2013阅卷分析(三)

阅卷分析（三）
理科卷22题（文科23题）考查解析几何知识点，命题给出一个新定义，考生首先要理解，在此基础上才能找到解题突破口，这对思维品质的要求较高。

大概平均得分为6分左右。

如图，已知曲线2
21:12
x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．
(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点
的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”；
(3)求证：圆2212
x y +=
内的点都不是“C 1—C 2型点”． 1、能力要求：
逻辑思维能力：具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力。

运算能力：能根据法则准确地进行运算、变形；能通过运算，对问题进行推理和探求。

2、知识内容：直线与圆、双曲线的位置关系，点到直线的距离，双曲线的标准方程和几何性质，
3、考察要求：掌握圆、双曲线的定义及简单的几何性质，并能利用直线与曲线位置关系解决相应问题；建立数形结合的概念，理解求曲线交点的方法，掌握用代数方法研究几何问题。

（一）、评分标准：
第一问：在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
评分细则：C 1的左焦点为(F ，……… 1分
直线基本形式：x =(y k x =+其中k ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭）……… 3分
（由于在试改的过程中，该问错误率较高，后改为只需写出一条过(F 的直线即可，斜率范围不考虑）
批改过程中常见错误：
错误一：焦点算错，当做椭圆来求焦点坐标()1,0±大有人在（一分不得）；
错误二：左右焦点不分，左焦点写成右焦点（一分不得，都写及只写左焦点均给分）；
错误三：斜率范围不正确，k ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭
（后来此错误忽略） 第二问：设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； （此题分两部分2+3分）
评分细则：
第一部分：
直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1
y kx k x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，
若方程组有解，则必须||1k >1||0||1;||11||1x k k x k ⎛
⎫=
>⇒> =+> ⎪-⎝⎭其他写法； 直线y kx =与C 2有交点，则………2分
（另解）
()()()()0,0(1)10110,0(1)10110,0(1)1011
0,0(1)1011
y kx x y k x x k y x y kx x y k x x k y x y kx x y k x x k y x y kx x y k x x k y x =⎧>>⇒-= >∴>⎨=+⎩
=⎧<>⇒+= <∴<-⎨=-+⎩=⎧<<⇒-=- <∴>⎨=-⎩=⎧><⇒+=- >∴<-⎨=--⎩第一象限中：第二象限中：第三象限中：第四象限中：…………2分 （有分类，只看第一步论证是否正确，或者只要写出“对称”两字就给分，关键是要看到联立式，大部分正确的学生采用此法）
批改过程中常见错误： 错误一：11y x kx x y kx
⎧=+⎪⇒=+⎨=⎪⎩不会分类讨论，或者是分类不全，论据不充分（给1分，共2分）
错误二：证明不规范，条件结论分不清很多学生是证明了逆命题（不给分）；
错误三：很多理化班的学生利用数形结合来证明，即先画出2:||||1C y x =+的图象，然后根据图象直接写出1k >；（或者有学生先画出2:||||1C y x =+在第一象限的图象，先利用数形结合得到1k >，从而由于对称性得1k >）（不给分）
第二部分：
22222(12)2120222y kx k x k k x y =⎧⇒-=⇒->⇒<⎨-=⎩
与||1k >矛盾…………2分 斜率不存在的情况0x =不满足……………………1分
故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

（另解）
由渐近线为y x =，
（由图像）所以要有公共点k <3分（斜率可不讨论，这样做的学生比较合算）
批改过程中常见错误：
错误一：2222x y y kx ⎧-=⎨=⎩
联立式计算不过关； 错误二：忽略斜率不存在的情况0x =（扣1分）
第三问：求证圆2212x y +=
内的点都不是“C 1—C 2型点”． 评分细则： 显然过圆2212
x y +=
内点的直线l 若与曲线C 1有交点，则斜率必存在；（此话不写也可以）设直线方程y kx m =+， ()222222142(1)022
y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒-+++=⎨-=⎩ 和1C 有公共点需要
222222
10210(21)2m m k m k k +∆>⇒-+>>-<或者……………………2分
2
22211222k y kx m x y d m ⎛⎫+=++==<< ⎪⎝⎭
与圆相交关系：或………2分
22
222
22112121122k k m k m k k ++>-<>-⇒<又即………2分 又显然根据图象圆2212
x y +=
内的点与2:||||1C y x =+有公共点需要1k >………2分 产生矛盾，即证得。

（另解）
设直线方程()22000012y k x x y x y ⎛
⎫=-++< ⎪⎝⎭
可知， ()()()()()20022200000022212222022
y k x x y k x x x ky x x x y x y ⎧=-+⎪⇒--+--+--=⎨-=⎪⎩ 计算量大（这样做的学生得分的很少，所以此题失分严重）……………………2分
批改过程中常见错误：
错误一：没有设y kx b =+形式，而采用()00y y k x x -=-
，cos 22y k x θθ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭等形式导致计算量大而放弃；
错误二：不会利用点到直线距离来处理直线与圆的位置关系，只会采用联立∆问题来表达导致不必要的运算；
错误三：不会利用（2）的结论来得到满足2C 型所需的条件，导致在这块地方损失宝贵时间。

（可以通过数形结合来确定1k >（甚至有人直接写）
总之，批改过程中发现学生主要存在的问题是：
1） 计算能力的薄弱，字母一多就手忙脚乱；
2） 分析能力差，不灵活，只会死做，遇到复杂的运算又过不了关，到最后时间被浪费还拿不到分。

3） 论证的能力很差，论据和结论分不清，常见到利用逆命题来论证原命题。

4） 找不到题目的得分点，将大量的时间用于不必要的过程中。

5） 书写习惯差，做题由于思路混乱导致书写十分不规范，想到什么写什么，前后不搭。

6） 企图门混过关的考生很多，由于是证明题，也就是有答案的问题，很多学生通过凑的方式书写，
写的多的人占上风，反倒是条理清晰的但跳步的学生失分严重。