高等教育：函数的连续性

例8
讨论函数 f (x) 1 在 x 0 处的连续性. x
解 f (x) 1 在 x = 0 无定义, y
x
y1
x = 0为函数的间断点,
x
又 lim f (x) lim 1 ,
x0
x0 x
O
x
故
x = 0为函数
f
(x)

1 x
的第二类间断点.
由于 lim f (x) 所以称它为无穷间断点. x0
例1 函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ?
解 y = x 2 在 U(0) 内有定义,
又 lim x2 0 x0
且 y x0 x2 x0 0
函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.
2.连续性的《 － 语言》形式
定义 设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义. x x x0
由 x0 的任意性, | f (x) | 在区间 I 上连续.
(若 I 为闭区间, 则对区间端点时指的 左, 右极限. )
注意：
该定理的逆命题不成立.
1, x 为有理数, 例如, f (x) =
1, x 为无理数.
例10 设 f (x)、g(x) C(I ), 则函数
1(
x)

min{ xI
f
(
x),
g( x)},
2
(
x)

max{ xI
f
(x),
g(x)}
在区间I 内连续.
证由
1(x)
f (x) g(x) | 2
f (x) g(x) |,
2(x)
f (x) g(x) | 2
f (x) g(x) |,
运用连续函数四则运算法则, 立即可证.
定理 2 (保号性定理)
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第八讲 函数的连续性
第三章 函数的连续性
一、连续函数的概念 极限形式 增量形式
1.函数连续性的定义 (极限形式)
是整个邻域
定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若
lim
x x0
f
(x)

f
(x0 )
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
例7
讨论 f (x) x2 1 在 x 1 处的连续性. x 1
解 函数在 x =1 无定义, x =1 为函数的间断点.
y
P(1,2) 1
而 lim x2 1 lim(x 1) 2 x1 x 1 x1
O 1x
故 x =1 为函数的第一类间断点.
进一步分析该间断点的特点.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义)
(2) lim f (x) a 存在；( x x0 时, f (x) 有极限 ) xx0
(3) a f (x0 ) . (极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
例11 y
1

(3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x0 处连续函数. 即
lim
f
(x)

lim
xx0
f
(x)

f (x0 )
xx0 g(x)
lim g(x)
x x0
g(x0 )
g(x0) 0
2.几个重要定理
这些定理与极限中的定理类似
定理 1
若 f (x) 在区间 I 上连续, 则 | f (x) | 仍
在 I 上连续.
y y = | f (x) |
O
x
y = f (x)
证 x0I , 由 f (x) 在 x0 的连续性:
, 当| x x0 | < 时, 有 | f ( x) f (x0) | <
此时, 由绝对值不等式得
| | f (x) | | f (x0)| | | f (x) f (x0) | <
xx0
x x0
但不相等.
(4) lim x x0
f (x)

lim
x x0
f (x)

a,
但
a

f
(x0
).
函数间断点的分类
函
第一类间断点
数
的
跳跃
可去
间
断 点
第二类间断点
无穷 振荡 其它
(1) 第一类间断点
定义
若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且
lim
xx0
f (x) 与 lim xx0
例9
讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0 处的连续性. x
解 f (x) sin 1 在 x = 0 处无定义, x
x 0 为函数的间断点.
又 lim f (x) lim sin 1 不存在,
x0
x0
x
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.
x
保号性的几何示意图
推论
设函数 f (x) 在点 x0 处连续. 若 f (x0) > 0,
则必 > 0, 使当 xU(x0 , ) 时, 有
f
(x)

1 2
f
(x0 )
反函数的连续性
从几何上看: x = f －1(y) 与 y = f (x) 的图形相同, 从而, 单调性、连续性保持.
2
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
lim f (x) lim sin x 0
x0
x0
lim f (x) lim f (x)
x0
x0
故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点.
将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.
函数间断点的定义
定义 若函数 f (x) 在 U(x0 )内有定义, 且在点 x0 处 满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x) 在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点：
(1) f (x) 在 x0 处无定义.
(2) lim f (x) a 不存在 . x x0
xx0
xx0
lim
f
(x)

lim
x x0
f
(x)

a
xx0 g(x) lim g(x) b
x x0
(b 0)
1.连续函数的四则运算
设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续,
即
lim
xx0
f (x)
f (x0 ) ,
lim
xx0
g(x)

g(x0
f1(x0 ) f2 (x0 ) fn (x0 )
(2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是 一个在点 x0 处的连续函数. 即
lim [ f (x)g(x)]
x x0
f (x0 )g(x0 )
lim
x x0
[
f1
(
x)
f
2
(
x)
f
n
(
x
)]

f1(x0 ) f2 (x0 ) fn (x0 )
若函数 f (x) 在点 x0 连续, 且 f (x0) > 0,
(或 f (x0) < 0) , 则必 > 0, 使当 xU(x0, )
时, 有 f (x) > 0 (或 f (x) < 0 ).
y y f (x)
能看出一点 什么问题来 吗?
.f (x0)
f (x0 ) 2
O
x0
lim f (x) a ,
则
xx0
lim g(x) b ,
x x0
lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) a b
xx0
xx0
xx0
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) a b
xx0
)
,
lim
xx0
fi (x)
fi (x0 )
则
(1, 2, , n)
(1) 有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数. 即
lim [ f (x) g(x)]
xx0
f (x0 ) g(x0 )
lim [
x x0
f1
(
x
)

f2(x)
fn (x)]
(3)
lim
xx0
f (x) a，
但a
f (x0 ).
求函数间断点的途径:
(1)
f (x)在 x0 处无定义,
但
f
(x)
在

U(x0 )
内有定义.
(2) lim f (x) 与 lim f (x) 中至少有一个不存在.
xx0
x x0
(3)
lim f (x) 与 lim f (x) 存在,
x0
则称 f (x) 在点 x0 处连续.
自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零.
4.函数的左、右连续性
定义
设函数 f (x) 在 [x0, x0+ ) 内有定义. 若
lim
x x 0
f (x)
f
(x0 )
则称 f (x) 在 x0 点处右连续.
设函数 f (x) 在 (x0– , x0 ] 内有定义. 若
lim
x x 0
f
(x)

f
(x0 )
则称 f (x) 在 x0 点处左连续.
其中, 为任意常数.
定理
lim
xx0
f
(x)

f
(x0 )
lim
x x
0
f (x) lim x x0
f (x)
f (x0)
函数在点 x0 连续, 等价于它在点 x0 既 左连续又右连续.
此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点 x0 点处 有增量 y
y y = f (x) y x
O x0 x x
y = f (x) f (x0 ) = f (x0 + x) f (x0 )
连续性概念的增量形式
定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若 lim y 0 (x x x0 )
, 若 , 当 | x x0 | < 时, 有
| f (x) f (x0) | < y f (x) f (x0 )
成立, 则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以
运用《 》语言描述它.
3.连续性概念的增量形式
定义
在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的 初值 u1 的差 u2 u1, 称为变量 u 在 u1处的 增量, 记为 u = u2－u1.
u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称 u 为变量 u 在 u1 处的差分.
设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义, xU(x0) , 则称 x = x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.
补
充 定
f (x) , f * (x) =
x x0
义
lim f (x) ,
x x0
x = x0
第 一 类 间 断 点
左右极限存在
跳跃型间断点
极限不相等
可去间断点
极限相等、补充定义
(2) 第二类间断点
定义
凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.
即左右极限至少有一个不存在的点.
这算定义吗？
分析
由于 lim x2 1 2 x1 x 1
补充定义
x2 1
y
|x
1

lim
x1
x 1
2
即定义
f * (x) =
x2 1 x1
2
x 1 x=1
则函数 f *(x) 在 x =1 连续.
这个间断点的特点是该处的左、右极限存 在且相等, 即极限存在, 经过补充定义间断点 处函数值后, 可得到一个新的连续函数 , 故将 这种间断点称为可去间断点.
f (x) 存在 ,
则称 x0 为函数
f (x) 的第一类间断点.
例6 讨论函数 f (x)= 在 x = 0 处的连续性.
x +1 x > 0 1 x0 2 si知, 函数在 点 x0 处间断.
y＝x+1
1
1 y f (x)
2
O
x
y = sinx
解
f (0) 1 ( f (x) 在 x 0 处有定义)
y
y f (x) x f 1( y)
O
y f 1(x)
x
y = f －1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180º而成, 故单调性、连续性仍保持.
定理 3 (反函数连续性定理) 设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加
(减少) 且连续, 则其反函数 x f 1( y) 在相应的 区间 I* = { y | y = f (x) , xI } 上严格单调增加 (减少) 且连续.
y y sin 1
1
x
O
x
1
称 x 0 为 f (x) sin 1 的振荡型间断点 . x
第 二 类 间 断 点
左右极限至少 有一个不存在
无穷型间断点
左右极限至少有一个为无穷
振荡型间断点
左右极限至少有一个振荡
其它间断点
三.连续函数的运算 及其基本性质
回忆函数极限的四则运算
设当 x x0 时, 函数 f (x) 、g(x)的极限存在