高中数学第三章指数函数和对数函数55.1对数函数的概念5.2对数函数高一数学

12/13/2021
3.原函数与反函数有何关系？ 答：(1)函数 y＝f(x)的反函数常用 y＝f－1(x)来表示． (2)函数 y＝f(x)与 y＝f－1(x)互为反函数． (3)对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数，它们的 图像关于直线 y＝x 对称． (4)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域． (5)对于任意一个函数 y＝f(x)，不一定总有反函数．
(2)由题意及(1)知，当 0<a<1 时，函数有最小值，∴loga4＝－ 2，∴a－2＝4，∴a＝12.
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【方法总结】 在求对数函数的值域时，要先考虑函数的定 义域，要在定义域内求值域．若含有字母，有时还要分情况讨论．
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根据函数 ƒ(x)＝log2x 的图像和性质 解决以下问题： (1)若 ƒ(a)>ƒ(2)，求 a 的取值范围； (2)求函数 y＝log2(2x－1)在[2，12]上的最值． 解：(1)由函数 ƒ(x)＝log2x 知，它是(0，＋∞)上的增函数，又 ƒ(a)>ƒ(2)，∴a>2，即 a 的取值范围是(2，＋∞)． (2)∵2≤x≤12 ， ∴ 3 ≤ 2x － 1≤23 ， ∴ log23 ≤ log2(2x － 1)≤log223.∴函数 y＝log2(2x－1)在[2，12]上的最小值为 log23，最 大值为 log223.
求下列函数的定义域． (1)y＝lg(x＋1)＋ 22－x x；(2)y＝log(x－2)(5－x)． 解：(1)要使函数有意义，只要x2＋－1x>>00， ，即－1<x<2. ∴函数的定义域为(－1，2)． (2)要使函数有意义，要xx－－22≠>01，，即xx>≠23，，∴函数的定义域
5－x>0， x<5. 为{x|2<x<3 或 3<x<5}.
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已知函数 ƒ(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0 且 a≠1)． (1)求函数的定义域和值域； (2)若函数 ƒ(x)有最小值－2，求 a 的值．
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【解】 (1)由1x＋－3x>>00，，得－3<x<1.∴函数的定义域为{x|－ 3<x<1}．ƒ(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)＝loga[(1－x)(x＋3)]，令 t＝ (1－x)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴t≤4.又 t>0，∴0<t ≤4.∴当 a>1 时，y≤loga4，即值域为(－∞，loga4]；当 0<a<1 时， y≥loga4，即值域为[loga4，＋∞)．
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4．函数 f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图像恒过点 P， 则点 P 的坐标是________．
解析：令 x－1＝1，得 x＝2，∴f(2)＝2. ∴f(x)的图像恒过定点(2，2)． 答案：(2，2)
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5．已知对数函数 f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，求 f(27)． 解：∵f(x)是对数函数，
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(3)由题意得22－xx－ －4x11＋>≠801>，，0，解得xxx<>≠2121， ，. ∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为 x12<x<2且x≠1. 【方法总结】 求对数函数定义域与一般函数定义域类似， 尤其注意真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1.
12/13/Leabharlann 02112/13/2021
1．我们把函数___y＝__l_o_g_a_x_(a_>_0_，__a_≠__1_)____叫作对数函数，其 中 x 是自变量，函数的定义域是__(_0_，__＋__∞__)_，a 叫作对数函数的 _底__数___．
2．我们称以 10 为底的对数函数 y＝lg x 为__常__用__对__数__函__数__； 称以无理数 e 为底的对数函数 y＝ln x 为__自__然__对__数__函__数__．
1，∴值域为[0，1]． 答案：D
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3．设函数 f(x)＝211－－xl，ogx2≤x，1， x>1.则满足 f(x)≤2 的取值范围是
()
A．[－1，2]
B．[0，2]
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
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解析：当 x≤1 时，21－x≤2，1－x≤1，x≥0，∴0≤x≤1. 当 x>1 时，1－log2x≤2，log2x≥－1，log2x≥log212，x≥12， 又 x>1，∴x>1.综上，x≥0，即 f(x)≤2 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：D
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若函数 y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x 是
以 x 为自变量的对数函数，求实数 a.
a2－2a－2＝1， （a－3）（a＋1）＝0，
解：由题意得a＋1>0，
即a>－1，
a＋1≠1，
a≠0.
∴a＝3.
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求下列函数的定义域． (1)y＝ lg（2－x）； (2)y＝log3（31x－2）； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
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1．对数函数中底数的取值范围是什么？ 答：由于指数函数 y＝ax 中的底数 a 满足 a>0，a≠1 则对数函 数 y＝logax 中的底数 a 也必须满足 a>0，a≠1. 2．对数函数的解析式同时满足哪些条件？ 答：(1)对数符号前面的系数是 1；(2)对数的底数是不等于 1 的正实数常数；(3)对数的真数仅有自变量 x.
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已知函数 y＝f(x)，x、y 满足关系式 lg(lg y)＝lg(3－ x)．求函数 y＝f(x)的表达式及定义域、值域．
【错解】 ∵lg(lg y)＝lg(3－x)，∴lg y＝3－x，∴y＝103－x， 定义域为 R，值域为(0，＋∞)．
【错因分析】 未注意到对数函数的定义域．
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【解】 (1)由题意得2lg－（x2>－0，x）≥0，即 2－x≥1， ∴x≤1，则 y＝ lg（2－x）的定义域为{x|x≤1}． (2)由l3oxg－3（2>30x，－2）≠0，得33xx－ >22，≠1， 解得 x>23，且 x≠1. ∴y＝log3（31x－2）的定义域为xx>23且x≠1 .
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【正解】 ∵lg(lg y)＝lg(3－x)， ∴lg y＝3－x，且l3g－y＞x＞00，，∴y＝103－x，x＜3.∴y＞103－3＝ 1.∴函数的定义域为(－∞，3)，值域为(1，＋∞).
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3 基础知识达标
即学即练 稳操胜券
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1．函数 y＝log2(x－3)的定义域为( )
第三章 指数函数和对数函数
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§5 对数函数 5．1 对数函数的概念 5．2 对数函数y＝log2x的图像和性质
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1 课前基础梳理
自主学习 梳理知识
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|学 习 目 标| 1．初步理解对数函数的概念． 2．掌握对数函数 y＝log2x 的图像和性质． 3．了解反函数的概念.
A．(－∞，3)
B．(3，＋∞)
C．(0，3)
D．(0，＋∞)
解析：由 x－3>0 得 x>3，即函数的定义域为(3，＋∞)．
答案：B
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2．函数 y＝log2x 在[1，2]上的值域为( )
A．(－∞，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0]
D．[0，1]
解析：∵y＝log2x 在[1，2]上为增函数，又 log21＝0，log22＝
m2－m－1＝1， ∴m＋1>0， 解得 m＝2.
m＋1≠1， ∴f(x)＝log3x. ∴f(27)＝log327＝3.
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练一练： 下列函数是对数函数的是( A．y＝loga(2x) C．y＝log2x＋1 答案：D
) B．y＝log22x D．y＝lg x
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3．指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠ 1)互为反函数，通常情况下，x 表示自变量，y 表示函数，指数函 数 y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数_y_＝__l_o_g_ax_ (a>0，a≠1)的反函数； 同时，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)也是指数函数_y_＝__a_x (a>0，a ≠1)的反函数．互为反函数的两个函数的图像关于__直__线___y_＝__x__ 对称．
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2 课堂互动探究
典例精析 规律总结
12/13/2021
下列函数中，哪些是对数函数？ ①y＝logax2(a>0，且 a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y ＝logxa(x>0，且 x≠1)；⑤y＝log5x.
12/13/2021
【解】 ⑤为对数函数． ①中真数不是自变量 x，不是对数函数； ②中对数式后减 1，∴不是对数函数； ③中 log8x 前的系数是 2，而不是 1，∴不是对数函数； ④中底数是自变量 x，而非常数 a，∴不是对数函数． 【方法总结】 同指数函数一样，对数函数也是形式化定义， 形如 y＝logax(a>0 且 a≠1)的函数是对数函数，否则不是．