宁夏石嘴山市平罗中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

2019-2020 学年宁夏石嘴山市平罗中学高三（上）期中数学试
卷 （理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知集合{}2|log 2A x x =<，{|2}B x x =<，则A B =( )
A. {|2}x x <
B. {|4}x x <
C. |02}x x 〈<<
D. {}|04x x <<
【答案】C 【解析】 【分析】
可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．
【详解】因为{}2|log 2{|04}A x x x x =<=<<，所以{|02}A B x x ⋂=<<.选C. 【点睛】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算． 2.已知向量(,3)a x =(2,2)b =- ,且a b ⊥,则a b +=( )
A. 5
C. D. 10
【答案】B 【解析】
【详解】因为a b ⊥所以，260,3,x x -==
a b +
25==+=,
故选B.
3.求函数3()231f x x x =-+零点的个数为（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
可根据函数求导，根据导函数求得函数的极大值与极小值，再根据函数特点判断零点个数
【详解】2()630f x x x '=-==,
()f x 在,2⎛-∞- ⎝⎭上单调递增,在,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减,在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上上单调递增,
所以当2
x =-
时,()f x 取到极大值10+>,
所以当2
x =
时,()f x 取到极小值10-<, 所以函数3
()231f x x x =-+零点的个数为3 所以C 选项是正确的
【点睛】三次函数问题一般通过求导解决函数的增减性问题和零点问题． 4.命题“[]2
1,2,20x x a ∀∈-≥”为真命题的一个充要条件是（ ）
A. 1a ≤
B. 2a ≤
C. 3a ≤
D. 4a ≤
【答案】B 【解析】 【分析】
若[]21,2,20x x a ∀∈-≥成立,则22a x ≤在[]1,2x ∈成立,即a 小于等于22x 在[]
1,2x ∈的
最小值,即可求解.
【详解】解:由220x a -≥,得22a x ≤, 因为函数2
2y x =在[]1,2上的最小值为2.
所以[]2
1,2,20x x a ∀∈-≥成立,可得2a ≤.
即命题[]2
1
220x x a ∀∈-≥，，为真命题的一个充要条件是2a ≤, 故选:B
【点睛】本题考查求命题的充要条件,考查不等式的恒成立问题.
5.如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )
A.
3
e B.
43
e
- C.
33
e
- D.
1
3
e - 【答案】B 【解析】 【分析】
根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为1
=x
S e dx ⎰
阴影，再由题意得到矩形OABC 的面积，
最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果.
【详解】由题意，阴影部分的面积为1
1=10
x x
S e dx e
e ==-⎰
阴影，
又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，
所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为
4=
3
OABC OABC
S S e
P S --=
阴影
矩形矩形. 故选B
【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型. 6.函数sin 4y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的一个单调增区间是（ ） A. [],0π- B. 0,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π C. ,42ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D. ,2π
π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
对函数sin 4y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
在每个选项的区间上的单调性进行逐一验证，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，当[],0x π∈-时，3444x πππ-≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在
区间[],0π-上不单调； 对于B 选项，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，442x πππ≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭区间0,4⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
π上单调递增； 对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，3244x πππ≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦上单调递减； 对于D 选项，当,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，35444x πππ≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
上单调递减.故选B.
【点睛】本题考查正弦型函数在区间单调性的判断，一般利用验证法进行判断，即求出对象角的取值范围，结合正弦函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题.
7.已知△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，
且22
()a b c ab +=+，30B =︒，4a =，则ABC ∆的面积为（ ）
A. 4
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】 【分析】
根据余弦定理和三角形面积公式求解.
【详解】因为2
2
()a b c ab +=+，即222a b c ab +-=-.
所以2221cos 22
a b c C ab +-==-，所以120C =︒，又30B =︒，
所以30.A B ==即4a b ==，故ABC ∆的面积1144222
S absinC =
=⨯⨯⨯=
故选C.
【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.
8.在ABC ∆中，O 为其内部一点，且满足40OA OB OC ++=，则ABC ∆和AOC ∆的面积比是（ ） A. 2 B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C 【解析】 【分析】
画出图形,设D 是AB 中点,连接OD ,则2OA OB OD +=,即可得到,,C O D 三点共线,进而根据线段的比来确定面积的比.
【详解】在ABC ∆中,O 为其内部一点,且满足40OA OB OC ++=, 设D 是AB 中点,连接OD ,如图所示,
则2OA OB OD +=,且2ABC ACD S S ∆∆＝,
240OD OC ∴+=
∴,,C O D 三点共线,且2OD OC ＝,
3AOC ACD S S ∆∆∴＝ 62AOC ACD ABC S S S ∆∆∆∴＝＝ :6:1ABC AOC S S ∆∆∴＝,
则ABC ∆和AOC ∆的面积比是6 故选:C
【点睛】本题考查向量加法的应用,考查向量的数乘向量的应用.
9.已知函数()sin f x x x =+，如果()()120f t f t -+-<，则实数t 的取值范围是（）
A. 32
t >
B. 32
t <
C. 12
t >
D. 12
t
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数()sin f x x x =+，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式()()120f t f t -+-<，转化为12t t -<-，即可求解．
【详解】由函数()sin f x x x =+，可得()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()f x 为单调递增函数， 又由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数， 因为()()120f t f t -+-<，即()()12(2)f t f t f t -<--=-， 所以12t t -<-，解得3
2
t >
，故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10.如图点A 为单位圆上一点，3
xOA π
∠=
，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点
B 22
(,)22
-
，则sin α=()
26
-+26
- 26
+ D. 26
+【答案】C 【解析】 【分析】
由3
xOA π
∠=
，点B (得到sin 3πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，cos 3πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
将所求的sin α转化为sin[()]33
π
π
α+
-，按照公式展开，得到答案.
【详解】由题意因为3
xOA π
∠=
，点B (,22
-
所以sin 32πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，cos 32πα⎛⎫+=- ⎪
⎝
⎭
所以1sin sin[()]()33222π
παα=+-=--=
， 故选C
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，凑角求值，属于简单题. 11.若函数()2sin 21()6f x x a a π⎛⎫
=+
+-∈ ⎪⎝
⎭R 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个零点1x ，()212x x x ≠，则12x x a +-的取值范围是（ ）
A. 1,13
3π
π⎛⎫-+
⎪⎝⎭
B. ,133ππ⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
C. 221,133ππ⎛⎫-+
⎪⎝⎭
D.
22,133ππ⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数零点的定义、函数的图像的对称轴方程，求得123x x π
+=，再根据2sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭的图像和直线1y a =-在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个交点，正弦函数的定义域和值域求得a 的范围，可得12x x a +-的取值范围.
【详解】解：()2sin 216f x x a π⎛
⎫=++- ⎪⎝
⎭的周期为π，令262x ππ+=，求得6x π=.
∴函数在y 轴右侧的
第一条对称轴方程为
6
x π
=
由于函数的两个零点为1x ，()212x x x ≠ ∴1226
3
x x π
π
+=⨯
=
∵函数()2sin 21()6f x x a a π⎛⎫
=+
+-∈ ⎪⎝
⎭R 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个零点 ∴可转化为：2sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像和直线1y a =-在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个交点 由0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
如下图所示：(,1)2A π
-，(0,1)B ，(,2)6
C π
∴[]2sin 21,26x π⎛
⎫
+
∈- ⎪⎝
⎭
∴112a ≤-< 求得01a ≤-< ∴
1213
3
x x a π
π
+-<
+
故选B .
【点睛】本题考查了正弦函数的图像，函数零点的定义，体现了转化的数学思想.
12.已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩
，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（ ）
A. 22
B. 2
C.
2 D. 1
【答案】B 【解析】 【分析】
设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为
4
π
，可得出122x x d -=，于是当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，从而12x x -取到最大值. 【详解】如下图所示：
设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，122x x d -， 由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，
当0x >时，()ln f x x x =，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0， 此时，101
22
d -+=
=12max 222x x ∴-==，故选B.
【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若锐角ABC ∆的面积为5,8AB AC ==，则BC 等于 . 【答案】7 【解析】
由已知得ABC ∆的面积为
1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==，所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3
A π
=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，
7BC =．
考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．
【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．
14.设函数()f x 的导数为()f x '，且2()2(1)f x x xf =+'，则(2)f '= . 【答案】0 【解析】
试题分析：因为2
()2(1)f x x xf =+'，所以()22(1)f x x f '+'=，令1x =，得
(1)22(1)f f =+''，解得()12f '=-，则()24f x x '=-，所以()22240f =⨯-='．
考点：导数的运算；函数值的求解． 15.若将函数()cos()8
f x x π
ω=-
（0>ω）的图像向左平移
12
π
个单位后，所得图像对应的函
数为偶函数，则ω的最小值是________ 【答案】32
【解析】 【分析】
由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128
x x ωπ
π
ω=+
-，因为g()x 为偶函数，所以
=,12
8
k k Z ωπ
π
π-
∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解．
【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8
f x x π
ωω=-
>的图象向左平移
12
π
个单位后，所得图
象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128
x x x π
πωππωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣
⎦ 因为g()x 为偶函数， 所以
3
=,12,12
82
k k Z k k Z ωπ
π
πω-
∈∴=+∈， 由0>ω， 所以ω的最小值为3
2
， 故答案为
32
． 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．
16.如图，向量OA OB ⊥，2OA =，1OB =，P 是以O 为圆心、OA 为半径的圆弧AC 上的动点，若OP mOA nOB =+，则mn 的最大值是______.
【答案】1 【解析】 【分析】
将OP mOA nOB =+两边平方，利用数量积的运算化简可得2244m n =+，用基本不等式即可求得最大值．
【详解】因为OA OB ⊥，2OA =，1OB =， 所以2
2
4,1,?0OA OB OAOB ===, 因为P 为圆上，所以2
4OP =，
OP mOA nOB =+，
2
2()OP mOA nOB ∴=+， 2244m n ∴=+， 2244m n mn +≥，
44mn ∴≤，
1mn ∴≤，故答案为1．
【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、基本不等式的应用，属基础题．数量积的运算主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b
θ=
（此时a b 往往用坐标形式求解）；
（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b
⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb +
的模（平方后需求a b ⋅）.
三、解答题（共70分）
17.已知函数()()2
cos sin f x x x x π=--.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值.
【答案】(1) T π=. (2) 1-. 【解析】
分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求周期，（2）根据自变量范围确定正弦函数单调区间，根据单调区间确定函数最小值.
详解： （1）()()2
cos sin f x x x x π=--
1cos2
cos 2
x
x x -=-
11cos222
x x =
+-
1sin 262x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
所以，()f x 的最小正周期为22
T π
π==. （2）由0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，得72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭， 111sin 2622x π⎛
⎫-≤+-≤ ⎪⎝
⎭，
∴()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是1-.
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
18. 某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.
【答案】（1）A 中学至少1名学生入选的概率为99
100
p =. （2）X 的分布列为：
X 的期望为.
【解析】 【分析】
(1) A 中至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中的学生，计算概率后，再用1减，即是所求概率；
(2)6名队员中有3男，3女，所以选4人中，X 表示参赛的男生人数，X 的可能取值为1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列分布列和求期望. 【详解】(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．
参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为
.
因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－
(2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3. P(X ＝1)＝
，P(X ＝2)＝
，P(X ＝3)＝
.
所以X 的分布列为
因此，X 的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. 考点：1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.
19.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是a b c 、、，已知(2)cos cos c b A a B -=.
（1）求角A 的大小；
（2）若AD 为BC 边上的中线，1129
cos ,7B AD ==
，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3
A π
=；（2）3【解析】
【分析】
（1）先利用正弦定理化边为角可得()20sinAcosB sinC sinB cosA --=,整理可得
()120sinC cosA -=,即可求解；
（2）由（1）及条件可得求得sin C ,则利用正弦定理可得7
5
a c =,设75a x c x ==、,利用余弦定理求得x ,即可求得,a c ,进而求得三角形面积. 【详解】（1）因为(2)c
b cosA acosB -=
由正弦定理得()20sinAcosB sinC sinB cosA --=, 即sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C A +-=, 所以()120sinC cosA -=, 因为0C π<<, 所以sin 0C >, 所以1cos 2
A =
, 又0A π<<, 所以3
A π
=
（2）在ABC ∆中,1cos 7B =
,
所以sin B ==
, 由（1）可得(
)11sin sin sin cos cos sin 272714
C A B A B A B =+=+=
⨯+⨯=
由正弦定理得sin 7
sin 5
14
a A c C =
== 设75a x c x ==、,
在ABD ∆中,由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅⋅, 可得
22129111
25492574427
x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯ 解得1x =,可得7,5a c ==
所以ABC ∆
的面积11sin 7522S ac B =
=⨯⨯=【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积公式的应用.
20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为2
，右焦点到直线0x y ++=
的距离为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点()0,1M -作直线l 交椭圆于,A B 两点，交x 轴于N 点，满足7
5
NA NB =-，求直线l 的方程．
【答案】（1）22
182
x y +=；
（2）1y x =-或1y x =--. 【解析】 【分析】
（1）设出右焦点的坐标，通过点到直线距离公式，可以求出c 的值，根据已知可知离心率，进而可以求出a 的值，利用222c a b =-，可以求出b ，最后求出椭圆的标准方程； （2）设出直线l 交椭圆于,A B 两点的坐标，利用7
5
NA NB =-
，可以求出两点纵坐标的关系，直线l 的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系，可以求出直线l 的斜率，进而求出直线l 的方程.
【详解】（1）设右焦点为(),0c
c ==±
c =
c =-（舍去）
．
又离心率
c a =
=
，解得a =
b == 故椭圆的方程为22
182
x y +=.
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），N （x 0，0），因为7
5
NA NB =-
，
所以()()1012027,,5x x y x x y -=-
-，127
5
y y =-①， 易知当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，①不成立， 于是设直线l 的方程为()10y kx k =-≠，联立22
1
48y kx x y =-⎧⎨
+=⎩
消去x 得()2
22412180k
y y k +++-=，
因为直线l 过的点()0,1M -在椭圆内，所以>0∆恒成立．于是122241
y y k +=-
+②，
2
122
1841
k y y k -=+ ③， 由①②得，y 2＝
2
541
k +，y 1＝﹣
2
741
k +，代入③整理得422
890,1,1k k k k +-===±.
所以直线l 的方程是1y x =-或1y x =--.
【点睛】本题考查了通过已知的条件求出椭圆的标准方程.重点考查了直线与椭圆的关系，根据向量式，得到纵坐标的关系，根据根与系数的关系求出直线斜率的问题，属于中档题. 21.已知函数f(x)=x e -ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； （2）当m≤2时，证明f(x)>0.
【答案】(1)()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞上是增函数（2）见解析 【解析】 【详解】(1)
．
由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1． 于是f(x)=e x －ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．
函数
在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x ∈(－1，0)时， f '(x)<0;
当x ∈(0，+∞)时， f '(x)>0． 所以f(x)
(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．
(2)当m≤2，x ∈(－m ，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0． 当m=2时，函数
在(－2，+∞)上单调递增．
又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根
，且
．
当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．
由f '(x 0)=0得=，，
故
．
综上，当m≤2时， f(x)>0．
四、选做题（请在22、23题中任选一题作答，共10分）
22.在直角坐标系xOy 中，直线1:3C x =-，圆()()2
2
2:211C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，设23,C C 的交点为A ，B ，求2C AB ∆的面积．
【答案】（1）cos 3ρθ=-，2
4cos 2sin 40ρρθρθ--+=；（2）
1
2
. 【解析】 【分析】
（1）由x =ρcosθ，y =ρsinθ，以及ρ2=x 2+y 2，可得C 1，C 2的极坐标方程； （2）将4
π
θ=
代入C 2的极坐标方程，可得|AB |，可得直角△C 2AB 的面积．
【详解】（1）因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以C 1的极坐标方程为ρcosθ=-3， 圆C 2：（x -2）2+（y -1）2=1即为x 2+y 2-4x -2y +4=0， 可得C 2的极坐标方程为2
4cos 2sin 40ρρθρθ--+=． （2）将4
π
θ=
代入ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0，得23240ρρ-+=，
解得12222ρρ==，．故122ρρ-=2AB =
由于C 2的半径为1，所以直角△C 2AB 的面积为
1
2
． 【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．
23.已知函数()f x x m =-，关于x 的不等式()3f x ≤的解集为[]1,5-． （1）求实数m 的值；
（2）已知,,a b c ∈R ，且22a b c m -+=，求222a b c ++的
最小值．
【答案】（1）2；（2）4
9
【解析】 【分析】
(1)直接对不等式化简得33m x m -≤≤+，然后对比它的解集，即可求出m. (2)直接利用柯西不等式化简．
【详解】（1）33333x m x m m x m -≤⇔-≤-≤⇔-≤≤+，由题意31
35m m -=-⎧⎨+=⎩
，
故2m =．
（2）由（1）可得222a b c -+=， 由柯西不等式可得(
)()()2
2
222
2
212222a b c a b c ⎡⎤+++-+≥-+⎣
⎦
4=，
所以(
)222
49
a b c ++≥. 当且仅当
122a b c ==-，即29a =，4
9b =-，49
c =时等号成立，
∴ 222a b c ++的最小值为4
9
．
【点睛】本题考查解绝对值不等式和柯西不等式，属于中档题．。