换的矩阵表示
练习：1. ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 2. 理解矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即1212()A A A λαλβλαλβ+=+ （1）设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤λx λy
（2）设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x2y2，规定向量α与β的和α＋β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x1＋x2y1＋y2 （3）设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，
则①A(λα)＝λA α，② A(α＋β)＝A α＋A β 等价于1212()A A A λαλβλαλβ+=+
（4）二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)
练习：1. 在切变变换ρ：1021⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
作用下，直线y=2x-1变为
2. 在A ＝0.5121-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦作用下，直线l 变为y=-2x-3,则直线l 为 3.在1010⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的线性边变换作用下，椭圆22
124x y +=变为 4.曲线C 在1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下得到圆(x+1)2+(y+1)2
=1，则C 方程为 3. 了解几种常见的平面变换：恒等变换、旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换．
(1)恒等变换：矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 00 1； (2)旋转变换：逆时针旋转θ角，Rθ对应的矩阵是A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换：点变换成它关于直线l 的对称点
关于x 轴对称：A1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 关于y 轴对称：A2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1 0 0 1 (4)伸缩变换：将每个点的横坐标变为原来的k 1倍，纵坐标变为原来的k 2倍，k 1，
k 2均为非零常数，对应的二阶矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
k 1 00 k 2 (5)投影变换：将点变换成它在直线l 上的投影（过点作直线的垂线，垂足就是点
在直线上的投影） 关于x 轴的投影变换矩阵为A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 00 0 (6)切变变换：每个点沿与x 轴（y 轴）平行的方向平移|ky|(|kx|)个单位，其中k
为非零常数，则对应矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 k 0 1（A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 0k 1） 三、变换的复合——二阶方阵的乘法
（1）了解矩阵与矩阵的乘法的意义
设矩阵A ＝1111a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝2222a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A 与B 的乘积AB ＝1111a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦＝
练习：1.计算⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21 ⎥⎦
⎤10 1324⎛⎫ ⎪⎝⎭1104-⎛⎫
⎪⎝⎭
2.求13α→
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在经过σ：A=1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，及ρ：B=1201⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
两次变换后的像β→ （2）理解矩阵乘法不满足交换律
Ａ＝0111⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，Ｂ＝1123-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ AB ≠BA （3）会验证二阶方阵乘法满足结合律：(AB)C=A(BC)
Ａ＝0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｂ＝1123-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，Ｃ＝0110⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
（4）理解矩阵乘法不满足消去律:AB=AC 不等价于B=C ，零矩阵
四、逆矩阵与二阶行列式
（1） 理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在（投影变换）
①设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换
②设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵
（2）理解逆矩阵的唯一性和111()AB B A ---= 等性质，了解其在变换中的意义 ①设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的，记为A －1 ②设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB)－1＝B －1A －1 （3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵
①矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a b c d 等价于ad －bc ≠0 ②把ad －bc 称为二阶行列式，记为det A=|A|＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a b c d ＝ad －bc ③二.阶可逆矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤d
ad －bc
－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc
练习：1.A ＝3142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ＝2142⎛⎫
⎪⎝⎭
是否可逆？若可逆，求其逆矩阵
2.矩阵0111⎛⎫ ⎪⎝⎭
的逆矩阵为
3.ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，求点（－2，3）在ρ－1
的作用下的点的坐标 五、二阶矩阵与二元一次方程组
（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义
①方程组ax by e
cx dy f +=⎧⎨+=⎩
可写成矩阵形式为
②设变换ρ：a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、e f ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，则方程组ax by e
cx dy f +=⎧⎨+=⎩可写成线性变换形式为ρx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝e f ⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组
如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e
cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭是可逆的，
则该方程组有唯一解：x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1
a b c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭e f ⎛⎫
⎪⎝⎭
（3）理解线性方程组解的存在性、唯一性
①如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e
cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭是可逆的，
则该方程组有唯一解：x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1
a b c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭e f ⎛⎫
⎪⎝⎭
②二元一次方程组0
ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩（a,b,c,d 不全为0），有非零解⇔a b c d ＝0
练习：1.若关于x,y 的二元一次方程组30
4110
x my x y +=⎧⎨-=⎩有非零解，则m ＝
2.用逆矩阵的方法解方程组：
①71130x y x y -=⎧⎨+=⎩ ②301240
x y x y -=⎧⎨-=⎩ 六、变换的不变量
（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义
①设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量 ②几何意义：变成与自身共线的向量
③如果ξ是属于特征值λ的一个特征向量，则k ξ也是λ的特征向量，其中k ≠0 ④属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线 （2）会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）
①特征多项式：A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a b c d ，把行列式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－a －b －c λ－d 称为A 的特征多项式 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ，即⎩⎨⎧ ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，也即⎩⎨⎧
(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.
(*) ②如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个
根，即f(λ)＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 0y 0，
于是非零向量⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 0y 0即为A 的属于λ的一个特征向量
练习：求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：
① 0140⎛⎫ ⎪⎝⎭ ②1011-⎛⎫ ⎪⎝⎭
七、矩阵的应用
利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α简单的表示，并能用它来解决问题 ①设矩阵A ＝a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭
， α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则
n n A αλα= （*n N ∈）
②设1λ、2λ是二阶矩阵A 的两个不同特征值，1ξ、2ξ是矩阵A 的分别属于特征
值1λ、2λ的特征向量，对于平面上任意一个非零向量α，设1122
t t αξξ=+，则n
A α＝111222n n t t λξλξ+
练习：已知矩阵Ａ＝12532-⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，向量ξ＝416⎛⎫ ⎪⎝⎭，求3A ξ
选修4-2 矩阵与变换
1. 设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤
=⎢⎥
--⎣⎦，若A=B ，求x,y,m,n 的值。

2. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311021＝ 3. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 ，求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x 4. 在ρ：0.5121-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
作用下，直线y=2x-1变为 5. 在A ＝1021⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦作用下，直线l 变为y=-2x-3,则直线l 为 6.在1010⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1变为 7.曲线C 在1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下得到椭圆22
124x y +=，则C 方程为 8. ⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10⎢⎣⎡21 ⎥⎦
⎤11-=
2111⎛⎫ ⎪⎝⎭1011-⎛⎫
⎪-⎝⎭
= 9. 求13α→
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在经过σ：A=1201⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，及ρ： B=1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦两次变换后的像β→ 10. A ＝2111⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ＝1010⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦
是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 11. ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2111⎛⎫ ⎪⎝
⎭x y ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，求点（2，－3）在ρ－1
的作用下的点的坐标 12. 若1301⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12⎛⎫
⎪⎝⎭，则x+y ＝
13.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：
①3110-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ②3452⎛⎫ ⎪⎝⎭
14. 已知矩阵Ａ＝2213⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量ξ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求3
A ξ
近年福建高考矩阵与变换
1、（14年）已知矩阵A 的逆矩阵A ﹣1=（
）．
（1）求矩阵A ；
（2）求矩阵A ﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
2、（13年）已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵 1 20 1A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
对应的变换作用下变为直线
l ′：x ＋by ＝1.
①求实数a ，b 的值；
②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点P 的坐标．
3、（12年）设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A )1(10>⎪⎪⎭⎫
a 对应的变换作用下
得到的曲线为122=+y x 。

（Ⅰ）求实数b a ,的值。

（Ⅱ）求2A 的逆矩阵。

4、（11年）设矩阵0 0a M b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭ （其中0,0a b >>）
（I ）若2, 3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵1M -；
（II ）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线
2
2':14
x C y +=，求 ,a b 的值.
5、（10年）已知矩阵M=11a b ⎛⎫
⎪⎝⎭，20c N d ⎛⎫=
⎪⎝⎭，且2020MN ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；
（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程。

6、（09年）已知矩阵M 2311-⎛⎫
⎪-⎝⎭所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),
试求M 的逆矩阵及点A 的坐标。