山东省潍坊市临朐县2024年高三数学第一学期期末检测试题含解析

山东省潍坊市临朐县2024年高三数学第一学期期末检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的函数||
()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)
c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
2．已知实数x ，y 满足约束条件220
2202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22
x y +的取值范围是（ ）
A ．25,225⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．4,85
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．2,85
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]1,8
3．设实数满足条件
则的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
4．设复数z ＝
213i
i
-+，则|z |＝（ ） A ．
13
B ．
23
C ．
12
D ．
22
5．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ） A ．55
-
B 5
C ．25
D 25
7．设全集U =R ，集合{}
02A x x =<≤，{}
1B x x =<，则集合A B =（ ）
A ．()2,+∞
B ．[)2,+∞
C ．(],2-∞
D ．(],1-∞
8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专
家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．
16
B ．
14
C ．
13
D ．
12
9．已知,x y 满足0
01
x y x y x -⎧⎪
+⎨⎪⎩
，则32y x --的取值范围为（ ）
A ．3,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．(1,2]
C ．(,0][2,)-∞+∞
D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞
10．设12,x x 为(
)()cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．π
B ．
2
π C ．
3
π D ．
4
π 11．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．100
B ．210
C ．380
D ．400
12．已知函数()(1)(2)x e
f x m x x e -=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，
则实数m 的最大值为（ ）
A ．32e e +
B ．22e e +
C ．32e e -
D ．22
e e -
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()1,1m =，()2,1n =-，()1,g λ=，若()
2g m n ⊥+，则λ=______.
14．若随机变量ξ的分布列如表所示，则E
ξ=（）______，()21D ξ-=______．
15．已知全集为R ，集合{}
{}2
0,1,0A x x x B =-
==-，则A B =___________.
16．抛物线2
112
y x =
的焦点坐标为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{}n a 满足：2
16n n x x +=-，*n N ∈，且对任意的*n N ∈都有n x <
, （Ⅰ）证明：对任意*n N ∈，都有132
n x --≤≤
；
（Ⅱ）证明：对任意*n N ∈，都有1222n n x x ++≥+； （Ⅲ）证明：12x =-.
18．（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图. 表1：一级滤芯更换频数分布表 一级滤芯更换的个数 8 9 频数
60
40
图2：二级滤芯更换频数条形图
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
（2）记X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X 的分布列及数学期望；
（3）记,m n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若19m n +=，且{}8,9m ∈，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定,m n 的值.
19．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x
与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
表中2
11i w x =
，10
1110i i w w ==∑.
（1）根据散点图判断，y a bx =+与2
d
y c x =+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）若旋转的弧度数x 与单位时间内煤气输出量t 成正比，那么x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，()33,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计
分别为()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i v v u u u u β==--=
-∑∑，v u αβ=-.
20．（12分）已知函数()()2
ln 12
a f x x x x
b =
---，,R a b ∈. （1）当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；
（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值.
21．（12分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．
()1求B 的值；
()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =
，7cos 25
A =-，求b 的值. 22．（10分）已知圆2
2
:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ． (1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；
(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【题目详解】
解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；
∴f （x ）＝2x ﹣1；
∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．
【题目点拨】
本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小． 2、B 【解题分析】
画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得2
2x y +的取值范围.
【题目详解】
由约束条件作出可行域是由(2,0)A ，(0,1)B ，(2,2)C 三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而2
2x
y +可
理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到AB 所在的直线220x y +-=的距离是可行域内的点到原点距离
的最小值，此时2
22245
OA OB x y OD AB ⋅⎛⎫+===
⎪⎝⎭，点C 到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时2222228x y +=+=.所以22x y +的取值范围是4,85⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
故选：B 【题目点拨】
本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识. 3、C 【解题分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【题目详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即
，表示直线在轴的截距加上1， 根据图像知，当时，且
时，
有最大值为.
故选：.
【题目点拨】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 4、D 【解题分析】
先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【题目详解】
解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710
i --＝﹣1
10﹣710i ,
则|z |22
171010⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5010012＝
22. 故选：D . 【题目点拨】
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题. 5、A 【解题分析】
设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，由复数相等可得,a b 的值，进而求出z ，即可得解. 【题目详解】
设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，即(1)ai b a b i -=++，
由复数相等可得：1b a a b -=⎧⎨=+⎩，解之得：12
1
2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，则1122z i ，所以1212z i =+，在复平面对应的点的坐标为11(,)22，在第一象限. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题. 6、D 【解题分析】
倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【题目详解】
解：因为直线l 与直线230x y +-=垂直，所以1tan 12θ⎛⎫
⋅-
=- ⎪⎝⎭
，tan 2θ=. 又
θ为直线倾斜角，解得sin =5
θ. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 7、C 【解题分析】
∵集合{}
02A x x =<≤，{}
1B x x =<， ∴A B ⋃= (]
,2-∞
点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集. 8、A 【解题分析】
每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率. 【题目详解】
派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：23
4336n C A ==
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：212
2326m C C A ==
∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366
m p n =
== 本题正确选项：A 【题目点拨】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 9、C 【解题分析】 设3
2
y k x -=
-，则k 的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论. 【题目详解】 解：设3
2
y k x -=
-，则k 的几何意义为点(,)P x y 到点(2,3)D 的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：
由图可知当过点D 的直线平行于x 轴时，此时3
02
y k x -=
=-成立； 3
2
y k x -=
-取所有负值都成立； 当过点A 时，32y k x -=
-取正值中的最小值，1(1,1)0
x A x y =⎧⇒⎨
-=⎩，此时313
2212y k x --===--； 故
3
2
y x --的取值范围为(,0][2,)-∞+∞； 故选：C . 【题目点拨】
本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在． 10、A 【解题分析】
先化简已知得()2sin()6
f x wx π
=-,再根据题意得出f （x ）的最小值正周期T 为1×2，再求出ω的值．
【题目详解】
由题得()2sin()6
f x wx π
=-
,
设x 1，x 2为f （x ）=2sin （ωx ﹣6
π
）（ω＞0）的两个零点，且12x x -的最小值为1， ∴2T
=1，解得T=2； ∴
2π
ω
=2，
解得ω=π． 故选A ． 【题目点拨】
本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 11、B 【解题分析】
设{}n a 公差为d ，由已知可得3a ，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解. 【题目详解】
设{}n a 公差为d ，27a =，415a =，
24
33211,42
a a a d a a +∴=
==-=, 1010(339)
41,2102
n a n S ⨯+∴=-∴==.
故选：B. 【题目点拨】
本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和，属于基础题. 12、A 【解题分析】
若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，利用导
数求出()g x 的最小值，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，结合图象可得.
【题目详解】
解：()(1)(2)0x
f e e x m x x =--->-，
∴(1)(2)x m x x e e ->-+，
设()(2)x y g x x e e ==-+，
∴()(1)x g x x e '=-，
当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，
当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，
∴()(1)0g x g ≥=，
当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞，()f x e →，
函数(1)y m x =-恒过点()1,0，
分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，如图所示， ，
若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值， ∴3(31)(32)e m e -≤-+且(21)(22)x m e e ->-+，即32(3)m g e e ≤=+，且m e > ∴32
e e e m +<≤，
故实数m 的最大值为32
e e +， 故选：A
【题目点拨】
本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-1
【解题分析】
由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论．
【题目详解】
由已知2(4,1)m n +=，∵()2g m n ⊥+，∴()240g m n λ⋅+=+=，4λ=-．
故答案为：－1．
【题目点拨】
本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
14、14
- 114 【解题分析】
首先求得a 的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得()D ξ的值，由方差的性质计算()21D ξ-的值即可.
【题目详解】 由题意可知2114a a +
+=，解得32a =-（舍去）或12
a =. 则()11111012444E ξ=-⨯+⨯+⨯=-， 则()2221111111110142444416D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭， 由方差的计算性质得()()112144
D D ξξ-==
. 【题目点拨】
本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15、{}1,0,1-
【解题分析】
先化简集合A,再求A ∪B 得解.
【题目详解】
由题得A={0,1},
所以A ∪B={-1,0,1}.
故答案为{-1,0,1}
【题目点拨】
本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16、()0,3
【解题分析】
变换得到212x y =，计算焦点得到答案.
【题目详解】 抛物线2112y x =的标准方程为212x y =，6p ，所以焦点坐标为()0,3．
故答案为：()0,3
【题目点拨】
本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解题分析】
分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；
(2)将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；
(3)结合题中的条件，应用反证法求得结果.
详解：证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则
若3n x <-,则2163n n x x +=->,与任意的*n N ∈都有12
n x <矛盾；
若n x >,则有n x <<,则 2
211166,22n n x x +⎛⎫=-<-=- ⎪ ⎪⎝⎭
22211166,22
n n x x ++⎛⎫=->--=
⎪ ⎪⎝⎭ 与任意的*n N ∈
都有n x <矛盾； 故对任意*n N ∈
，都有132n x --≤≤
成立； （Ⅱ）由216n n x x +=-得21+26+2=+22n n n n x x x x +=-⋅-（）（）， 则1+2+22n n n x x x +=⋅-，由（Ⅰ）知0n x ≤，22n x -≥，
即对任意*n N ∈，都有1222n n x x ++≥+；. （Ⅲ）由（Ⅱ）得：21112222222n n n n x x x x +-+≥+≥+≥⋅⋅⋅≥+，
由（Ⅰ）知，31n x -≤≤-， ∴121n x ++≤， ∴1221n x +≤，即1122
n x +≤， 若12x ≠-，则120x +>,取211log 12n x ⎡⎤≥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦时，有1122n x +>，与1122n x +≤矛盾. 则12x =-. 得证.
点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.
18、（1）0.024；（2）分布列见解析，525
EX =
；（3）8,11m n == 【解题分析】
（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；
（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而X 的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到X 的分布列及数学期望；
（3）由19m n +=，且{}8,9m ∈，可知若8m =，则11n =，或若9m =，则10n =，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可.
【题目详解】
（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件A ，
因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以
()0.60.20.20.024P A =⨯⨯=.
（2）由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意X 的可能取值为8，9，10，11，12，
从而(8)0.20.20.04,(9)20.20.40.16P X P X ==⨯===⨯⨯=，
(10)20.20.40.40.40.32,(11)20.40.40.32P X P X ==⨯⨯+⨯===⨯⨯=，
(12)0.40.40.16P X ==⨯=.
所以X 的分布列为
80.0490.16100.32110.32120.1610.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）.
或用分数表示也可以为
8910111225252525255
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个）. （3）解法一：记Y 表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）
因为19m n +=，且{}8,9m ∈，
1°若8m =，则11n =，
116084000.480112000.162352EY =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；
2°若9m =，则10n =，
2160980102000.324000.162368EY =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.
因为12EY EY <，故选择方案：8,11m n ==.
解法二：记,ηξ分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）
1°若8m =，则11n =，
,ηξ的分布列为
该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为
1112800.616800.48800.8410800.162352E E ηξ+=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；
2°若9m =，则10n =，
2ξ的分布列为
2216098000.5210000.3212000.162368E E ηξ+=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.
因为1122E E E E ηξηξ+<+
所以选择方案：8,11m n ==.
【题目点拨】
此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.
19、（1）2d y c x =+
更适宜（2）2205y x
=+（3）x 为2时，烧开一壶水最省煤气 【解题分析】
（1）根据散点图是否按直线型分布作答；
（2）根据回归系数公式得出y 关于ω的线性回归方程，再得出y 关于x 的回归方程；
（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.
【题目详解】
（1）2
d y c x =+更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型. （2）由公式可得：()()()10
1102116.2200.81
i i
i i i w w y y d w w ==--===-∑∑， 20.6200.785c y dw =-=-⨯=，
所以所求回归方程为2
205y x =+. （3）设t kx =
，则煤气用量220205520k S yt kx kx k x x ⎛⎫==+
=+≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当205k kx x
=时取“=”，即2x =时，煤气用量最小. 故x 为2时，烧开一壶水最省煤气.
【题目点拨】
本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.
20、（1）见解析（2）2
【解题分析】
（1）将1b =-代入可得()2ln 2a f x x x x =-,令0f x ,则ln 2a
x x =,设()ln x g x x =,则转化问题为()g x 与2a y =的交点问题,利用导函数判断()g x 的图象,即可求解；
（2）由题可得()ln 0f x ax b x '=+-≥在0,
上恒成立,设()ln h x ax b x =+-,利用导函数可得()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,则()min 0h x ≥,即221ln a b a a +≥--,再设()21ln m x x x =--,利用导函数求得()m x 的最
小值,则2ln2a b +≥,进而求解.
【题目详解】
（1）当-1b =时,()2ln 2a f x x x x =
-,定义域为0,, 由0f x
可得ln 2a x x =, 令()ln x g x x =
,则()21ln x g x x -'=, 由0g x ,得0x e <<；由0g x ,得x e >,
所以()g x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减,
则()g x 的最大值为()1g e e
=, 且当x e >时,()10g x e <<；当0x e <≤时,()1g x e
≤, 由此作出函数()g x 的大致图象,如图所示.
由图可知,当20a e <<
时,直线2
a y =和函数()g x 的图象有两个交点,即函数()f x 有两个零点； 当12a e =或02a ≤,即2a e =或0a ≤时,直线2
a y =和函数()g x 的图象有一个交点,即函数()f x 有一个零点； 当12a e >即2a e >时,直线2a y =与函数()g x 的象没有交点,即函数()f x 无零点. （2）因为()f x 在0,上单调递增,即()ln 0f x ax
b x '=+-≥在0,上恒成立,
设()ln h x ax b x =+-,则()1h x a x
'=-, ①若0a =,则()0h x '<,则()h x 在0,
上单调递减,显然()ln 0f x b x '=-≥,
在0,上不恒成立； ②若0a <,则()0h x '<,()h x 在0,
上单调递减,当max ,1b x a >-时,0,ln 0ax b x +<-<,故()0h x <,()f x 单调递减,不符合题意；
③若 0a >,当10x a
<<时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当1x a
>时,()0h x '>,()h x 单调递增, 所以()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭
, 由()min 0h x ≥,得221ln a b a a +≥--,
设()21ln ,0m x x x x =-->,则()12m x x
'=-, 当102x <<
时,()0m x '<,()m x 单调递减； 当12
x >时,()0m x '>,()m x 单调递增,
所以()1ln 22m x m ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭
,所以2ln2a b +≥, 又2a b c e +≤,所以2≤c ,即c 的最大值为2.
【题目点拨】
本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.
21、()14B π
=；()2sin sin AD ADC b C
∠=. 【解题分析】
()1利用正弦定理化简求值即可；
()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.
【题目详解】
解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，
()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=，
()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，
sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=，
sinCcos sin sin B C B =，
又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >，
则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π
=；
（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭,
27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，
24sin 25A ==，又4
B π=，
则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭
()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭
在ACD 中，由正弦定理：
sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADC b C
∠=. 【题目点拨】 本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.
22、（1）4x =或3480x y +-=（2
）
【解题分析】
(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;
(2)先求出直线方程，然后求得圆心C 与直线l 的距离,由弦长公式即可得出答案.
【题目详解】
解: (1)由题意可得()2,3C ,直线l 与圆C 相切
当斜率不存在时，直线l 的方程为4x =,满足题意
当斜率存在时，设直线l 的方程为14
y k x +=-,即410kx y k ---=
2=,解得34
k =- ∴直线的方程为3480x y +-=
∴直线l 的方程为4x =或3480x y +-=
(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，直线l 的方程为30x y +-=
圆心()2,3C 到直线l 的距离为23322
∴弦长为=【题目点拨】
本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.。