2015年北京各区期末分类 数列理科

数列理科选择题
1.（东城区第4题）设等差数列{}
n
a
的前n项和为n
S
，若
4
9
3
=
+a
a
，则11
S
等于
（A）12（B）18
（C）22（D）44
答案：C
2.【石景山5】以为公比的等比数列中，，则“”是“”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
二、填空题
1. （西城区第11题）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z
++=______．
答案：17
4
2.（海淀区第13题）在等比数列{}
n
a
中，若1
24
a=-
，
4
8
9
a=-
，
则公比q=________；当n=________时，{}
n
a的前n项积．最大.
答案：
3
1，4
3.【石景山10】.为等差数列，，公差，、、
成等比数列，则
．
答案：4029
4.【丰台10】.等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于．答案：15
三、解答题
1.(朝阳区第17题）（本小题满分13分）
若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）
满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，
则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”． （Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等
比数列．求}{n b 的所有项和S ；
（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N . 答案：（本小题满分13分）
（Ⅰ）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=. 则121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.
则()12121212121()22 (12112)
S b b b ⎡
⎤-⎢⎥
⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 （Ⅱ）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以
15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c ==
所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+； 当2650n ≤≤时，251
(25)(25)(26)22
n S S n n n =+-+
⨯--⨯， n S =1250502+-n n .
综上，22
50125501250
2650,.
n n n
n n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..13分
2. （昌平区第20题） （本小题满分13分） 已知数列{}n a 满足11
2a =
，1222,,n n n a n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩
为奇数为偶数，数列{}n a 的前n 项和为n S , 2n n b a =，其中*n ∈N .
(I) 求23a a +的值；
(II) 证明：数列{}n b 为等比数列； (III ) 是否存在*()n n ∈N ，使得21241
?2
n n S b +-= 若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．
答案：（本小题满分13分）
解：(I) 因为231,3a a ==-，所以232a a +=-.
（或者根据已知2122n n a a n ++=-，可得322a a +=-. ） ……………3分 (II) 证明： 1222122242(2)422n n n n n n b a a n a n n a b +++==+=--+=-=-,
12121,b a a ===，故数列{}n b 是首项为1，公比为－2的等比数
列. ……………7分 (III )由 (II) 知1(2)n n b -=-， 所以21212(2)2n n n b --=-=-.
设*221(N ),c 2,n n n n c a a n n +=+∈=-则， 又2112345221()()()n n n S a a a a a a a ++=+++++
++
112n a c c c =+++
+
212
n n =--+
. 则由21241
2
n n S b +-
=，得222404n n n ++=， 设2()42240(2)x f x x x x =---≥， 则'
()()4ln 442x
g x f x x ==--，
'2()4ln 440(2)x g x x =->≥，所以()g x 在[)2,+∞上单调递增，
()(2)'(2)0g x g f ≥=>，即'()0f x >，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增
又因为(1)0,(3)0f f <=，
所以仅存在唯一的3n =，使得21241
2
n n S b +-=成立．……………13分 3．（东城区第16题） （本小题共13分）
已知数列{}n a 是等差数列，满足23a =，56a =，数列{2}n n b a -是公比为3等比数列，且2229b a -=．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ． 答案：（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由23a =，56a = 得633d =+．
解得1d =．
所以2(2)3(2)1n a a n d n n =+-=+-=+． 所以数列{}n a 的通项公式为：*1,n a n n =+∈N ． 由于{2}n n b a -是公比为3等比数列，且2229b a -=，
所以2222(2)33n n n n b a b a --=-⋅=．
从而*23(22)3,n n n n b a n n =+=++∈N ． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知23(22)3n n n n b a n =+=++．
数列{22}n +的前n 项和为(3)n n +， 数列{3}n 的前n 项和为
3(31)2
n
-． 所以数列{}n b 的前n 项和2
33(31)2
n
n S n n =++-． ……………13分 4．（海淀区第20题）
已知集合123{,,,,}(3)n S a a a a n =≥，集合{(,)|,,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠且满
足：,(,1,2,3,,,),i j a a S i j n i j ∀∈=≠(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立. 对于T
定义
1,(,),
(,)0,(,),
T a b T d a b b a T ∈⎧=⎨
∈⎩1211()(,)(,)(,)(,)(,)
T i T i T i T i i T i i T i n l a d a a d a a d a a d a a d a a -+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+（1,2,3,
,i n =）.
（Ⅰ）若4n =，123224(,),(,),(,)a a a a a a T ∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值； （Ⅱ）从12(),(),,()T T T n l a l a l a ⋅⋅⋅中任意删去两个数，记剩下的2n -个数的和为M . 求证：1
(5)32
M n n ≥
-+； （Ⅲ）对于满足()1T i l a n <-（1,2,3,
,i n =）的每一个集合T ，集合S 中是否都存
在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立，并说明理由.
答案：（共14分）
解：（Ⅰ）因为 123224(,),(,),(,)a a a a a a T ∈，
所以 21(,)0T d a a =，23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =.
………………1分
因为 24(,)a a T ∈，所以 42(,)0T d a a =.
所以 4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a =++≤++=.
所以 当244143(,),(,),(,)a a a a a a T ∈时，4()T l a 取得最大值2. …………3分 （Ⅱ）由(,)T d a b 的定义可知：(,)(,)1T T d a b d b a +=.
所以
122113311
()[(,)(,)][(,)(,)]n
T
i T T T T i l
a d a a d a a d a a d a a ==+++∑
1111[(,)(,)][(,)(,)]
T n T n T n n T n n d a a d a a d a a d a a --+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++
2
1
(1)2
n C n n ==
-. ………………6分
设删去的两个数为(),()T k T m l a l a ，则1
()()(1)2
T k T m l a l a n n M +=
--. 由题意可知：()1,()1T k T m l a n l a n ≤-≤-，且当其中一个不等式中等号成立，不放设
()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =.
所以 ()2T m l a n ≤-. ………………7分
所以()()1223T k T m l a l a n n n +≤-+-=-. 所以 1()()(1)232T k T m l a l a n n M n +=
--≤-，即1
(5)32
M n n ≥-+. ………………8分
（Ⅲ）对于满足()1T i l a n <-（1,2,3,
,i n =）的每一个集合T ，集合S 中都存在三
个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立，理由如下：
任取集合T ，由()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）可知， 12(),(),,()T T T n l a l a l a ⋅⋅⋅中
存在最大数，不妨记为()T l f （若最大数不唯一，任取一个）.
因为 ()1T l f n <-，
所以 存在e S ∈，使得(,)0T d f e =，即(,)e f T ∈. 由()1T l f ≥可设集合{|(,)}G x S f x T =∈∈≠∅.
则G 中一定存在元素g 使得(,)1T d g e =. 否则，()()1T T l e l f ≥+，与()T l f 是最大数矛盾.
所以 (,)1T d f g =，(,)1T d g e =，即(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=. ………………14分
5.（西城区第20题）（本小题满分13分）
设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，
），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =++
+. 并规定
(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，
， 1()k k n A n -=，
．
（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；
（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论） 答案：（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……
所以 201532n =． (3)
分（Ⅱ）证明：因为函数2981
()(9)()24
f x x x x =-=--+，
所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分
因为 12()()()()m A n f a f a f a =++
+，
所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分
令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．
当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增． 故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．
所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分
（Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．
…………………13分
6.【丰台20】.已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a λ-=+，(1λ≠，2n ≥且*)n ∈N ．
（Ⅰ）求证：当0λ≠时，数列1
{}1
n a λ+
-为等比数列； （Ⅱ）如果2λ=，求数列{}n na 的前n 项和n S ； （Ⅲ）如果[]n a 表示不超过n a
的最大整数，当1λ=时，求数列{[(1)]}n a λ-的
通项公式．
20. 解：（Ⅰ）当0λ≠时，设1
1n n b a λ=+
-， 则 当2n ≥时，11
111
1
n n n n a b b a λλ--+-=
+-． 因为 11n n a a λ-=+，
所以 11
11
1111n n n n a b b a λλλ---++
-=
+
-11111()
111111
n n n n a a a a λλλλλλλλ----++--===++--为常数． 因为 11011
a λλλ+
=≠--，
所以 数列1{}1
n a λ+
-是首项为1λλ-，公比为λ的等比数
列． ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 2λ=时{1}n a +为首项为
1
λ
λ-，公比为λ的是等比数列， 所以12n n a +=． 2n
n n a n
n =-． 设2
12222n n A n =⨯+⨯++⨯， 则2
31212222n n A n +=⨯+⨯++⨯．
相减得2
12222n n n A n +=----+⨯1(1)22n n +=-⨯+．
设21222
n n n
B n =++
+=+，
n S =n n A B -=21
(1)2
222
n n n n +-⨯+--．
即
n S =21
(1)2
222
n n n
n +-⨯+--． ……………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知1
11
1
11
n n n a λλλ
λλλ-
-=
-=
---． 设(1)11)1n n n n c a λλ=
-=-=
-， 由二项式定理可知1)(1)
n n +
为整数，
所以1)(1)2,2,
[]1)(1)1,2 1.
n n
n n n
n k c n k ⎧+-=⎪=⎨+-=-⎪⎩ *
()k ∈
N ． 所以
3(
[]22
n
n
n
n c -
=
+--． ……………13分。