北京市门头沟区2021届新高考数学第三次押题试卷含解析

北京市门头沟区2021届新高考数学第三次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数22cos x x
y x x
--=-的图像大致为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522
f f ππ⎛⎫
⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
排除选项D ； 根据特殊值502
f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数()
f x = 22cos x x
y x x
--=-,
则552
2
52252
f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭
,552
2
52252
f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭
;
即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选项D 排除; 对于选项C ：因为552
2
522052
2
f πππ
π-
-⎛⎫=> ⎪⎝⎭
,故选项C 排除;
对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除; 故选项:A 【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭
r r ，若()()
a b a b +⊥-r r r r ，则实数m 的值为（ ）
A ．
12
B
．
C ．12
±
D
．±
【答案】D 【解析】 【分析】
由两向量垂直可得()()
0a b a b +⋅-=r r r r ，整理后可知22
0a b -=r r ，将已知条件代入后即可求出实数m 的
值. 【详解】
解：()()
a b a b +⊥-r r r r Q ，()()
0a b a b ∴+⋅-=r r r r ，即220a b -=r r ，
将1a =r 和22212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
r 代入，得出2
34m =
，所以m =. 故选:D. 【点睛】
本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理. 3．要得到函数1cos 2y x =
的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上所有点的（ ）
A ．横坐标缩短到原来的
12
（纵坐标不变），再向左平移3π
个单位长度
C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6
π
个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3
π
个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【详解】 为得到11sin 222y cosx x π⎛
⎫=
=+ ⎪⎝
⎭， 将1sin 223y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝⎭
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 故可得1sin 23y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π
个单位长度，
故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛
⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.
4．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )
A ．10922⨯-
B ．10922⨯+
C ．11922⨯+
D ．11922⨯-
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k ，v 的值，当1k =-时，不满足条件0k …
，跳出循环，输出v 的值． 【详解】
解：初始值10v =，2x =，程序运行过程如下表所示：
9k =，
1029v =⨯+，8k
=，
2102928v =⨯+⨯+，7k =， 2310292827v =⨯+⨯+⨯+，6k =， 4321029282726v =⨯+⨯+⨯+⨯+，5k =， 4325102928272625v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，4k =， 6543210292827262524v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，3k =， 6574321029282726252423v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，2k =， 7654328102928272625242322v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，1k =， 4987653210292827262524232221v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，0k =，
98765432101029282726252423222120v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，1k =-，
跳出循环，输出v 的值为
其中98765432101029282726252423222120v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+①
①—②得
41711098653210212121212121212121212v -=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ()111021210212
v --=-⨯+
-
11922v =⨯+．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到k ，v 的值是解题的关键，属于基础题．
5．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲
线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）
A B
C D 【答案】A 【解析】 【分析】
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，
列出方程，求解离心率． 【详解】
不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，
因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=2
2
2b c ==，
即2222c a -=，因为1c
e a
=
>，所以解得e = 故选A ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.
6．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768
111++=（ ） A ．
1318
B ．
1318或
19
36
C ．
13
9
D ．
136
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可得2
5968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.
【详解】
由题意，数列{}n a 为等比数列，则2
5968736a a a a a ⋅=⋅==，
又a a a 76826++=，即68726a a a +=-，
所以，()()7687778686767877
7683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()2
77777777773626362636263626133636363618
a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅.
故选：A. 【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.
7．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ） A
B
．
2
C
．
4
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，求出向量DP u u u r
，求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，结合θ为定值，得出sin θ为定值，且P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【详解】
由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，
以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空
则可得1OB OC ==，3
23OA =
=OA 的三等分点G 、F 如图， 则13
3OG OA =
=
2233AG OF OA ===2226
DG AD AG =-=
，162EF DG ==，
所以()0,1,0B 、()0,1,0C -、(
)
3,0,0A
、32633D ⎛ ⎝⎭、236,0,33E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
， 由题意设(),,0P x y ，326,33DP x y ⎛=-- ⎝⎭
u u u r ， QV ABD 和ACD V 都是等边三角形，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，CE AD ⊥，
BE CE E =Q I ，AD ∴⊥平面BCE ，2326AD ⎛∴= ⎝⎭
u u u r 为平面BCE 的一个法向量， 因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦
，
由题意可得
2
2
2
2
23326333sin cos ,326233x AD DP AD DP AD DP
x y θ⎛⎫⎛⎫
-
⨯-- ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭
=<>==
⋅⎛⎫⎛⎫⨯-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r
u u u r u u u r
u u u r u u u r (
)
()
2
222
222
233
233
3323933239
3138
x x x x x y x x y x x y ++++=
==+-++-+-++ 因为P 的轨迹为一段抛物线且tan θ为定值，则sin θ也为定值，
22223339323x x x y x ==-，可得233y x =，此时3
sin 3θ=，则6cos 3θ=，sin 2tan cos 2
θθθ==
. 故选：B.
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题． 8．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题
C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”
D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <” 【答案】B 【解析】 【分析】
解不等式，可判断A 选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B 选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
解不等式21a <，解得11a -<<，则命题p 为假命题，A 选项错误； 命题p 的逆命题是“若21a <，则1a <”，该命题为真命题，B 选项正确； 命题p 的否命题是“若1a ≥，则21a ≥”，C 选项错误； 命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a ≥”，D 选项错误． 故选：B ． 【点睛】
本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.
9．已知函数()(2)3,(ln 2)
()32,(ln 2)x
x x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，
则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,
2
e -⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．(,1]-∞
C ．1,12e -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．[ln 2,1]
【答案】C 【解析】 【分析】
求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <时，求解
()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果.
当ln2x ≥时，()()()
'12x
f x x e =---，
令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >， ∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减. ∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+， ∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(]
,2e -∞+， ∴ln2m 1≤≤
又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即
1x ln22
e
-≤<， ∴
1e
22
m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选C. 【点睛】
本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题. 10．已知命题p ：,x R ∃∈使1
sin 2
x x <
成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1
sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1
sin 2x x <
均成立 C ．,x R ∃∈使1
sin 2
x x ≥成立
D ．,x R ∃∈使1
sin 2
x x =成立
【答案】A 【解析】
试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2
x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.
11．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫
=+
∈> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( ) A ．向左平移
8
π
个单位长度 B ．向右平移
8
π
个单位长度 C ．向左平移4
π
个单位长度 D ．向右平移
4
π
个单位长度 【答案】A 【解析】
【详解】
由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4
f x x π
=+
cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
cos 24x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
cos 2()8
x π
=-， 因此它的图象向左平移
8
π
个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 【名师点睛】
三角函数图象变换方法：
12．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b ＞c ＞a
B ．c ＞b ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c
【答案】A 【解析】 【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（
12）lnx ＞（1
2
）0＝1，
∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线4x y b -=被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则b 的值为__ 【答案】1 【解析】 【分析】
根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得． 【详解】
解：圆2
2
2210x y x y +--+=的圆心为（1，1），半径1r =， 因为直线4x y b -=被圆2
2
2210x y x y +--+=截得的弦长为2， 所以直线40x y b --=经过圆心（1，1），
410b ∴--=，解得3b =．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．
14．若函数2()1(x
f x mx e e =-+为自然对数的底数）在1x x =和2x x =两处取得极值，且212x x ≥，则
实数m 的取值范围是______． 【答案】12ln ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
， 【解析】 【分析】
先将函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，转化为方程(0)2x e
m x x =≠有两不等实根12,x x ，且
212x x ≥，再令()(0)2x e h x x x
=≠，将问题转化为直线y m =与曲线()2x h x x e
=有两交点，且横坐标满足
212x x ≥，用导数方法研究()2x
h x x
e =单调性，作出简图，求出212x x =时，m 的值，进而可得出结果.
【详解】
因为
2()1x f x mx e =-+，所以()2x f x mx e '=-，
又函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，
所以12,x x 是方程20x mx e -=的两不等实根，且212x x ≥，
即(0)2x
e m x x =≠有两不等实根1
2,x x ，且212x x ≥，
令()(0)2x
e h x x x
=≠，
则直线y m =与曲线()2x h x x
e
=有两交点，且交点横坐标满足212x x ≥，
又22
()42(22)(1)
x x e e h x x x
x x =-'=-， 由()0h x '=得1x =，
所以，当1x >时，()0h x '>，即函数()2x
h x x
e
=在(1,)+∞上单调递增；
当0x <，01x <<时，()0h x '<，即函数()2x h x x
e
=在(,0)-∞和(0,1)上单调递减；
当212x x =时，由121222x x e e x x =得1ln 2x =，此时1112ln 2
x e m x ==， 因此，由212x x ≥得1
ln 2
m >
. 故答案为12ln ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，
【点睛】
本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型.
15．已知实数0a ≠，对任意x ∈R ，有()5
2501251ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，且1240a a +=，则
0125a a a a +++⋅⋅⋅+=______.
【答案】-1 【解析】 【分析】
由二项式定理及展开式系数的求法得1
1225
54()()0C a C a -+-=，又0a ≠，所以2a =，令1x =得：5012345(121)a a a a a a -⨯=+++++，所以0123451a a a a a a +++++=-，得解． 【详解】
由5250125(1)ax a a x a x a x -=+++⋯+，且1240a a +=，
则1
1225
54()()0C a C a -+-=， 又0a ≠， 所以2a =， 令1x =得：
5012345(121)a a a a a a -⨯=+++++， 所以0123451a a a a a a +++++=-， 故答案为：1-． 【点睛】
本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16．已知实数a ，b ，c 满足22221a b c ++=，则ab c +的最小值是______. 【答案】9
16
- 【解析】 【分析】
先分离出22a b +，应用基本不等式转化为关于c 的二次函数，进而求出最小值. 【详解】
解：若ab c +取最小值，则ab 异号，0c <， 根据题意得：22212c a b -=+，
又由2
2
22a b ab ab +≥=-，即有2122c ab -≥-，
则2
2119
2416
ab c c c c ⎛⎫+≥+-=+- ⎪⎝⎭，
即2ab c +的最小值为916
-， 故答案为：916
- 【点睛】
本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数1()x
x
f x e
--=，
（1）证明：()f x 在区间(0,1)单调递减；
（2）证明：对任意的(0,1)x ∈有11x
x x e x e ---<-<． 【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析 【解析】 【分析】
（1）利用复合函数求导求出()f x '，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）首先证1x x e --<，令()(1)x
g x e
x -=--，求导可得()g x 单调递增，由(0)0g =即可证出；再令
()ln(1)1x
g x x x
=-+
-，再利用导数可得()h x 单调递增，由()0h x >即可证出. 【详解】 （1）1121()1(1)x
f x e
x -
-⎛⎫'=⋅- ⎪-⎝⎭
显然()0,1x ∈时，()0f x '<，故f 在(0,1)单调递减． （2）首先证1x x e --<，令()(1)x
g x e x -=--，
则()10,(0,1)x
g x e
x -'=-+>∈
()g x 单调递增，且(0)0g =，所以()0,(0,1)g x x >∈
再令()ln(1)1x g x x x
=-+
-， 2
(0)0,()0,(0,1)(1)
x
h h x x x '==
>∈- 所以()h x 单调递增((0,1)x ∈，即()0h x >，(0,1)x ∈
∴ln(1),(0,1)1x
x x x
->-
∈- 11,(0,1)x x
x e
x --⇒->∈
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，解题的关键掌握复合函数求导，属于难题. 18．已知函数()ln (,f x ax x b a b =+为实数)的图像在点()()
1,1f 处的切线方程为1y x =-. （1）求实数,a b 的值及函数()f x 的单调区间； （2）设函数()()1f x g x x
+=
，证明()()1212()g x g x x x =<时， 122x x +>.
【答案】 (1) 1,0a b == ;函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
;(2)详见解析. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）由题得()()1ln f x a x '=+，根据曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程，列出方程组，求得,a b 的值，得到()f x 的解析式，即可求解函数的单调区间； （2）由（1）得 ()1ln g x x x
=+
根据由()()12g x g x =，整理得
212121-ln 0x x x x x x =>， 设2
1t(1)x t x =>，转化为函数1u(t)t 2ln t t
=--的最值，即可作出证明. 试题解析：
（1）由题得，函数()f x 的定义域为()0,∞+， ()()x a 1lnx '
=+n
n ，
因为曲线()f x 在点()()
1,f 1处的切线方程为y x 1=-，
所以()()1111b 0a f aln '⎧==⎪⎨=+=⎪⎩n n ，，
解得a 1,b 0==.
令()x 1lnx 0'
=+=n
n ，得1x e
=，
当10x e <<
时， ()h x 0'<， ()f x 在区间10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减； 当1x e >
时， ()h x 0'>， ()f x 在区间1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增.
所以函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）得， ()()f x 11g x lnx x
x
+=
=+
. 由()()1212g x g x (x x )=<，得121211
lnx lnx x x +
=+，即212121
x -x x ln 0x x x =>. 要证
，需证()
21212121x -x x x x 2ln x x x +>，即证212121
x x x 2ln x x x ->， 设21x t(t 1)x =>，则要证212121x x x 2ln x x x ->，等价于证： 1t 2lnt(t 1)t
->>.
令1u(t)t 2lnt t =--，则()2
2121u't 110t t t ⎛⎫
=+-=-> ⎪⎝⎭
，
∴()u t 在区间()1,+∞内单调递增， ()()u t u 10>=, 即1
t 2lnt t
-
>，故12x x 2+>. 19．为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A 、B 、C 三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：
A 组
10 11 12 13
14
15 16
B 组
12
13
14
15
16
17 18 C 组 13 14 15
16
17 18
19
假设所有植株的生长情况相互独立．从A 、B 、C 三组各随机选1株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙，C 组选出的植株记为丙． （1）求丙的高度小于15厘米的概率； （2）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（3）表格中所有数据的平均数记为0μ．从A 、B 、C 三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14、16、15（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为
1μ，试比较0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）27；（2）1049
；（3）01μμ<．
【解析】 【分析】
设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1i =、2、L 、7，可得出()()()17
i i i P A P B P C ===
. （1）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，可得12D C C =⋃，且1C 、2C 互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果；
（2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（3）根据题意直接判断0μ和1μ的大小即可. 【详解】
设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1i =、2、L 、7． 由题意可知()()()1
7
i i i P A P B P C ===
，1i =、2、L 、7． （1）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知12D C C =⋃，
又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率()()()()121227
P D P C C P C P C =⋃=+=； （2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．
由题意知41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃． 所以事件E 的概率()()()()()()4151617152P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++
()()()()()6272637374P A B P A B P A B P A B P A B +++++
()()()414110101049
P A B P A P B ===
； （3）01μμ<. 【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
20．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，且经过点31,2T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
斜率为()0k k >的直线1l 经过点()0,2M ，与椭圆C 交于G ，H 两点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）22
143x y +=（2）存在；实数m
的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆定义计算a ，再根据a ，b ，c 的关系计算b 即可得出椭圆方程；（2）设直线1l 方程为
2y kx =+，与椭圆方程联立方程组，求出k 的范围，根据根与系数的关系求出GH 的中点坐标，求出GH
的中垂线与x 轴的交点横，得出m 关于k 的函数，利用基本不等式得出m 的范围． 【详解】
（1）由题意可知1c =，1(1,0)F -，2(1,0)F ．
又1235
2||||422a TF TF =+=+=，
2a ∴=
，b ∴=
=
∴椭圆C 的方程为：22
143
x y +=．
（2）若存在点(,0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形， 则P 为线段GH 的中垂线与x 轴的交点．
设直线1l 的方程为：2y kx =+，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，
联立方程组222
14
3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得：22
(34)1640k x kx +++=，
△2225616(34)0k k =-+>，又0k >，故1
2
k >． 由根与系数的关系可得122
1634k
x x k
+=-+，设GH 的中点为0(x ，0)y ， 则02834k x k =-
+，00
2
6
234y kx k =+=+， ∴线段GH 的中垂线方程为：22
1
86
()3434k y x k
k k =-+
+++， 令0y =可得
2
223344k x k k k -=
=-++，即2
34m k k
=-
+． 12k >
Q
，故34k k +=…
，当且仅当34k k =
即k =时取等号，
m ∴=…，且0m <． m ∴
的取值范围是[0)．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
()0,1A .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M.直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）点M 在以OD 为直径的圆上
【解析】 【分析】
（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆C 的标准方程； （2）设点0(P x ，0)y ，则0
(
2
x M ，0)y ，求出直线AM 的方程，进而求出点N 的坐标，再利用中点坐标公式得到点D 的坐标，下面结合点P 在椭圆C 上证出0OM DM →
→
⋅=，所以点M 在以OD 为直径的圆上． 【详解】
（1
）由题意可知，2221
b c
a a
b c
=⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩，
∴椭圆C 的标准方程为：2214
x y +=. （2）设点0(P x ，0)y ，则0
(
2
x M ，0)y ， ∴直线AM 的斜率为0000
12(1)
02
y y x x --=
-， ∴直线AM 的方程为：002(1)
1y y x x -=
+， 令1y =-得，0
1x x y =
-， ∴点N 的坐标为0
(1x y -，1)-， ∴点D 的坐标为0
0(
2(1)
x y -，1)-，
∴0(2
x OM DM →
→
⋅=，222
0000000000)(,1)22(1)444x x x x y y y y y y ⋅-
+=+-+--， 又Q 点0(P x ，0)y 在椭圆C 上，
∴2
20014
x y +=，220044x y =-，
∴2000004(1)
11(1)04(1)
y OM DM y y y y →
→
-⋅=-
+=-++=-， ∴点M 在以OD 为直径的圆上．
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题． 22．设函数()()2
2f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈
(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()
22f ，处切线的倾斜角为
4
π
，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1
e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2
f x e >-. 【答案】 (Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】
(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4
f π
==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x
--=
=，故0
2a x
=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，
()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.
【详解】
(Ⅰ)()()2
ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22a
f x x a x
=
+-+， ()()'42tan 124
2a f a π
=
+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a a
f x x a x x
--=
+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000
'220a
f x x a x =
+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，
故()()()()02
2
0000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==
200002ln 2x x x x =--，
设()2
2ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-， 设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x
=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减.
()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.
【点睛】
本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.
23．已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++>的图象在1x =-处的切线方程为0y =.
（1）求常数,a b 的值；
（2）若方程()f x c =在区间[4,1]-上有两个不同的实根，求实数c 的值.
【答案】（1）29
a b =⎧⎨
=⎩；（2）0c =或4c =. 【解析】
【分析】 （1）求出()f x '，由(1)0,(1)0f f '-=-=，建立,a b 方程求解，即可求出结论；
（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在[4,1]-的图象，即可求解.
【详解】
（1）2()36'=++f x x ax b ，由题意知
2(1)0360(1)0
130f a b f a b a ⎧-=-+=⎧⇒⎨⎨-=-+-+=⎩'⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩（舍去）或29a b =⎧⎨=⎩
. （2）当2,9a b ==时，2()31293(3)(1)'=++=++f x x x x x
故方程()0f x '=有根，根为3x =-或1x =-，
由表可见，当1x =-时，()f x 有极小值0.
由上表可知()f x 的减函数区间为(3,1)--，
递增区间为(,3)-∞-，(1,)-+∞.
因为(4)0,(3)4,(1)0,(0)4-=-=-==f f f f ，
(1)20=f .由数形结合可得0c =或4c =.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.。