圆周角-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)

圆周角
知识点一、圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
1.圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交；
2. 圆周角与圆心角的异同
（1）圆周角顶点在圆周上，圆心角顶点在圆心处；
（2）在同圆中，一条弧所对的圆周角可以有无数个，而一条弧所对的圆心角仅有一个；
（3）圆周角与圆心角的共同点：两边都和圆相交.
例：下列四幅图中，是圆周角的是（）
【解答】C
【解析】由圆周角的定义，圆周角需要满足顶点在圆上，且角的两边都与圆相交可排除A、B、D选项，故C选项正确.
知识点二、圆周角定理及圆周角定理的推论
1.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
2.同弧或等弧所对的圆周角相等；
3.在同一个圆中，同弦所对的圆周角相等或互补；
4.直径所对的圆周角是直角，90°所对的弦是直径；
5.相等的圆周角所对的弧相等.
中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝°.
【解答】40°
【解析】∵AB ACB＝90°，
又∵∠CAB＝50°，∴∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝∠ABC＝40°.
知识点三、圆内接四边形及圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形：如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆；
2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；
3.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
例：如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC.
【解答】见解析
【解析】连接AC，如图所示：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°=∠ACE．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠D．
∵C是弧BD的中点，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°，
∴∠E=∠D，
∴∠EBC=∠E，
∴BC=EC.
巩固练习
一．选择题
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，D是CB延长线上的一点，∠ABD＝40°，那么∠AOC的度数为（）
A．80°B．70°C．50°D．40°
【解答】A
̂所对的圆周角∠AEC，如图，
【解析】作ABC
∵∠ABD＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣40°＝140°，
∵∠AEC+∠ABC＝180°，
∴∠E＝40°，
∴∠AOC＝2∠AEC＝2×40°＝80°．
故选A．
2．如图，BC是⊙O的直径，点A、C1是圆上两点，连接AC、AB、AC1、BC1，若∠CBA＝25°，则∠C1的度数为（）
A．85°B．75°C．65°D．55°
【解答】C
【解析】∵BC是⊙O的直径，
∴BAC＝90°，
∵∠CBA＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠CBA＝65°，
∴∠C1＝∠C＝65°；
故选C．
3．如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、BC、BD、CD，若∠CDB＝36°，则∠ABC＝（）
A．36°B．44°C．54°D．72°
【解答】C
【解析】∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°，
故选C．
4．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（）
A．33°B．56°C．57°D．66°
【解答】A
【解析】如图，连接OC，OB．
∵OA⊥BC，
̂=AĈ，
∴AB
∴∠AOC＝∠AOB＝66°，
∠AOC＝33°，
∴∠ADC=1
2
故选A．
5．如图，AB是直径，C、D为圆上的点，已知∠D为30°，则∠CAB的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【解答】D
̂，
【解析】∵∠D＝30°，圆周角∠D和∠B都对着AC
∴∠B＝∠D＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
故选D．
6．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为（）
A．6 B．8 C．3 D．4
【解答】C
【解析】延长CO交⊙O于E，连接DE，过O作OF⊥DE于F，OH⊥CD于H，OG⊥AB于G，线段OG的长是点O 到弦AB的距离，
∵∠COD和∠DOE互补，∠COD和∠AOB互补，
∴∠DOE＝∠AOB，
∴DE＝AB，OF＝OG，
∵OH⊥DC，CD＝6，OH过O，
DC＝3，∠OHD＝∠OHC＝90°，
∴DH＝HC=1
2
由勾股定理得：OH=√OD2−DH2=√52−32=4，
∵OC＝OE，DH＝HC，OH＝4，
∴DE＝2OH＝8，
∵OF⊥DE，OF过O，
DE＝4，
∴DF＝EF=1
2
在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF=√OD2−DF2=√52−42=3，
∴OG＝OF＝3，
即O到AB的距离是3，
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（）
A．18°B．20°C．25°D．40°
【解答】B
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝80°，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝20°，
故选B．
8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，四边形OBCD是平行四边形，则∠A的大小为（）
A．30°B．45°C．60°D．无法确定
【解答】A
【解析】连接OC，
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴BC＝OD，
∴BC＝OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
由圆周角定理得，∠A=1
∠BOC＝30°，
2
二．填空题
9．如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，若∠BAO＝15°，则∠C的度数为．
【解答】75°
【解析】连接OB，如图，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝15°，
∴∠AOB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∠AOB＝75°．
∴∠C=1
2
故答案为75°．
10．已知：点P是⊙O直径AB上的任一点，AB＝2，过点P的弦CD和AB相交所成的锐角为45°，则PC2+PD2的值为．
【解答】2
【解析】连接OD，作OE⊥CD于E，
CD，
则DE=1
2
∴CD2＝4DE2＝4（12﹣OE2），
∵∠APD＝45°，
OP，
∴OE=√2
2
OP2）＝4﹣2OP2，
∴CD2＝4DE2＝4（12−1
2
∵PC•PD＝PB•PA＝（1﹣OP）（1+OP）＝1﹣OP2，
∴PC2+PD2＝（PC+PD）2﹣2PC•PD
＝4﹣2OP2﹣2（1﹣OP2）
＝2．
故答案为2．
11．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为．
【解答】20
3
【解析】由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，
∴5×4＝3×DP，
，
解得，DP=20
3
故答案为20
．
3
̂=CD̂．若∠CAB＝50°，则∠CAD＝°．12．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，AD
【解答】20
【解析】连接OC，OD，如图所示：
∵∠CAB＝50°，
∴∠COB＝2∠AB＝100°．
̂=CD̂，
∵AD
（180°﹣∠COB）＝40°，
∴∠AOD＝∠COD=1
2
∠COD＝20°．
∴∠CAD=1
2
故答案为20．
̂、BĈ的中点，M是弦DE的中13．在⊙O中，AB是直径，AB＝4，C是圆上除A、B外的一点，D、E分别是AC
点，则CM的取值范围是．
【解答】2−√2≤CM＜√2
【解析】如图，连接OD，OE，OC，OM．
̂=CD̂，EĈ=EB̂，
∵AD
∴∠AOD＝∠DOC，∠EOC＝∠EOB，
∵AB是直径，
∴∠AOB＝180°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC=1
（∠AOC+∠BOC）＝90°，
2
∵OD＝OE＝2，
∴DE＝2√3，
∵DM＝ME，
DE=√2，
∴OM=1
2
∵OC＝2，
∴2−√2≤CM≤2+√2，
故答案为2−√2≤CM＜√2．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．
【解答】35
【解析】如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝∠ADE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝55°，
∴∠2＝35°，
故答案为35．
15．如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是°．
【解答】130°
【解析】由题意得到OA ＝OB ＝OC ＝OD ，作出圆O ，如图所示，
∴四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，
∴∠ABC +∠ADC ＝180°，
∵∠ABC ＝50°，
∴∠ADC ＝130°，
故答案为130．
16．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，AD 是∠BAC 的角平分线，若∠BOC ＝120°，则∠CAD 的度数为 ．
【解答】30°
【解析】∵∠BAC =12∠BOC =12×120°＝60°，
而AD 是∠BAC 的角平分线，
∴∠CAD =12∠BAC ＝30°．
故答案为30°．
三．解答题
17．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为圆上的两点，OC ∥BD ，弦AD 与BC ，OC 分别交于E 、F ．
（1）求证：AC
̂=CD ̂； （2）若CE ＝1，EB ＝3，求⊙O 的半径．
【解答】（1）见解析；（2）√5
【解析】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝∠ADB＝90°，
∴OC⊥AD
∴AC
̂=CD̂．
（2）连接AC，如图，
∵AC
̂=CD̂，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵∠ECA＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴AC
BC =CE
AC
，
∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），
∴AC＝2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB=√AC2+BC2=√22+42=2√5，∴⊙O的半径为√5．
18．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠C＝30°，OC＝2．（1）求∠ADC的度数；
（2）求弦CD的长．
【解答】（1）30°；（2）2√3
【解析】（1）∵CD⊥AB，
∴∠OEC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠COE＝60°，
∴∠ADC=1
∠COE＝30°；
2
（2）∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
OC＝1，
在Rt△OCE中，OE=1
2
∴CE=√3OE=√3，
∴CD＝2CE＝2√3．
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝°；
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
【解答】（1）110°；（2）见解析
【解析】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，
故答案为110；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
20．在⊙O中，AB是非直径弦，弦CD⊥AB，
（1）当CD经过圆心时（如图①），∠AOC+∠DOB＝；
（2）当CD不经过圆心时（如图②），∠AOC+∠DOB的度数与（1）的情况相同吗？试说明你的理由．
【解答】（1）180°；（2）相同，理由见解析
【解析】（1）当CD经过圆心时，CD是直径，
∵CD⊥AB，
̂=BĈ，AD̂=BD̂，
∴AC
∴∠AOC＝∠BOC，∠AOD＝∠DOB，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOC+∠DOB＝180°；
故答案为180°；
（2）相同，理由如下：
连接BC，如图②：
∵∠AOC＝2∠CBA，∠DOB＝2∠BCD，∴∠AOC+∠DOB＝2（∠CBA+∠BCD）又∵AB⊥CD，
∴∠CBA+∠BCD＝90°，
∴∠AOC+∠DOB＝2×90°＝180°．。