绍兴市绍兴一初八年级数学上册第一单元《三角形》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（ ）
A ．三角形两边之和大于第三边
B ．三角形具有稳定性
C ．三角形的内角和是180
D ．直角三角形两个锐角互余 2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A ．直角三角形的两个锐角互余
B ．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C ．同旁内角互补，两直线平行
D ．三角形的一个外角大于任何一个内角 3．小李同学将10,12,16,22cm cm cm cm 的四根木棒首尾相接，组成一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（ ）
A ．25cm
B ．27cm
C ．28cm
D ．31cm 4．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40° 5．已知长度分别为3cm ，4cm ，xcm 的三根小棒可以摆成一个三角形，则x 的值不可能是（ ）
A ．2.4
B ．3
C ．5
D ．8.5 6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3，3，4 B ．7，4，2 C ．3，4，8 D ．2，3，5 7．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）
A ．必有一个内角等于30°
B ．必有一个内角等于45°
C ．必有一个内角等于60°
D ．必有一个内角等于90°
8．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板
（60B ∠=）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果75BDE ∠=，那么AMD ∠的度数是（ ）
A ．75°
B ．80°
C ．85°
D ．90°
9．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）
A ．20cm 的木棒
B ．18cm 的木棒
C ．12cm 的木棒
D ．8cm 的木棒 10．设四边形的内角和等于,a 五边形的外角和等于,b 则a 与b 的关系是（ ） A ．a b = B ．120a b =+ C ．180b a =+︒ D ．360b a =+︒ 11．如图，已知A
E 交CD 于点O ，AB ∥CD ，∠A ＝50°，∠E ＝15°，则∠C 的度数为（ ）
A ．50°
B ．65°
C ．35°
D ．15° 12．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）
A ．3cm,2cm,1cm
B ．3cm,4cm,5cm
C ．6cm,6cm,12cm
D ．5cm,12cm,6cm 二、填空题
13．如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，过点C 作CD ∥OB 交∠AOB 的平分线OE 于点F ，作CH ⊥OB 交BO 的延长线于点H ，若∠EFD ＝α，现有以下结论：①∠COF ＝α；②∠AOH ＝180°﹣2α；③CH ⊥CD ；④∠OCH ＝2α﹣90°．其中正确的是__（填序号）．
14．如果三角形的三边长分别为5，8，a ，那么a 的取值范围为__．
15．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有
两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．
16．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m 块正三角形，n 块正六边形，则m+n ＝______．
17．多边形每一个内角都等于90︒，则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条． 18．一副直角，三角板有一个角的顶点如图所示重合，则下列说法中正确的有_________．
①如图 1，若 AB ⊥AE ，则∠BFC=75°；
②图 2 中 BD 过点C ，则有∠DAE+∠DCE=45°；
③图 3中∠DAE+∠DFC 等于 135°；
④保持重合的顶点不变，改变三角板BAD 的摆放位置，使得D 在边AC 上，则
∠BAE=105°．
19．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．
20．如图，△ABC 中，D 为BC 边上的一点，BD ：DC=2：3，△ABC 的面积为10，则△ABD 的面积是_________________
三、解答题
21．如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE ⊥BC 于点E ．
（1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE 的度数；
（2）若∠C ＞∠B ，试说明∠DAE=12
(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A 在AD 上移动到A′处，A′E ⊥BC 于点E ．此时∠DAE 变成∠DA′E ，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？
22．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝1
3
∠CAB，∠CDP＝1
3
∠CDB”，请直接写出∠P与
∠B、∠C之间存在的数量关系．
23．一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数．
24．（问题引入）
（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A=40°，请求出∠BOC的度数．
（深入探究）
（2）如图2，在四边形ABDC中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若
∠B+∠D=110°，请求出∠AOC的度数．
（类比猜想）
（3）如图3，在△ABC中，∠CBO=1
3
∠DBC，∠BCO= 1
3
∠ECB，∠A=α，则∠BOC=___
（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
（4）如果BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，
∠CBO=∠1n DBC ∠BCO=1n
∠ECB ，则∠BOC=___（用n 、a 的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）． 25．如图，在ABC 中，40B ∠=，80C ∠=．
（1）求BAC ∠的度数；
（2）AE 平分BAC ∠交BC 于E ，AD BC ⊥于D ，求EAD ∠的度数．
26．平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°． （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小．
（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC ．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据三角形的稳定性可以解决．
【详解】
因为三角形具有稳定性，手机支架与桌面形成了一个三角形，所以是利用了三角形的稳定性．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
利用三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题；
B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；
C. 同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
D. 三角形的一个外角大于任何一个内角，错误，是假命题；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据三角形的三边的关系确定对角线的长度范围即可选择．
【详解】
如图，设10AB cm =，12BC cm =，16CD cm =，22AD cm =．
根据三角形三边关系可知
①101222AC AB BC cm <+=+=，162238AC AD CD cm <+=+=，故22AC cm <．
②102232BD AB AD cm <+=+=，121628BD BC CD cm <+=+=，故28BD cm <．
∵凸四边形对角线长为整数，
∴对角线最长为27cm ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系．熟知三角形两边之和大于第三边是解答本题的关键． 4．B
【分析】
利用平行线和三角形外角的性质即可求解．
【详解】
∵//AB CD ，
∴60DEF A ∠=∠=︒．
∵DEF C F ∠=∠+∠，
∴604020F DEF C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行线和三角形外角的性质，熟练利用其性质找到角的等量关系是解答本题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
先根据三角形的三边之间的关系求解1＜x ＜7，从而可得答案．
【详解】 解： 长度分别为3cm ，4cm ，xcm 的三根小棒可以摆成一个三角形，
43∴-＜x ＜43+，
1∴＜x ＜7，
x 的值不可能是8.5.
故选：.D
【点睛】
本题考查的是三角形的三边之间的关系，掌握三角形的三边之间的关系是解题的关键． 6．A
解析：A
【分析】
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】
解：A 、3+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；
B 、4+2＜7，不能构成三角形，故此选项错误；
C 、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；
D 、2+3=5，不能构成三角形，故此选项错误．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
7．D
【分析】
根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可判断．【详解】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴必有一个内角等于90°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．
8．D
解析：D
【分析】
由题意得：∠A=30°，∠FDE=45°，利用平角等于180°，可得到∠ADF的度数，在△AMD 中，利用三角形内角和为180°，可以求出∠AMD的度数．
【详解】
解：∵∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵∠BDE=75°，∠FDE=45°，
∴∠ADF=180°-75°-45°=60°，
∴∠AMD=180°-30°-60°=90°，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，题目比较简单，关键是要注意角之间的关系．
9．C
解析：C
【分析】
设选取的木棒长为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，选出合适的x的值即可．
【详解】
解：设选取的木棒长为xcm，
∵两根木棒的长度分别为5cm和13cm，
∴13cm-5cm＜x＜13cm+5cm，即8cm＜x＜18cm，
∴12cm的木棒符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据多边形的内角和定理与多边形外角和即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形的内角和等于a ，
∴a=（4-2）•180°=360°．
∵五边形的外角和等于b ，
∴b=360°，
∴a=b ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键． 11．C
解析：C
【分析】
先根据平行线的性质，得出A DOE ∠=∠，再根据DOE ∠是OCE ∆的外角，即可得到C ∠的度数．
【详解】
解：∵AB//CD ，45A ∠=︒，
∴45DOE ∠=︒，
∵DOE E C ∠=∠+∠，
∴501535C DOE E ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，正确得出DOE ∠的度数是解题的关键． 12．B
解析：B
【分析】
三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，知：
A 中，1+2=3，排除；
B 中，3+4＞5，可以；
C 中，6+6=12，排除；
D 中，5+6＜12，排除．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
二、填空题
13．①②③④【分析】分别根据平行线的性质角平分线的定义邻补角的定义直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论【详解】解：∵CD∥OB∠EFD＝α∴∠EOB＝∠EFD＝α∵OE平分∠AOB∴∠COF＝∠EO
解析：①②③④
【分析】
分别根据平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论．
【详解】
解：∵CD∥OB，∠EFD＝α，
∴∠EOB＝∠EFD＝α，
∵OE平分∠AOB，
∴∠COF＝∠EOB＝α，故①正确；
∠AOB＝2α，
∵∠AOB+∠AOH＝180°，
∴∠AOH＝180°﹣2α，故②正确；
∵CD∥OB，CH⊥OB，
∴CH⊥CD，故③正确；
∴∠HCO+∠HOC＝90°，∠AOB+∠HOC＝180°，
∴∠OCH＝2α﹣90°，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
14．3<a<13【分析】根据三角形的三边关系解答【详解】由题意得：8-
5<a<8+5∴3<a<13故答案为：3<a<13【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边
解析：3<a<13
【分析】
根据三角形的三边关系解答．
【详解】
由题意得：8-5<a<8+5，
∴3<a<13，
故答案为：3<a<13．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．
15．④【分析】四边形的内角和是根据四边形内角的性质选出正确选项【详解】解：①错误如果四个角都是锐角那么内角和就会小于；②错误可以是四个直角；③错误可以是四个直角；④正确故选：④【点睛】本题考查四边形内角
解析：④
【分析】
四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．
【详解】
解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；
②错误，可以是四个直角；
③错误，可以是四个直角；
④正确．
故选：④．
【点睛】
本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．
16．4或5【分析】先求出正三角形和正六边形的内角大小然后列出关于mn的二元一次方程然后确定mn的值最后求m+n即可【详解】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°120°∴60°m+120°n=360°
解析：4或5
【分析】
先求出正三角形和正六边形的内角大小，然后列出关于m、n的二元一次方程，然后确定m、n的值，最后求m+n即可．
【详解】
解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°
∴60°m+120°n=360°，即m+2n=6
∴当n=1时，m=4；当n=2时，m=2；
∴m+n=5或m+n=4．
故答案为：4或5．
【点睛】
本主要考查了正多边形的组合能否进行平面镶嵌，掌握位于同一顶点处的几个角之和能否为360°成为解答本题的关键．
17．1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形就可以得到结果【详解】解：设这个多边形是n边形解得∴是四边形∴从一个顶点出发的对角线有1条故答案是：1【点睛】本题考查多边形内角和公式解题的关键是掌握多
解析：1
先根据多边形内角和公式求出它是几边形，就可以得到结果．
【详解】
解：设这个多边形是n 边形，
()180290n n ︒-=︒，
解得4n =，
∴是四边形，
∴从一个顶点出发的对角线有1条．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．
18．①②③④【分析】由可得：再结合：从而可求解于是可得可判断①；由可得：再利用：求解可判断②；由再利用角的和差可得：可判断③；由图4可得：可判断④【详解】解：如图1故①正确；如图2故②正确；如图3故③正
解析：①②③④．
【分析】
由,AB AE ⊥可得：90BAC CAD DAE ∠+∠+∠=︒，再结合：
2105BAC CAD DAE ∠+∠+∠=︒，
从而可求解CAD ∠，于是可得BFC ∠，可判断①；由90ADB ，
∠=︒可得：90DAC ACD ∠+∠=︒，再利用：180CAE E ACE ∠+∠+∠=︒， 45E ∠=°，
求解DAE DCE ∠+∠，可判断②；由,DFC D DAF ∠=∠+∠再利用角的和差可得：135DFC DAE D CAE ∠+∠=∠+∠=︒，可判断③；由图4可得：
105BAE BAC CAE ∠=∠+∠=︒，
可判断④． 【详解】
解：如图1，,AB AE ⊥
90BAC CAD DAE ∴∠+∠+∠=︒，
60BAD BAC CAD ∠=∠+∠=︒，
45CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒，
2105BAC CAD DAE ∴∠+∠+∠=︒，
15CAD ∴∠=︒，
90ADB ∠=︒，
901575BFC AFD ∴∠=∠=︒-︒=︒，
故①正确； 如图2，90ADB ∠=︒，
90DAC ACD ∴∠+∠=︒，
180CAE E ACE ∠+∠+∠=︒， 45E ∠=°，
90ACE ∠=︒， 180CAD DAE ACD DCE E ∴∠+∠+∠+∠+∠=︒，
()()180180904545DAE DCE CAD ACD E ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒-︒+︒=︒，
如图3，,DFC D DAF ∠=∠+∠
9045135DFC DAE D DAF DAE D CAE ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，
故③正确；
如图4，6045BAD CAE ∠=︒∠=︒，，
6045105BAE ∴∠=︒+︒=︒，
故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角的和差，掌握以上知识是解题的关键．
19．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出
∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B
解析：20°
【分析】
根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．
【详解】
∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，
∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，
∴∠BAE=
12∠BAC=12
×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．
故答案为：20°．
【点睛】 本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键． 20．4【分析】利用面积公式可得出△ABD 与△ABC 等高只需求出BD 与BC 的比值即可求出三角形ABD 的面积【详解】解：∵BD ：DC=2：3∴BD=BC △ABD 的面积=BD•h ＝× BC•h=△ABC 的面积
解析：4
【分析】
利用面积公式可得出△ABD与△ABC等高，只需求出BD与BC的比值即可求出三角形ABD 的面积．
【详解】
解：∵BD：DC=2：3，
∴BD=2
5
BC．
△ABD的面积=1
2
BD•h＝
1
2
×
2
5
BC•h=
2
5
△ABC的面积=
2
5
×10=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了三角形面积公式以及根据公式计算三角形面积的能力．
三、解答题
21．（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确．
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD的度数，在△ABE中，利用直角三角形的性质求出∠BAE的度数，从而可得∠DAE的度数．（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．
（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再
根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=1
2
(∠C-∠B)．
【详解】
（1）∵∠C=80°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°，∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=1
2
∠BAC=30°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=50°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°；
（2）理由：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=1
2∠BAC=1
2
(180°-∠B-∠C)= 90°-
1
2
∠B-1
2
∠C，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD
=(90°-∠B) -(90°-1
2
∠B-1
2
∠C )
=1
2
∠C-1
2
∠B
=1
2
(∠C-∠B)；
（3）（2）中的结论仍正确．
∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+1
2∠BAC=∠B+1
2
(180°-∠B-∠C) = 90°+
1
2
∠B-1
2
∠C；
在△DA′E中，
∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE
=180°-90°-(90°+1
2
∠B-1
2
∠C)
=1
2
(∠C-∠B)．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
22．（1）∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）①3，4；②110°；③3∠P=∠B+2∠C．
【分析】
（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；
②根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即
∠P=1
2
（∠C+∠B），然后把∠C=120°，∠B=100°代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C．
【详解】
（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°-∠AOC，∠B+∠D=180°-∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：
以点O为交点的“8字型”有4个：
故答案为：3，4；
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∵∠B=100°，∠C=120°，
∴∠P=1
2（∠B+∠C）=
1
2
（100°+120°）=110°；
③3∠P=∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP=1
3∠CAB，∠CDP=1
3
∠CDB，
∴∠BAP=2
3∠CAB，∠BDP=2
3
∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=1
3
（∠CDB-∠CAB），
∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=2
3
（∠CDB-∠CAB）．
∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
∴3∠P=∠B+2∠C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
23．8
【分析】
先根据一个多边形的内角和比它的外角和多720°得出其内角和度数，再设这个多边形的边数为n ，根据内角和公式建立关于n 的方程，解之即可．
【详解】
解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°，
∴这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°，
设这个多边形的边数为n ，
则（n ﹣2）•180°＝1080°，
解得n ＝8，
答：该多边形的边数为8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°、多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n 为整数）．
24．（1）70°；（2）55°；（3）120°-
13α；（4）()11801n n n α-⨯︒- 【分析】
（1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB ，再利用邻补角可求得∠DBC+∠ECB ，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB ，在△BOC 中利用三角形内角和定理可求得∠BOC ； （2）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC 与∠B+∠D 之间的关系；
（3）根据三角形的内角和等于180°以及三角形的外角性质列式整理即可得∠BOC=120°-3α
；
（4）根据三角形的内角和等于180°以及三角形的外角性质列式整理即可得
∠BOC=()11801n n n
α-⨯︒-． 【详解】
（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-(∠ABC+∠ACB)
=360°-140°
=220°，
∵BO 、CO 分别平分∠DBC 和∠ECB ，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠DBC+∠ECB) =12
×220°=110°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-110°=70°；
（2）∵点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，
∴∠OAC=1
2∠CAB，∠OCA=1
2
∠ACD，
∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)
=180°-1
2
(∠CAB+∠ACD)
=180°-1
2
(360°-∠B-∠D)
=1
2
(∠B+∠D)，
∵∠B+∠D=110°，
∴∠AOC=1
2
(∠B+∠D)=55°；
（3）在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-1
3
(∠DBC+∠ECB)
=180°-1
3
(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)
=180°-1
3
(∠A+180°)
=120°-1
3α；
故答案为：120°-1
3α；
（4）在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-1
n
(∠DBC+∠ECB)
=180°-1
n
(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)
=180°-1
n
(∠A+180°)
=()11801
n
n n
α
-⨯︒
-．
故答案为：()11801
n
n n
α
-⨯︒
-．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
25．（1）60
BAC
∠=；（2）20
EAD
∠=
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据垂直定义和三角形内角和定理求得∠DAC=10°，再根据角平分线的定义求得∠CAE=30°，两角作差即可求解．
【详解】
解：（1）∵180B BAC C ∠+∠+∠=，40B ∠=，80C ∠=，
∴180408060BAC ∠=--=；
（2）∵AD BC ⊥，
∴90ADC ∠=，
∵180,80DAC ADC C C ∠=-∠-∠∠=，
∴180908010DAC ∠=--=，
∵AE 平分BAC ∠， ∴1302
BAE CAE BAC ∠=∠=∠=， ∵EAD CAE DAC ∠=∠-∠，
∴20EAD ∠=．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直定义，熟练掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理是解答的关键．
26．（1）33°；（2）123°
【分析】
（1）AM 与BC 交于E ，AD 与MC 交于F ，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，BEM ∠是ABE △和MCE 的外角，MFD ∠是MAF △和FCD 的外角，列出关于AMC ∠的方程组，计算得出AMC ∠的度数．
（2）AN 与BC 交于点G ，AD 与BC 交于点F ，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，BFD ∠是ABF 和FCD 的外角，AGC ∠是NGC 和ABG 的外角，列出关于ANC ∠的方程组，计算得出ANC ∠的度数．
【详解】
解：（1）AM 与BC 相交于E ，AD 与MC 相较于F ，如图：
∵MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，
∴设∠BAM=∠MAD=a ，∠BCM=∠MCD=b ，
∵∠BEM 是△ABE 和△MCE 的外角，
∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ，
即：∠M+b=24°+a①，
又∵∠MFD 是△MAF 和△CDF 的外角，
可得∠M+a=42°+b②，
①式＋②式得2∠M=24°+42°，
解得：∠M=33°，
∴=33AMC ∠︒．
（2）AN 与BC 相交于G ，AD 与BC 相较于F ，如图:
∵NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，
∴设∠EAN=∠NAD=m ，∠BCN=∠NCD=n ，
∵∠BFD 是△ABF 和△FCD 的外角，
∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，
即：24°+(180°-2m ）=42°+2n ，
可得m+n=81°①，
又∵∠AGC 是△NGC 和△ABG 的外角，
可得∠N+n=24°+(180°-m ），
得∠N=204°-（m+n ）②，
①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°，
∴123ANC ∠=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．。