一道物理题中向量和为零的数学问题
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一、问题提出及分析
在物理教学过程中, 也常常会遇到一些数学问题. 一次 办公室的物理老师遇到这样一道问题:
如图 1 所示, abcde 是半径为 r 的圆内接正五边形, 在其 顶点 a, b, c, d 处各固定有电荷量为 +Q 的点电荷, 在 e 处固 定有电荷量为 −3Q 的点电荷, 则放置在圆心 O 处的点电荷 −q 所受到的静电力的大小为 , 方向为 .
i=1
中λ
=
− cos 36◦, 从而
∑5 −−→ OPi
=
∑5
( −−→) λOPi
=
∑5 λ
−−→ OPi,
i=1
i=1
i=1
故
(1
− λ)
∑5
−−→ OPi
=
−→0 ,
而
1
−
λ
=
1
+
cos 36◦
>
0,
所以
i=1
∑5
−−→ OPi
=
−→0 .
i=1
三、问题推广及证明
事实上, 上面的结论可以推广到一般情况, 对于圆 O 的 内接正 n 边形 P1P2P3 · · · Pn (n 3 且 n ∈ N∗), 上述结论都 成立, 即可得下面的定理:
图1
图2
如 果 把 e 处 的 点 电 荷 看 成 是 +Q 和 −4Q 的 点 电 荷, 那么放置在圆心 O 处的点电荷 −q 所受到的静电力就是 a, b, c, d, e 处电荷量为 +Q 的点电荷对点电荷 −q 的作用力 加上 e 处电荷量为 −4Q 的点电荷对点电荷 −q 的作用力. 很 容易“感觉”到: a, b, c, d, e 处电荷量为 +Q 的点电荷对点电 荷 −q 的作用力之和应该为零, 但这怎么来说明呢? 物理老 师需要一个专业准确的解释. 笔者经过推理计算证明了上述 猜想, 并且发现这是一个有趣的数学问题, 可以从多个角度 来说明.
n
2π
−−→
−−−−→
n
之 后, OPi (i = 1, 2, · · · , n − 1) 依次 变 为 向 量 OPi+1
−−→
−−→
(i = 1, 2, · · · , n − 1), 向量 OP n 变为向
∑n −−→
后 n 个向量的和不变, 始终为 OPi, 也就是说, OPi
36
中学数学研究
2019 年第 8 期 (上)
在介绍证明二之前先来看两个引理:
引理一 对 ∀n ∈ N∗, 有
∑n sin ix
=
sin
nx 2
sin
(n+1)x 2
x
.
i=1
sin 2
证 明 由 积 化 和 差 公 式 可 得 2 sin ix · sin x =
( cos ix −
x)
(
− cos ix +
OP i =
OPi +
−O+−P−−Oi−−+→P−ki−)+→k==−→0−→0. 下(i面=从1其, 2他, · 角· · 度, k给), 则出
i=1
i=1
定理的证明.
角度 1: 向量的旋转与共线
证明一
−−→ 由正 n 边形的性质知, OPi (i = 1, 2, · · · , n)
2π
中任意相邻两个向量夹角均为 , 将每个向量绕旋转
i=1
i=1
2π
∑n −−→
2π
旋转
n
之后仍为 OPi, 而非零向量旋转
i=1
n
(n
3且
n
∈
N∗),
之后得到的向量与原向量不共线,
故
∑n
−−→ OPi
=
−→0 .
i=1
评注 此法从旋转前后两个向量和不变得出此向量和为
零向量, 构思非常巧妙, 较好地体现了想象能力与逻辑推理
能力.
角度 2: 参数坐标与三角运算
2019 年第 8 期 (上)
中学数学研究
35
一道物理题中向量和为零的数学问题
河南省实验中学 (450002) 贾玉明
常言道:“数学物理不分家”. 在物理研究中离不开数学 知识, 数学研究中离不开物理背景, 两者相互依存, 相互促进. 就像伟大的物理学家、数学家牛顿, 在研究物理问题时, 创建 了很多数学理论, 如微积分、广义二项式定理等等, 尤其是微 积分, 促进了数学分析这一分支的产生, 并进一步发展为微 分几何、微分方程等等, 而这些数学理论反过来促进了理论 物理学的发展.
= i=1
2
2
x
2 sin
2
cos x −cos (2n+1)x −2 sin −nx · sin (n+1)x
=
2
2
2 sin x
=
2
2
2 sin x
2
2
sin =
nx 2
边形 P1P2P3P4P5 的内角 ∠Pi 所对的边交点为 Ai, 由对称
−−→ 性可知, Ai 为其所在边的中点, 由向量运算法则知 OP1 +
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ OP2 = 2OA4, OP2 + OP3 = 2OA5, OP3 + OP4 = 2OA1,
x) (其 中
i
∈
N∗),
2 由和差化积
2
2
公式得 cos
x 2
− cos
(2n + 1)x 2
=
−2 sin
−nx 2
· sin
(n + 1)x , 2
则
∑n
x
∑n sin ix
2 = i=1
sin ix · x
sin
2
i=1
2 sin ∑n ( ( 2 x )
( x ))
cos ix − − cos ix +
定理 对于圆 O 的内接正 n 边形 P1P2P3 · · · Pn (n 3
且
n
∈
N∗),
有
∑n
−−→ OPi
=
−→0 .
i=1
按照 n = 5 时的证明方法, 当 n 为奇数时均可同样证
明定理, 当 n 为偶数时, 设 n = 2k (k ∈ N∗, k 2), 由正 n
−−→
边∑n 形−−→的性质∑可k 得(−:−→OPi
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
OP4
+
OP5
=
2OA2, OP5 + ∑5 −−→
OP∑15 =(
2−O−→A3),
以上五个式子 ∑5 −−→
两 端 同 时 相 加 得: 2 OPi =
2OAi , 即 OPi =
i=1
i=1
i=1
∑5 −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
OAi, 由于 OPi 与 OAi 共线反向, 则 OAi = λOPi, 其
二、问题转述及证明
下面将问题转述为数学问题:
设五边形 P1P2P3P4P5 是圆 O 的内接正五边形, 证明:
∑5
−−→ OPi
=
−→0 .
i=1
(注:
题干中
∑5
−−→ OPi
=
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ OP1 + OP2 + OP3 + OP4 + OP5)
i=1
证明 如图 2 所示, 设直线 OPi (i = 1, 2, 3, 4, 5) 与正五
在物理教学过程中, 也常常会遇到一些数学问题. 一次 办公室的物理老师遇到这样一道问题:
如图 1 所示, abcde 是半径为 r 的圆内接正五边形, 在其 顶点 a, b, c, d 处各固定有电荷量为 +Q 的点电荷, 在 e 处固 定有电荷量为 −3Q 的点电荷, 则放置在圆心 O 处的点电荷 −q 所受到的静电力的大小为 , 方向为 .
i=1
中λ
=
− cos 36◦, 从而
∑5 −−→ OPi
=
∑5
( −−→) λOPi
=
∑5 λ
−−→ OPi,
i=1
i=1
i=1
故
(1
− λ)
∑5
−−→ OPi
=
−→0 ,
而
1
−
λ
=
1
+
cos 36◦
>
0,
所以
i=1
∑5
−−→ OPi
=
−→0 .
i=1
三、问题推广及证明
事实上, 上面的结论可以推广到一般情况, 对于圆 O 的 内接正 n 边形 P1P2P3 · · · Pn (n 3 且 n ∈ N∗), 上述结论都 成立, 即可得下面的定理:
图1
图2
如 果 把 e 处 的 点 电 荷 看 成 是 +Q 和 −4Q 的 点 电 荷, 那么放置在圆心 O 处的点电荷 −q 所受到的静电力就是 a, b, c, d, e 处电荷量为 +Q 的点电荷对点电荷 −q 的作用力 加上 e 处电荷量为 −4Q 的点电荷对点电荷 −q 的作用力. 很 容易“感觉”到: a, b, c, d, e 处电荷量为 +Q 的点电荷对点电 荷 −q 的作用力之和应该为零, 但这怎么来说明呢? 物理老 师需要一个专业准确的解释. 笔者经过推理计算证明了上述 猜想, 并且发现这是一个有趣的数学问题, 可以从多个角度 来说明.
n
2π
−−→
−−−−→
n
之 后, OPi (i = 1, 2, · · · , n − 1) 依次 变 为 向 量 OPi+1
−−→
−−→
(i = 1, 2, · · · , n − 1), 向量 OP n 变为向
∑n −−→
后 n 个向量的和不变, 始终为 OPi, 也就是说, OPi
36
中学数学研究
2019 年第 8 期 (上)
在介绍证明二之前先来看两个引理:
引理一 对 ∀n ∈ N∗, 有
∑n sin ix
=
sin
nx 2
sin
(n+1)x 2
x
.
i=1
sin 2
证 明 由 积 化 和 差 公 式 可 得 2 sin ix · sin x =
( cos ix −
x)
(
− cos ix +
OP i =
OPi +
−O+−P−−Oi−−+→P−ki−)+→k==−→0−→0. 下(i面=从1其, 2他, · 角· · 度, k给), 则出
i=1
i=1
定理的证明.
角度 1: 向量的旋转与共线
证明一
−−→ 由正 n 边形的性质知, OPi (i = 1, 2, · · · , n)
2π
中任意相邻两个向量夹角均为 , 将每个向量绕旋转
i=1
i=1
2π
∑n −−→
2π
旋转
n
之后仍为 OPi, 而非零向量旋转
i=1
n
(n
3且
n
∈
N∗),
之后得到的向量与原向量不共线,
故
∑n
−−→ OPi
=
−→0 .
i=1
评注 此法从旋转前后两个向量和不变得出此向量和为
零向量, 构思非常巧妙, 较好地体现了想象能力与逻辑推理
能力.
角度 2: 参数坐标与三角运算
2019 年第 8 期 (上)
中学数学研究
35
一道物理题中向量和为零的数学问题
河南省实验中学 (450002) 贾玉明
常言道:“数学物理不分家”. 在物理研究中离不开数学 知识, 数学研究中离不开物理背景, 两者相互依存, 相互促进. 就像伟大的物理学家、数学家牛顿, 在研究物理问题时, 创建 了很多数学理论, 如微积分、广义二项式定理等等, 尤其是微 积分, 促进了数学分析这一分支的产生, 并进一步发展为微 分几何、微分方程等等, 而这些数学理论反过来促进了理论 物理学的发展.
= i=1
2
2
x
2 sin
2
cos x −cos (2n+1)x −2 sin −nx · sin (n+1)x
=
2
2
2 sin x
=
2
2
2 sin x
2
2
sin =
nx 2
边形 P1P2P3P4P5 的内角 ∠Pi 所对的边交点为 Ai, 由对称
−−→ 性可知, Ai 为其所在边的中点, 由向量运算法则知 OP1 +
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ OP2 = 2OA4, OP2 + OP3 = 2OA5, OP3 + OP4 = 2OA1,
x) (其 中
i
∈
N∗),
2 由和差化积
2
2
公式得 cos
x 2
− cos
(2n + 1)x 2
=
−2 sin
−nx 2
· sin
(n + 1)x , 2
则
∑n
x
∑n sin ix
2 = i=1
sin ix · x
sin
2
i=1
2 sin ∑n ( ( 2 x )
( x ))
cos ix − − cos ix +
定理 对于圆 O 的内接正 n 边形 P1P2P3 · · · Pn (n 3
且
n
∈
N∗),
有
∑n
−−→ OPi
=
−→0 .
i=1
按照 n = 5 时的证明方法, 当 n 为奇数时均可同样证
明定理, 当 n 为偶数时, 设 n = 2k (k ∈ N∗, k 2), 由正 n
−−→
边∑n 形−−→的性质∑可k 得(−:−→OPi
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
OP4
+
OP5
=
2OA2, OP5 + ∑5 −−→
OP∑15 =(
2−O−→A3),
以上五个式子 ∑5 −−→
两 端 同 时 相 加 得: 2 OPi =
2OAi , 即 OPi =
i=1
i=1
i=1
∑5 −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
OAi, 由于 OPi 与 OAi 共线反向, 则 OAi = λOPi, 其
二、问题转述及证明
下面将问题转述为数学问题:
设五边形 P1P2P3P4P5 是圆 O 的内接正五边形, 证明:
∑5
−−→ OPi
=
−→0 .
i=1
(注:
题干中
∑5
−−→ OPi
=
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ OP1 + OP2 + OP3 + OP4 + OP5)
i=1
证明 如图 2 所示, 设直线 OPi (i = 1, 2, 3, 4, 5) 与正五