过程探究知识应用,策略归纳提升素养--以“用二元一次方程组解决问题”为例

数学教学通讯
投稿邮相:sxjxtx c@
＞问题探索
过程探究知识应用，策略归纳提升素养
——以“用二元一次方程组解决问题”为例
周斌
北京新东方扬州外国语学校225002
［摘要］教学苏科版教材“用二元一次方程组解决问题”的章节内容时，需要贯彻
“学以致用”理念，采用过程探究的方式，使学生经历利用二元一次方程
组解决实际问题的过程，引导学生从中总结解题方法，形成转化分析的
五步策略，同时合理渗透思想方法,提升学生的数学核心素养.
［关键词］实际问题；二元一次方程;教学；过程；策略；思想方法
“用二元一次方程组解决问题”是苏科版七年级下册的重要内容,是学生在掌握二元一次方程组解法后的进一步探究，旨在以方程组为分析工具，解决含多个未知数的实际问题.该内容是对课程“学以致用”理念的贯彻，而教学的难点主要集中在解题策略的构建，以及实际问题中等量关系的提取这两方面，下面对该部分内容开展教学探讨
0呈现探究过程，强化知识应用利用二元一次方程组解决问题需要联系实际问题袁从问题中提取数学模
型，完成现实问题向数学模型的转化.教学的难点主要集中在转化的“过程”中■考虑到学生的思维还停留在初级阶段，无法自主完成问题探究，所以教学 中需要教师结合具体的问题袁引导学生体验探究过程,经历列方程组解决问题的一般步骤.
以“五一”假期旅行社接待游客与费用问题为例.教学中首先呈现如下试题：
在“五一”假期中，光明旅行社接待
一日游和三日游的游客共计2200人，共
收取旅行费200万元，其中一日游的游
客收费标准为200元/人，三日游的游客
收费标准为1500元/人，问该旅行社“五
一”期间接待一日游和三日游的游客分
别是多少人.
上述呈现的是现实生活中常见的
问题，需要引导学生逐步理解条件，利
用数学知识转化为相应的数学问题袁并
利用二元一次方程组知识加以解决教
学中建议采用引导设问的方式体验探
究过程可进行如下设问
问题1区分问题中的已知条件和
待求问题已知条件和待求问题分别是
什么？
问题2分析题目中有哪几个未知
量如何来设定未知数？
上述两个问题是审题、设问的两个
关键点袁需要引导学生确定问题中的已
知与未知袁以及未知量袁为后续的未知
设定、知识方法调用做基础教学中可
引导学生设定两大未知量:一日游游客
人数寅x,三日游游客人数寅y.在此基
础上引导学生提取题干的等量关系，并
结合设定的未知量转化为对应的数学
语言
问题3题干中含有哪些等量关系？
问题4请将其中的等量关系转化
为对应的数量关系袁列出相应的方程
组该如何做？
问题中的等量关系是基于已知条
件形成的袁教学中应引导学生关注“接
待一日游和三日游的游客共计2200人”
和“共收取旅行费200万元”这两条信息，
使学生明晰所述信息的条件视角（人数
与费用）,然后采用对应转化的方式列出
等量关系，具体如下（其中x表示一日游
人数,y表示三日游人数）：
游客共计2200人寅x+y=2200
旅行费共200万元寅200x+1500y=
2000000
完成条件转化后袁引导学生分析方
程的特点袁并尝试逐个求解方程袁探讨
含有两个未知数的方程应如何求解袁深
作者简介:周斌（1975-），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.
2020年10月仲旬）＜49
刻体会二元一次方程组的求解策略，从
而完成实际问题向数学问题转化的过
程.也就是，求解一日游和三日游的人 数, 实际上就是解出方程组
）x+y=2200， 中的x 和y .后续200x+1500y_2000000
只需要引导学生结合之前所学的解二
元一次方程组的方法,采用代入消元法
来求解，并引导学生检验结果是否正 确, 是否符合题意.
0归纳解题步骤，形成解题策略
教学中引导学生体验使用二元一
次方程组解决问题的过程，其目的不在 于解题表象, 而是为了使学生体验解
题过程，从中归纳出解题步骤,形成解
题策略，发展解题思维.因此，完成解 题教学过程后，需要引导学生思考解题 时经过了哪些环节,以及每一步的核心 内容.
以上述问题为例，引导学生重温解 题过程, 对过程进行拆分, 形成用二元
一次方程组解决问题的一般步骤,并 思考其中的注意事项.考虑到所涉步骤 较多，教学中可采用步骤单列的方式， 如表1.
表1所总结的基本策略, 实则就是
表1
步骤
内容及注意点
审题
确定已知条件与问题，提取其中的等量关系2设未知数设出未知数，未知数数量与未知量相等
3列方程组
根据等量关系列出对应的方程，形成方程组4
解方程组
利用代入消元法解方程组，遵循运算法则
5写答案对结果进行检验,写出对应答案
表2
步骤
内容
审题
已知量
未知量
等量关系2设未知数
未知量个数
x 表示的内容y 表示的内容
3列方程组题干中的等量关系
对应的数学关系构成的方程组
4解方程组
采用的方法
检验解是否正确
5
写答案
写对应的内容
解决实际问题的转化分析五步骤: 审寅设寅列寅解寅答.教学中，教师需
要引导学生关注两点: 一是每一步的
注意事项, 二是五大步骤之间的关联 性.其中第二点是教学的重点.上述 “五步” 所形成的是一个循环过程,相
互之间递进关联.教学中可利用多媒 体呈现图1的步骤，让学生直观感知解 决实际问题所经历的过程, 培养学生
的逻辑思维.图1
解题流程图（图1）的内容除了含 有常规的五步转化外,实则隐含的是由
“实际问题”转化为“数学问题”，从“数 学问题的解” 体现出 “实际问题的答 案”的完整关系，深度体现了数学“学
以致用”的思想理念. 完成解题策略归 纳教学后,可设置相关问题来帮助学生
掌握解题策略，提升能力.以下面的试 题为例:
为保护环境,校环保小组组织成员
收集废旧电池.第一天收集了5节1号电
池，6节5号电池，总质量为500 g;第二
天收集了 3节1号电池,4节5号电池，总 质量为310 g .试问：1号电池和5号电池
的单节质量分别是多少？
教学中，引导学生直接根据题干信
息完成表2.
表2是用二元一次方程组解决实际
问题的步骤与基本内容,能够引导学生
关注每一步的关键点，体会解析步骤的
对应意义, 从而深刻理解解题策略, 提
升应用能力.
0渗透数学思想，发展核心素养
本章节的教学目标主要有两方面
内容:一是引导学生掌握利用二元一次 方程组解决实际问题的策略，二是向学 生传达求解实际问题过程中的数学思
想,发展核心素养,包括思想方法、语言 表述、思维水平等.其中目标二对学生
的长远发展极为重要，所以教学中教师 应围绕教学核心进行思想渗透,促进学 生整体能力的发展.
解决实际问题时涉及的数学思想 主要有模型思想、对应转化思想、方程
思想.其中模型思想主要体现在实际 问题向数学问题转化的过程中, 利用 数学知识分析实际问题充分体现了数 学知识的优势，教学中可结合实际问
题感知其中的模型思想.而对应转化 思想则体现在解题第三步的 “列方程
组”中，题干的等量关系与数量关系中
渗透了数学的对应思想和转化思想,
以上述“五一”假期旅行社接待游客与 费用问题为例, 实际教学中可以单列
问题中的等量关系, 然后引导学生将
其转化为对应的数量关系，逐步感知 其中的对应思想和转化思想. 其中的对
应转化关系如下:
一日游和三日游的游客共计2200 人寅一日游人数+三日游人数=2200
人一x+y_2200；
共收取旅行费200万元寅一日游总
（下转第54页）
50 > 2020年10月（中旬
）
图”越丰富，那实际教学中学生就能更好地基于“母图”，借用其中的等量关系,解决与之相关的其他问题.
还有一点值得注意,那就是,基本图形的获得，不一定全部是教师的工作，让学生在解题的过程中进行总结与提炼，让他们寻找基本图形，本身就是一个分析与综合的过程，可以培养学生的解题能力，提升学生的解题品质.
0利用基本图形提升初中学生数学解题能力案例
在实际教学中,利用基本图形来提 升初中学生的解题能力,这样的实践案例教师积累得越丰富越好,而且在此过程中要讲究策略.有研究指出，这样的一些策略可能是有效的：渗透数学思想方法,提高学生数学素养；提炼基本图形，提高学生思维水平;利用一题多解,促进学生思维发展；利用变式训练,将知识融会贯通;利用开放性试题,发散学生思维；解题后进行反思，综合提升能力.笔者在实践中也发现，利用一定的策略去研究基本图形，可以让学生的解题能力提升变得事半功倍.
例如，图2是四边形中的一个基本图形，其中的基本关系是AP・BP=AD・BC.对这个基本图形进行概括,可以用一句话-----线三垂直,这个特征必须让学生记住，因为这是基本图形的“基本”所在.在这个基本图形的基础之上，教师可以通过变式向学生提供其他习题，如:将矩形A BCD沿直线EF折叠,使点C落在AB的中点处,记作C忆,点D的对应点为D忆，CD忆与AD交于点M,如图3.
试用AB和BC表示AM的长.
图2
D
A
D
C
通常情况下,学生遇到折叠类试题
时，会感觉十分头疼，这是因为学生的
想象能力不足以支撑这么复杂的变
换.当学生感觉头疼的时候，实际上就
是学生思维加工出现困难的时候,此
时如果引导学生分析,就可以找到这
个复杂的图形中其实存在着“一线三
垂直”特征——可以让学生自己寻找.
事实表明，当学生有了这一发现之后,
他们就找到了解题思路,也就是会找
到图中相似的两个三角形—
—A AC忆M
和吟BFC忆,其后的求解过程就比较顺
利了.
此时让学生去总结,他们就会更
加清晰地认识到前面那个基本图形的
作用,同时会在学生的大脑中强化一
个认识，即解图形类试题时，自己大脑
中一定要储存一定量的基本图形，因
为这些基本图形是解决更复杂问题的
工具.一旦学生有了这个认识,并且能
落到实处,那学生的解题能力自然能
得到提升.
0基本图形的构建本质上是扩充
学生的知识组块
在初中数学教学中,之所以高度重
视基本图形的作用，其中一个很重要的
原因是,这一策略符合初中学生的认
知特点.关于这一点，前面已经有所强
调，这里想进一步表明的是，在几何教
学中,将同种类型的问题进行合理归
纳、梳理，进而形成一个基本图形，对
提高课堂效率和提升学生的数学解题
能力有很重要的作用.这种作用发挥
的机制在于，学生大脑中的基本图形
越丰富,他们在解题的时候能够运用
的工具就越多,而且能更加得心应手.
但记忆规律表明,人的记忆容量是有
限的,学生不可能将大量的图形储存
在大脑当中,而要有效地面对复杂的
图形以及题目，学生唯一有效的选择
就是基本图形.
很显然,如果这些基本图形储存不
够,那学生在解决复杂问题的时候,就
一定会捉襟见肘,这自然不利于解题能
力的提升.当研究并储存了基本图形之
后,尤其是基本图形之间能够发生有益
的联系时,学生的知识组块就会变得更
大，而知识组块越大，这些基本图形在
学生解题能力提升的过程中所能发挥
的作用自然就越大.
总之，在初中数学教学中,教师要
高度重视基本图形的作用,要帮助学生
积累基本图形，要引导学生发现基本图
形,只要做到这些,学生解题能力的提
升便水到渠成.
（上接第50页）
费用+三日游总费用=200万元寅200x+ 1500y=2000000.
方程思想则体现在列方程及解方程的过程中,涉及设未知数、列方程组、解方程组三大解题步骤.方程思想是利用数学方程求解实际问题的一种高效的思想方法,教学中教师需引导学生关注方程构建的过程，以及利用方程思想解决问题的要点.以上述二元一次方程组的构建为例，教学要点主要有以下两点：一是方程的设元技巧，一般将未知
量设为x和y;二是列式方法,根据数量
关系列出相应的二元一次方程组,确保
未知数与方程的个数相同.利用方程求
解是初中数学需要重点掌握的方法,教
学中教师应结合实际问题进行思想渗
透，逐步培养学生的应用意识.另外，在
解析实际问题过程中必然涉及语言表
述，需要利用数学语言来描述题干关
系.教学中可以利用文字语言向数学语
言的转化过程来提升学生的语言表达
能力,让学生准确地利用数学语言来描
述问题，感知数学语言的魅力.
总之，“用二元一次方程组解决问
题”的章节内容具有极高的教学价值,
结合教材内容的重难点来看，采用“启
发探究式”的教学方法能使教学效益最
大化.教学过程中教师要加强学生独立
思考与合作探究相结合,注重方法策略
与思想素养的兼具发展,重视教学探究
的过程引导，以提升学生的解题能力和
思想水平为最终目标.
54>2020年10月（中旬
）。