2019年山东省东营市三校联考中考数学二模试题(解析版)

2019年山东省东营市三校联考中考数学模拟试卷（5月份）一．选择题（满分30分，每小题3分）
1.－2019的相反数是（）
A.
1
2019
B.
1
2019
C. 2019
D. －2019
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相反数的定义解答即可.
【详解】－2019的相反数是2019
故选：C
【点睛】本题考查的是相反数，熟记相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”是关键.
2.下列运算正确的是（）
A. a2+b3＝a5
B. a4÷a＝a4
C. a2•a4＝a8
D. （﹣a2）3＝﹣a6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，积的乘方等于乘方的积，可得答案．
【详解】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；
D、积的乘方等于乘方的积，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是关键.
3.如图是某几何体的三视图，其侧面积为( )
A. 6
B. 4π
C. 6π
D. 12π
【答案】C
【解析】
分析：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，
∴侧面积为：πdh=2π×3=6π．
故选C．
4.对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的是（）
A. ∠1＝50°，∠2＝40°
B. ∠1＝40°，∠2＝50°
C. ∠1＝30°，∠2＝60°
D. ∠1＝∠2＝45°
【答案】D
【解析】
【分析】
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【详解】“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题为∠1＝∠2＝45°．
故选D．
【点睛】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
5.如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B－C－D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分出情况当P 点在BC 上运动，与P 点在CD 上运动，得到关系，选出图象即可
详解】由题意可知，P 从B 开始出发，沿B—C—D 向终点D 匀速运动，则
当0＜x≤2，s=12x 当2＜x≤3，s=1
所以刚开始的时候为正比例函数s=
12x 图像，后面为水平直线，故选C 【点睛】本题主要考查实际问题与函数图像，关键在于读懂题意，弄清楚P 的运动状态 6.从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数a 使关于x 的不等式组12(42)122123x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩至少有四个整数解，且关于x 的分式方程233a x x x +---＝1有非负整数解的概率是（ ） A. 29 B. 13 C. 49 D. 59
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式组化简不等式，已知不等式组至少有四个整数解，从而求出a 的取值范围，得出a 的可能值，化简分式方程，将a 的可能值带入分式方程即可得出满足条件的a 的值，再求出概率即可.
【详解】解：不等式组整理得：7x a x ≤⎧⎨>-⎩
， 【
由不等式组至少有四个整数解，得到a ≥﹣3，
∴a 的值可能为，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5，
分式方程去分母得：-a -x +2＝x ﹣3，
解得：x ＝5-2
a ， ∵分式方程有非负整数解，
∴a ＝5、3、1、﹣3，
则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个，
∴P ＝49
故选：C ．
【点睛】本题主要考查的是含参数的一元一次不等式以及含参数的分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的求解方法是解本题的关键.
7.如图,从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC,使点A△B△C 在圆周上, 将剪下的扇形作为一
个圆锥侧面,如果圆锥的高为,则这块圆形纸片的直径为( )
A. 12cm
B. 20cm
C. 24cm
D. 28cm
【答案】C
【解析】
【分析】
设这块圆形纸片的半径为R ，圆锥的底面圆的半径为r ，利用等腰直径三角形的性质得到AB R ，利用
圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr =90π180⋅，解得r =4R ，
然后利用勾股定理得到R ）2=（2+R ）2，再解方程求出R 即可得到这块圆形纸片的直径．
【详解】设这块圆形纸片的半径为R ，圆锥的底面圆的半径为r ，则AB R ，根据题意得：
2
πr =90π180⋅，解得：r =4R ，R ）2=（2+（4
R ）2，解得：R =12，所以这块圆形纸片的直径为24cm ．
故选C ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OBC=40°，则∠A 等于（ ）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】 由OB=OC ，∠OBC=40°，根据等边对等角与三角形内角和定理，可求得∠BOC 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠A 的度数．
【详解】解：∵OB=OC ，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-40°-40°=100°，
1502
A BOC ∴∠=∠=︒ 【点睛】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺
=10寸），则竹竿的长为（）
A. 五丈
B. 四丈五尺
C. 一丈
D. 五尺【答案】B
【解析】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴
1.5 150.5 x
△
解得x=45（尺），
故选B△
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．10.如图，四边形ABCD是正方形，点P△Q分别在边AB△BC的延长线上且BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：△AQ△DP△△△OAE△△OPA△△当正方形的边长为3，
BP＝1时，cos△DFO=3
5
△其中正确结论的个数是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3【答案】C
【解析】
【分析】
由四边形ABCD 是正方形，得到AD =BC ,90DAB ABC ∠=∠=︒，
根据全等三角形的性质得到∠P =∠Q △根据余角的性质得到AQ ⊥DP △故①正确；
根据勾股定理求出5,AQ =
=,DFO BAQ ∠=∠直
接用余弦可求出．
【详解】详解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD =BC ,90DAB ABC ∠=∠=o ，
∵BP =CQ △
∴AP =BQ △ 在△DAP 与△ABQ 中, AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAP ≌△ABQ △
∴∠P =∠Q △
∵90Q QAB ∠+∠=o
，
∴90P QAB ∠+∠=o ，
∴90AOP ∠=o ，
∴AQ ⊥DP △
故①正确；
②无法证明，故错误．
∵BP =1△AB =3△
∴4BQ AP ==，
5,AQ ==
,DFO BAQ ∠=∠ ∴3cos cos .5
AB DFO BAQ AQ ∠=∠=
= 故③正确， 故选C ．
【点睛】考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高． 二．填空题（共8小题，满分28分）
11.中国的领水面积约为3700000km2，将3700000用科学记数法表示为_____．
【答案】3.7×106
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】3700000用科学记数法表示为：3.7×106．
故答案为3.7×106．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.分解因式6xy2△9x2y△y3 = _____________.
【答案】△y(3x△y)2
【解析】
【分析】
先提公因式-y，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.
【详解】6xy2△9x2y△y3
=-y(9x2-6xy+y2)
=-y(3x-y)2△
故答案为△-y(3x-y)2.
【点睛】本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法及步骤是解题的关键.因式分解的一般步骤：一提（公因式），二套（套用公式），注意一定要分解到不能再分解为止.
13.已知一组数据x，1，2，3，5，它的平均数是3，则这组数据的方差是__．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据平均数确定出x后，再根据方差的公式计算方差．
【详解】由平均数的公式得：（x+1+2+3+5△÷5=3，解得x=4△
∴方差=[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（5-3）2+（4-3）2]÷5=2．
故答案为2． 【点睛】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所以数据的和除以所有数据的个数．方差的公式
(
2222121[()())n S x x x x x x n ⎤=-+-+⋯+-⎦．
14.x 的取值范围是：__________________________． 【答案】x≥12
-
且x≠1 【解析】
有意义， 则：21010,x x +≥⎧⎨-≠⎩
解得：2
1x ≥-
且 1.x ≠ 故答案为21x ≥-且 1.x ≠ 点睛：二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零.
分式有意义的条件：分母不为零.
15.某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：m 2)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是_____m 2．
【答案】150
【解析】
设绿化面积与工作时间的函数解析式为，因为函数图象经过，两点，将两点坐标
代入函数解析式得得，将其代入得，解得，∴一次函数解析式为，将代入得，故提高工作效率前每小时完成的绿化面积为．
16.一个小球沿着坡度为1：3的坡面向下滚动了10米，此时小球下降的垂直高度为_____米．
【解析】
【分析】
根据已知条件坡度为1:3，设BC=x米，AB=3x米，因△ABC是直角三角形，利用勾股定理列出方程即可求解.
【详解】解：小球沿着坡面向下前进了10m假设到A处，过C作CB⊥AB，
∵i＝1：3，
∴tan A＝
1
3 BC
AB
，
设BC＝xcm，AB＝3xcm，
x2+（3x）2＝102，
解得：x x（不合题意，舍去），
．
【点睛】本题主要考查是坡比以及勾股定理，坡比主要指的是坡度的正切值，掌握坡比和勾股定理是解此题的关键.
17.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝1
3
S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和
P A+PB的最小值为_____．
【解析】【分析】
已知S△P AB＝1
3
S矩形ABCD，则可以求出△ABP的高，此题为“将军饮马”模型，过P点作直线l∥AB，作点
A关于l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离. 【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△P AB＝1
3
S矩形ABCD，
∴1
2
AB•h＝
1
3
AB•AD，
∴h＝2
3
AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，
∴BE==
即P A+PB
【点睛】本题主要考查的是勾股定理以及“将军饮马”的模型，“将军饮马”模型主要是用来解决最小值问题，掌握这模型是解题的关键.
18.设△ABC的面积为1，如图①，将边BC△AC分别2等分，BE1△AD1相交于点O△△AOB的面积记为S1；如图②将边BC△AC分别3等分，BE1△AD1相交于点O△△AOB的面积记为S2△…，依此类推，则S n 可表示为________．（用含n的代数式表示，其中n为正整数）
【答案】
1
2n 1
+ 【解析】
试题解析：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，
∵AE 1：AC=1：（n+1）， ∴S △ABE1：S △ABC =1：（n+1）， ∴S △ABE1=
1
1
n +， ∵1111
AB BM n D E ME n +==， ∴11
21
BM n BE n +=+， ∴S △ABM ：S △ABE1=（n+1）：（2n+1）， ∴S △ABM ：1
1
n +=（n+1）：（2n+1）， ∴S n =
1
21
n +． 故答案为1
21
n +．
三．解答题（共7小题，满分62分）
19.（1
）计算：1
1|12sin 60(2016)3π-︒︒⎛⎫
+-+- ⎪⎝⎭
（2）先化简，再求值：
2
344
1
11
x x
x
x x
++
⎛⎫
-+÷
⎪
++
⎝⎭
，其中2
x=．
【答案】(1)1；（2）
-1.
【解析】
【分析】
△1△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△
△2△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△.
【详解】
2
△2△△△=[
3
1
x+
△
(1)(1)
1
x x
x
+-
+
]•
2
1
(2)
x
x
+
+
=
(2)(2)
1
x x
x
-+-
+
•
2
1
(2)
x
x
+
+
=2
2
x
x
-
+
△
1.
【点睛】
△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△.
20.据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目．某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．
（1）接受问卷调查学生共有名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为；请补全条形统计图；
（2）若该校共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解””和“基本了解”程度的总人数；
（3）“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率．
【答案】（1）60，90°，补图详见解析；（2）400；（3）1
3
．
【解析】
【分析】
(1)结合扇形统计图和条形统计图中“很少了解”这类人数即可求出总人数，用基本了解的人数与总人数之比乘以360°，则能求出它所对应的扇形统计图.
(2)用该校总人数乘以“了解””和“基本了解”所占的百分比即可.
(3)用列表法根据题目已知条件列出所有情况，从表中即可看出两人打平的概率.
【详解】解：（1）根据题意得：30÷50%＝60（名），“了解”人数为60﹣（15+30+10）＝5（名），
“基本了解”占的百分比为30
60
×100%＝25%，占的角度为25%×360°＝90°，
补全条形统计图如图所示：故答案为：60、90°；
（2）根据题意得：1200×155
60
＝400（人），
的
则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为400人； （3）列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中两人打平的情况有3种， 则两人打平的概率为
39＝13
． 【点睛】本题主要考查条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键. 21.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边OAB ∆的边OB 在x 轴的负半轴上，反比例函数
()0k
y x x
=
<的图象经过AB 边的中点C ，且与OA 边交于点D .
（1）求k 的值；
（2）连接OC ，CD ，求OCD ∆的面积；
（3）若直线y mx n =+与直线CD 平行，且与OAB ∆的边有交点，直接写出n 的取值范围.
【答案】（1）k =-；（2）OCD S ∆=3；（3）02n ≤≤+. 【解析】
【分析】
（1）过点C 作CE OB ⊥于E ，根据等边三角形的性质可求出点C 的坐标，把点C 的坐标代入反比例函数()0k
y x x
=
<即可求出k 的值； （2）过点A 作AF OB ⊥于F ，过点D 作DH OB ⊥于H .再根据等边三角形的性质可求得AF ，BF ，从而求出点A 的坐标.再用待定系数法求出直线OA 的解析式，让反比例函数解析 式与直线OA 的解析式联立解方程组求出点D 的坐标，三角形OCD 的面积=四边形ODCE 的面积-三角形OCE 的面积.从而得到求解. （3）由图形可知当y mx n =+过点C 时n 有最大值，当y mx n =+时n 有最小值. 【详解】（1）如图1，过点C 作CE OB ⊥于E ， ∵ABC ∆是等边三角形，
∴60ABO AOB ∠=∠=︒，4AB BO OA ===， ∵C 是AB 中点， ∴2BC =.
在Rt BEC ∆中，sin CE
CBE BC ∠=
，cos BE CBE BC
∠=，
∴sin 2sin 6022
CE BC CBE =⋅∠=⨯︒=⨯
= cos 2cos601BE BC CBE =⋅∠=⨯︒=，
∴413OE OB BE =-=-=，
∴(C -，
∴3k =-=-.
（2）如图2.过点A 作AF OB ⊥于F ，过点D 作DH OB ⊥于H .
则2OF =
，AF =
∴(2,A -，
设直线OA 解析式为()0y mx m =≠
，则2m -=，
∴m =
∴y =，
由（1
）可知反比例函数解析式为y x
-=
联立方程组：y x y ⎧-=
⎪⎨
⎪=⎩
，
解得：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
（舍），
∴()
D ，
∴OCD OHD CEO CEHD S S S S ∆∆∆=+-梯形
()2
CEHD CE DH EH
S +⋅==
梯形
)(
3332
⋅=
=.
（3
）02n ≤≤+.理由如下：
∵(C -
，()
D ， ∴CD k
=1.
∵直线y mx n =+与直线CD 平行， ∴m=1.
∴直线y mx n =+解析式为y x n =+.
∴把(2,A -代入y x n =+，得：
n=2+把()0,0O 代入y x n =+，得： n=0.
∴02n ≤≤+
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数解析式的求法及它们的性质，等边三角形的性，割补法求不规则图形的面积等知识，综合运用知识是解题的关键.
22.如图，以△ABC 的边AB 为直径作△O ，且顶点C 在△O 上，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D ，E 是BD 中点，连接CE ． （1）求证：CE 是△O 的切线；
（2）若AC ＝8，BC ＝6，求BD 和CE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）152
，15
4. 【解析】 分析】
（1）连接OC ，证∠OCE ＝90°即可； （2）根据勾股定理可得AB =10，再由tan A ＝3
4
BD BC AB AC ==可得BD 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即得CE 的长. 【详解】（1）证明：连接OC ，如图所示：
∵BD是△O的切线，
∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°，
∵AB是△O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCD＝90°，∵E是BD中点，
∴CE＝1
2
BD＝BE，
∴∠BCE＝∠CBE＝∠A，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCE，
∴∠BCE+∠BCO＝90°，
即∠OCE＝90°，
∴CE是△O的切线；
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴AB10
==，
∵tan A＝
63
84 BD BC
AB AC
===，
∴BD＝3
4
AB＝
15
2
，
∴CE＝1
2
BD＝15
4
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质、等腰三角形的性质、弦切角定理、锐角三角函数和直角三角形斜边中线的性质，考查的知识点虽多，但难度不大，第（1）小题连接OC，证明∠OCE＝90°是证明直线和圆相切问题时常见的思路，第（2）小题熟练掌握锐角三角函数和直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质是求解的关键.
23.某市扶贫办在精准扶贫工作中，组织30辆汽车装运花椒、核桃、甘蓝向外地销售．按计划30辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：
若装运核桃的汽车为x 辆，装运甘蓝的车辆数是装运核桃车辆数的2倍多1，假设30辆车装运的三种产品的总利润为y 万元．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若装花椒的汽车不超过8辆，求总利润最大时，装运各种产品的车辆数及总利润最大值．
【答案】(1)y=△3.4x+141.2△(2)当装运核桃的汽车为9辆、装运甘蓝的汽车为19辆、装运花椒的汽车为2辆时，总利润最大，最大利润为117.4万元． 【解析】 【分析】
（1）根据题意可以得装运甘蓝的汽车为（2x+1）辆，装运花椒的汽车为30△x△△2x+1△=△29△3x ）辆，从而可以得到y 与x 的函数关系式；
（2）根据装花椒的汽车不超过8辆，可以求得x 的取值范围，从而可以得到y 的最大值，从而可以得到总利润最大时，装运各种产品的车辆数．
【详解】(1)若装运核桃的汽车为x 辆，则装运甘蓝的汽车为（2x+1）辆，装运花椒的汽车为30△x△△2x+1△=△29△3x ）辆，
根据题意得：y=10×0.7x+4×0.5△2x+1△+6×0.8△29△3x△=△3.4x+141.2△
(2)根据题意得：()2938
2130x x x -≤⎧⎨++≤⎩
△
解得：7≤x≤
293
△ ∵x 为整数， ∴7≤x≤9△
∵10.6△0△
∴y随x增大而减小，
∴当x=7时，y取最大值，最大值=△3.4×7+141.2=117.4，此时：2x+1=19△29△3x=2△
答：当装运核桃的汽车为9辆、装运甘蓝的汽车为19辆、装运花椒的汽车为2辆时，总利润最大，最大利润为117.4万元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用.
24.如图所示，在边长为正方形OABC中，OB为对角线，过点O作OB的垂线．以点O为圆心，r为半径作圆，过点C做⊙O的两条切线分别交OB垂线、BO延长线于点D、E，CD、CE分别切⊙O于点P、Q，连接AE．
（1）请先在一个等腰直角三角形内探究tan22.5°的值；
（2）求证：
①DO＝OE；
②AE＝CD，且AE⊥CD．
（3）当OA＝OD时：
①求∠AEC的度数；
②求r的值．
【答案】（1）tan22.5°﹣1；（2）①见解析；②见解析；（3）①∠AEC的度数为45°
【解析】
【分析】
（1）如图1，△GMN是等腰直角三角形，过点N作NF平分∠MNG，交GM于点F，过点F作FH⊥NG于
H．根据角平分线的性质可得FM＝FH，利用三角函数可得GF FH，从而有GF FM，进而可得
MN+1）FM，在Rt△FMN中运用三角函数就可求出tan22.5°的值．
（2）如图2，①易证∠DOC ＝∠EOC ＝135°，根据切线长定理可得∠PCO ＝∠QCO ，从而可证到△DOC ≌△EOC ，则有OD ＝OE ．②易证△AOE ≌△COD ，从而有AE ＝CD ，∠AEO ＝∠CDO ．由∠KDO +∠DKO ＝90°可得∠AEO +∠DKO ＝90°，即可证到AE ⊥CD ．
（3）连接OQ ，如图3．由OC ＝OE 得∠OEC ＝∠OCE ，从而求出∠OEC ＝22.5°．在Rt △OQE 中，运
用三角函数可得到)
1QE r =，然后运用勾股定理就可求出r 的值． 【详解】解：（1）如图1，△GMN 是等腰直角三角形．
则有∠M ＝90°即GM ⊥MN ，MG ＝MN ，∠MGN ＝∠MNG ＝45°．
过点N 作NF 平分∠MNG ，交GM 于点F ，过点F 作FH ⊥NG 于H ．
∵NF 平分∠MNG ，FH ⊥NG ，FM ⊥MN ， ∴122.52
MNF MNG FM FH ∠=∠=︒=，． ∵FH ⊥NG 即∠FHG ＝90°，∠G ＝45°，
∴sin 2
FH G GF ==
∴GF FH ．
∴GF FM ．
∴MN ＝MG ＝MF +FG ＝MF FM +1）FM ．
在Rt △FMN 中，
tan ∠FNM ＝tan22.5° 1.
FM MN ====
∴tan22.5°1．
（2）①如图2，
∵四边形OABC 是正方形，
∴OA ＝OC ，∠AOB ＝∠BOC ＝45°．
∴∠EOC ＝180°﹣∠BOC ＝135°．
∵OD ⊥OB 即∠DOB ＝90°，
∴∠DOC ＝∠DOB +∠BOC ＝135°．
∴∠DOC ＝∠EOC ．
∵CD 、CE 分别与⊙O 相切于P 、Q ，
∴∠PCO ＝∠QCO ．
在△DOC 和△EOC 中，
,DCO ECO OC OC
DOC EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△DOC ≌△EOC （ASA ）．
∴OD ＝OE ．
②∵∠AOB ＝45°，
∴∠AOE ＝135°．
∴∠AOE ＝∠DOC ．
在△AOE 和△COD 中，
,OA OC AOE DOC OE OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOE ≌△COD （SAS ）．
∴AE ＝CD ，∠AEO ＝∠CDO ．
∵∠DOB ＝90°，∴∠KDO +∠DKO ＝90°．
∴∠AEO +∠DKO ＝90°．
∴∠KRE ＝90°．
∴AE ⊥CD ．
（3）①∵OA ＝OD ，OA ＝OC ，OD ＝OE ，
∴OA ＝OD ＝OE ＝OC ．
∴点A 、D 、E 、C 在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上．
∴根据圆周角定理可得∠AEC ＝
12
∠AOC ＝45°． ∴∠AEC 的度数为45°．
②连接OQ ，如图3．
∵OC ＝OE ，∴∠OEC ＝∠OCE ．
∵∠BOC ＝∠OEC +∠OCE ＝2∠OEC ＝45°，
∴∠OEC ＝22.5°
∵CE 与⊙O 相切于点Q ，
∴OQ ⊥EC ，即∠OQE ＝90°．
在Rt △OQE 中，
∵∠OQE ＝90°，
∴tan ∠OEQ ＝tan22.5°1OQ QE =
=． ∵OQ ＝r ，
∴)
1
QE r ==． ∵∠OQE ＝90°，
∴OQ 2+QE 2＝OE 2．
∵)1OQ r QE r OE ，，==
=
∴)(222[1]r r +=．
整理得(2
432r +=．
解得：r ＝
∴r 的值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线长定理、正方形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性强．而证明三角形全等是证明线段（或角）相等常用的一种方法，需掌握．
25.如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(1,0)A -，(4,)B m 两点，且抛物线经过点(5,0)C
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 点B 重合），过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，交直线AB 于点E ．当2PE ED =时，求P 点坐标；
（3）如图所示，设抛物线与y 轴交于点F ，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q ，使得四边形OFQC 的面积最大？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）245y x x =-++；（2）P 点坐标为（2，9）或（6，-7）；（3）存在点Q （535
24
，）使得四边形OFQC 的面积最大，见解析.
【解析】
【分析】
（1）先由点B 在直线1y x =+上求出点B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）可设出P 点坐标，则可表示出E 、D 的坐标，从而可表示出PE 和ED 的长，由条件可知到关于P 点坐标的方程，则可求得P 点坐标；
（3）作QP x ⊥轴于点P ，设(Q m ，245)(0)m m m -++>，知PO m =，245PQ m m =-++，5CP m =-，根据四边形OFQC 的面积PQC PQFO S S ∆=+四边形建立关于m 的函数，再利用二次函数的性质求解可得．
【详解】解：（1）Q 点(4,)B m 在直线1y x =+上，
415m ∴=+=，(4,5)B ∴，
把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得016402550a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴抛物线解析式为245y x x =-++；
（2）设2(,45)P x x x -++，则(,1)E x x +，(,0)D x ，
则22|45(1)||34|PE x x x x x =-++-+=-++，|1|DE x =+，
2PE ED =Q ，
2|34|2|1|x x x ∴-++=+，
当2342(1)x x x -++=+时，解得1x =-或2x =，但当1x =-时，P 与A 重合不合题意，舍去， (2,9)P ∴；
当2342(1)x x x -++=-+时，解得1x =-或6x =，但当1x =-时，P 与A 重合不合题意，舍去， (6,7)P ∴-；
综上可知P 点坐标为(2,9)或(6,7)-；
（3）存在这样的点Q ，使得四边形OFQC 的面积最大．
如图，过点Q 作QP x ⊥轴于点P ，
设(Q m ，245)(0)m m m -++>，
则PO m =，245PQ m m =-++，5CP m =-，
四边形OFQC 的面积PQC PQFO S S ∆=+四边形
2211(455)(5)(45)22
m m m m m m =⨯-++++⨯-⨯-++g 252525222
m m =-++ 255225()228
m =--+， 当52
m =时，四边形OFQC 的面积取得最大值，最大值为2258，此时点Q 的坐标为5(2，35)4． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式．。