现代控制理论第4章测验参考答案

第4章测验题（共3题，时间：30分钟）
1、若系统的齐次状态方程为),(t x f x
= ，若存在状态矢量x e ，对于所有t ，都使
x e 称为系统的平衡状态。

2、若二次型标量函数V (X )=V (x 1，x 2)=22212125x x x x ++, 若写成V (X )= X T PX 的
形式（P 为对称阵），则P
P 的符号性质为：。

3、系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=013502 ，[]x y 11-=， （1）判断系统在平衡状态处的稳定性。

（2）分析系统的输出稳定性。

解：（1）令0=x ，易知该系统具有唯一一个平衡点为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=00e x 。

设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121211
p p p p P ，取Q=I ，解李亚普诺夫方程PA+A T P=－I ，可得：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=61656537P 易知矩阵P 的符号性质为不定，所以系统在平衡点处不是渐近稳定的。

也可取⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=1000Q 为半正定阵，则22)(x Qx x x V T =-= ，易证明仅当x=0时0)(≡x V
，因此Q 的选取合理。

解李亚普诺夫方程PA+A T P= －Q 求出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=616
5651225P ，P 阵符号也为不定，故系统在平衡点处不是渐近稳定的，但无法判断系统是李亚普诺夫意义稳定还是不稳定。

说明：通过第一方法可求得系统的特征值为2和－3，存在具有正实部的特征值，因此系统是不稳定的。

此外，通过求解该系统的自由解可知
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=-t t t
e x x e x e x t x 31020210210)()(，易知系统的状态是发散的，故系统是不稳定的。

（2）对于系统的输入输出稳定性分析：系统传递函数为
3
1)3)(2()2()()(1+=+--=-=-s s s s B A sI C s G ， 唯一极点为-3，位于s 平面左半平面，因此系统为输出稳定。

4、对于系统[]21c c y u x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=，21b b 2110x ， 试判定其对应自治系统在平衡点的稳定性和系统的输出稳定性。

解：易求得自治系统有唯一平衡点(0, 0)。

可通过第一方法判定特征值，或者第二方法构造李雅普诺夫函数来判断系统的状态稳定性。

第一方法：易求得系统的两个特征值为：-1， -1；特征值均具有复实部，因此系统在平衡点处渐近稳定。

第二方法：根据李亚普诺夫方程PA+A T P= -Q （Q 取单位阵），计算可得⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21212123p P ，根据希尔维斯特判据易判断P 为正定阵，因此系统在平衡点处渐近稳定。

输出稳定：计算C(SI-A)-1B ，可得系统极点为-1， -1，因此系统输出稳定。

又或者，根据线性定常系统状态稳定性与输出稳定性的关系，状态稳定，输出一定稳定。