高考数学大一轮复习第十章计数原理10.3二项式定理教师专用理苏教版

第十章 计数原理 10。

3 二项式定理教师用书 理 苏教版
1．二项式定理
二项式定理 (a ＋b )n ＝C 错误!a n ＋C 错误!a
n －1
b ＋…＋C 错误!a n －r b r ＋…＋C 错误!
b n (n ∈N ＊)
二项展开式 的通项公式 T r ＋1＝C 错误!a n －r b r ，它表示第r ＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C 错误!（r ∈{0,1,2，…，n })
2。

二项式系数的性质 （1）C 错误!＝1，C 错误!＝1。

C 错误!＝C 错误!＋C 错误!。

（2)C 错误!＝C 错误!。

（3）当n 为偶数时，二项式系数中，以2C n n
最大；当n 为奇数时,二项式系数中以12C
n n
-n 和
12C
n n
+n （两者相等)最大．
(4)C 错误!＋C 错误!＋…＋C 错误!＝2n。

【知识拓展】
二项展开式形式上的特点 （1）项数为n ＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
（3)字母a按降幂排列,从第一项开始，次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n。

(4)二项式的系数从C错误!,C错误!，一直到C错误!，C错误!.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)
(1)C错误!a n－r b r是二项展开式的第r项．（×）
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（×）
（3)(a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √）
（4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．（×）
（5）若（3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128。

（×)
1．(教材改编）（x－y)n的二项展开式中,第m项的系数是________．
答案（－1)m－1C错误!
解析(x－y)n展开式中第m项的系数为
C错误!（－1)m－1。

2．（2016·四川改编）设i为虚数单位，则（x＋i)6的展开式中含x4的项为__________．
答案－15x4
解析由题意可知，含x4的项为C错误!x4i2＝－15x4.
3．（2016·徐州模拟）已知C错误!＋2C错误!＋22C错误!＋23C错误!＋…＋2n C错误!＝729，则C 错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝________.
答案63
解析逆用二项式定理得C错误!＋2C错误!＋22C错误!＋23C错误!＋…＋2n C错误!＝(1＋2）n＝3n＝729,即3n＝36，所以
n＝6，
所以C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝26－C错误!＝64－1＝63.
4．（2016·苏州模拟)（1＋x）8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．
答案168
解析∵(1＋x)8的通项为C错误!x r，（1＋y）4的通项为C错误!y t，∴（1＋x)8（1＋y）4的通项为C错误!C错误!x r y t，令r＝2，t＝2，得x2y2的系数为C错误!C错误!＝168。

题型一 二项展开式
命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例 1 （1)(2016·全国乙卷)(2x ＋错误!）5
的展开式中，x 3
的系数是______________．(用数字填写答案）
(2)（2015·课标全国Ⅰ改编）(x 2
＋x ＋y )5
的展开式中，x 5y 2
的系数为________． 答案 （1）10 （2）30
解析 （1）（2x ＋错误!）5
展开式的通项公式T r ＋1＝C 错误!（2x )
5－r
·(错误!)r ＝C 错误!2
5－
r
52
r x
-
,r ∈｛0，1，2，3，4，5}，令5－错误!＝3，解得r ＝4，得T 5＝C 错误!25－4
452
x
-
＝10x 3
，
∴x 3
的系数是10.
(2）方法一 利用二项展开式的通项公式求解． (x 2
＋x ＋y )5
＝[（x 2
＋x ）＋y ]5
, 含y 2
的项为T 3＝C 错误!（x 2
＋x )3
·y 2。

其中（x 2
＋x ）3
中含x 5
的项为C 错误!x 4
·x ＝C 错误!x 5。

所以x 5y 2的系数为C 错误!C 错误!＝30。

方法二 利用组合知识求解．
(x 2
＋x ＋y )5
为5个x 2
＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2
，一个取x 即可，所以x 5y 2
的系数为C 错误!C 错误!＝30。

命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数
例 2 （1）(2015·课标全国Ⅱ)(a ＋x )（1＋x ）4
的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.
(2)(2016·山东）若错误!5
的展开式中x 5
的系数为－80，则实数a ＝________。

答案 （1）3 (2）－2
解析 (1)设(a ＋x ）(1＋x ）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5
， 令x ＝1,得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1,得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5。

② ①－②，得16（a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5），
即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1），所以8（a ＋1)＝32，解得a ＝3.（2）∵T r ＋1＝C r
，5（ax 2
）
5－r
错误!r ＝a
5－r
C 错误!5102
r
x
,
∴10－52
r ＝5，解得r ＝2，∴a 3C 2
，5＝－80，解得a ＝－2。

思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零；求有理项时,指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．
（1）（2016·连云港模拟）(错误!＋x ）(1－错误!)4
的展开式中x 的系数是
________．
（2)(x ＋a ）10
的展开式中,x 7
的系数为15,则a ＝________.(用数字填写答案） 答案 (1)3 (2)1
2
解析 (1)(1－x ）4
展开式的通项公式T r ＋1＝C 错误!（－错误!)r ＝(－1)r
C 错误!2
r x ，（错误!＋
x ）(1－x ）4
的展开式中含x 的项为2
x ·（－1）4C 错误!x 2＋x ·（－1）0
C 错误!02
x ＝错误!·x 2＋
x ·1＝3x ，故系数是3.
（2)设通项为T r ＋1＝C 错误!x
10－r a r
,令10－r ＝7，
∴r ＝3,∴x 7
的系数为C 3
，10a 3
＝15， ∴a 3
＝错误!,∴a ＝错误!。

题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3 在（2x －3y ）10
的展开式中,求： （1）二项式系数的和；
（2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
解设（2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，（＊)
各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋
a
5
＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋
a
10。

由于(*）是恒等式，故可用“赋值法"求出相关的系数和．
（1）二项式系数的和为C0，10＋C错误!＋…＋C错误!＝210.
（2)令x＝y＝1，各项系数和为（2－3)10＝(－1）10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝29，
偶数项的二项式系数和为C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝29。

（4）令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1），
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510,②
①＋②得2（a0＋a2＋…＋a10）＝1＋510，
∴奇数项系数和为1＋510
2
;
①－②得2（a1＋a3＋…＋a9）＝1－510,
∴偶数项系数和为错误!.
（5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝错误!；
x的偶次项系数和为a
＋a2＋a4＋…＋a10＝错误!。

思维升华（1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法,对形如(ax＋b）n，(ax2＋bx＋c）m（a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x
＝1即可;对形如（ax＋by）n（a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（2)若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1),奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝错误!，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝错误!.
(1）（2017·淮安月考)设m为正整数，（x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.
答案6
解析由题意得a＝C错误!，b＝C错误!，
∴13C m，2m＝7C错误!，
∴错误!＝错误!，
∴错误!＝13,解得m＝6，
经检验符合题意．
（2）若（1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016，则错误!＋错误!＋…＋错误!的结果是多少？
解当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.
当x＝错误!时，左边＝0，右边＝a0＋错误!＋错误!＋…＋错误!,
∴0＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!。

即错误!＋错误!＋…＋错误!＝－1。

题型三二项式定理的应用
例4 (1)设a∈Z且0≤a＜13，若512 016＋a能被13整除，则a＝________。

(2)1。

028的近似值是________．(精确到小数点后三位)
答案（1)12 (2）1。

172
解析（1）512 016＋a＝（52－1）2 016＋a＝C错误!·522 016－C错误!·522 015＋…＋C错误!×52·（－1)2 015＋C错误!·（－1)2 016＋a,
∵C错误!·522 016－C错误!·522 015＋…＋C错误!×52·（－1）2 015能被13整除且512 016＋a能被13整除，
∴C错误!·(－1）2 016＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12。

(2）1.028＝（1＋0.02）8≈C错误!＋C错误!·0.02＋C错误!·0。

022＋C错误!·0。

023≈1.172。

思维升华(1）整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．
（2）二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式．
(1)1－90C错误!＋902C错误!－903C错误!＋…＋（－1)r90r C错误!＋…＋9010C错误!除以88的余数是________．
答案1
解析1－90C1，10＋902C错误!－903C错误!＋…＋(－1)r90r C错误!＋…＋9010C错误!＝(1－90)10＝8910＝（88＋1)10
＝8810＋C110889＋…＋C错误!88＋1,
∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
（2）已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值．
解原式＝4·6n＋5n－a＝4（5＋1）n＋5n－a
＝4(C0，n5n＋C错误!5n－1＋…＋C错误!52＋C错误!5＋C错误!)＋5n－a
＝4(C错误!5n＋C错误!5n－1＋…＋C错误!52)＋25n＋4－a，
显然正整数a的最小值为4。

13．二项展开式的系数与二项式系数
典例(1)（2016·江苏镇江中学质检）若(错误!－错误!)n展开式的各项系数绝对值之和为1
024，则展开式中含x项的系数为________．
(2）已知(x－m）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________。

错解展示
解析(1)(错误!＋错误!)n展开式中，令x＝1可得4n＝1 024，∴n＝5,∴(错误!－错误!)n展开
式的通项T r＋1＝(－3）r·C r，5·
53
2
r
x
-
，令错误!＝1，得r＝1。

故展开式中含x项的系数为C错误!＝5.
(2)a1＋a2＋…＋a7＝C1，7＋C错误!＋…＋C错误!＝27－1。

答案（1）5 （2)27－1
现场纠错
解析（1)在(错误!＋错误!)n的展开式中，令x＝1，
可得（错误!－错误!）n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1 024＝210，∴n＝5.故（错误!－错误!）5展开式的通项为
T r
＋1＝（－3)r·C r，5·
53
2
r
x
-
，
令错误!＝1,得r＝1，
故展开式中含x项的系数为－15.
(2)∵（x－m）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝0，∴a0＝(－m）7.
又∵展开式中x4的系数是－35，∴C错误!·（－m)3＝－35，∴m＝1。

∴a0＝（－m)7＝－1。

在(x－m）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，
令x＝1,得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7，
即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1。

答案 （1)－15 (2)1
纠错心得 和二项展开式有关的问题,要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数,是系数和还是二项式系数的和。

1．在x 2（1＋x ）6的展开式中，含x 4
项的系数为________． 答案 15
解析 因为（1＋x )6
的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r ，6x r ,x 2（1＋x )6的展开式中含x 4
的项为C 26x 4
＝15x 4
,所以系数为15。

2．（2015·湖南改编）已知错误!5
的展开式中含32
x 的项的系数为30，则a ＝________。

答案 －6
解析 错误!5
的展开式通项T r ＋1＝C 错误
! (－1)r a r
·2
r
x -＝（－1)r a r
C 错误! 52
r x
-，令错误!
－r ＝错误!，则r ＝1，
∴T 2＝－a C 错误!32
x ,∴－a C 错误!＝30，∴a ＝－6. 3．（4x －2－x )6
（x ∈R ）展开式中的常数项是________． 答案 15
解析 设展开式中的常数项是第r ＋1项,则T r ＋1＝C r 6·（4x )6－r
·（－2－x )r
＝C 错误!·（－
1)r
·2
12x －2rx
·2
－rx
＝C 错误!·（－1)r ·2
12x －3rx
，
∵12x －3rx ＝0恒成立,∴r ＝4， ∴T 5＝C 错误!·(－1)4
＝15。

4．（2015·湖北改编）已知（1＋x ）n
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________． 答案 512
52r x -
解析由题意，C错误!＝C错误!，解得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29＝512. 5．若在（x＋1）4（ax－1）的展开式中，x4的系数为15，则a的值为________．
答案4
解析∵（x＋1）4（ax－1）＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1），∴x4的系数为4a－1＝15，∴a＝4.
6．若（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x)n＝a0＋a1(1－x）＋a2(1－x）2＋…＋a n（1－x）n,则a
－a1＋a2－a3＋…＋（－1）n a n＝____________。

答案错误!（3n－1)
解析在展开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1）n a n，
即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n a n＝错误!
＝错误!（3n－1）．
7．（2016·扬州模拟）已知（1＋2x）8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b，则错误!＝________。

答案错误!
解析由题意可得a＝C48＝70，
再根据错误!得错误!
求得r＝5或6，此时,b＝7×28，∴错误!＝错误!。

8．（2016·北京）在（1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．（用数字作答)
答案60
解析展开式的通项T r＋1＝C错误!·16－r·（－2x)r＝C错误!(－2）r·x r.令r＝2，得T3＝C 错误!·4x2＝60x2，即x2的系数为60.
9．（2016·天津）错误!8的展开式中x7的系数为________．（用数字作答)
答案－56
解析错误!8的通项T r＋1＝C错误!(x2）8－r错误!r＝（－1)r C错误!x16－3r，当16－3r＝7时，r＝3，则x7的系数为（－1)3C3，8＝－56.
10．若将函数f（x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2（1＋x）2＋…＋a5(1＋x)5，其中a
,a1,a2，…，a5为实数，则a3＝________.
答案10
解析f（x)＝x5＝(1＋x－1）5，
它的通项为T r＋1＝C错误!（1＋x）5－r·（－1)r，
T
＝C错误!（1＋x)3（－1)2＝10（1＋x）3，∴a3＝10.
3
11．(2016·苏锡常联考）已知（ax－1）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋32x5，则二项式(ax－1)5展开后的各项系数之和为________．
答案1
解析∵(ax－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋32x5，∴x5的系数为C0，5·a5＝32，解得a＝2.在（2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋32x5中，令x＝1可得二项式(2x－1）5展开后的各项系数之和为1.
12．已知（1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求:（1）a1＋a2＋…＋a7；
(2）a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6;
（4)|a0｜＋｜a1|＋|a2｜＋…＋｜a7|.
解令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7
＝－1。

①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37。

②
（1）∵a0＝C错误!＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
（2）（①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝错误!＝－1 094。

(3)(①＋②）÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝错误!＝1 093。

（4)方法一∵（1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，
∴｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2|＋…＋|a7｜＝（a0＋a2＋a4＋a6）－(a1＋a3＋a5＋a7）＝1 093－(－1 094）＝2 187。

方法二｜a0|＋｜a1|＋｜a2｜＋…＋|a7|,
即(1＋2x)7展开式中各项的系数和,令x＝1，
∴｜a0｜＋｜a1|＋｜a2｜＋…＋｜a7|＝37＝2 187.
13．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＊)能被31整除．
证明∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝错误!
＝25n－1＝32n－1＝（31＋1）n－1
＝C0，n×31n＋C错误!×31n－1＋…＋C错误!×31＋C错误!－1
＝31(C错误!×31n－1＋C错误!×31n－2＋…＋C错误!)，
显然C错误!×31n－1＋C错误!×31n－2＋…＋C错误!为整数,
∴原式能被31整除．
*14。

若(错误!＋错误!)n展开式中前三项的系数成等差数列,求：
(1)展开式中所有x的有理项；
(2)展开式中系数最大的项．
解易求得展开式前三项的系数为1，错误!C错误!，错误!C错误!.
据题意得2×错误!C错误!＝1＋错误!C错误!⇒n＝8。

（1）设展开式中的有理项为T r＋1,
由T r＋1＝C错误!(错误!)8－r（错误!）r＝（错误!）r C错误!
163
4
r
x
-
，
∴r为4的倍数，又0≤r≤8,∴r＝0，4，8.
故有理项为T1＝（错误!)0C错误!x
1630
4
x
-⨯
＝x4,
T 5＝（错误!）4C错误!
1634
4
x
-⨯
＝错误!x,
T 9＝（错误!)8C错误!
1638
4
x
-⨯
＝错误!。

(2)设展开式中T r＋1项的系数最大，则错误!⇒r＝2或r＝3.
故展开式中系数最大的项为
T 3＝(
1
2
)2C28
1632
4
x
-⨯
＝7
5
2
x，
T 4＝(错误!）3C错误!
1633
4
x
-⨯
＝7
7
4
x.
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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