江苏省蒋垛中学高三数学第三次模拟试题苏教版必修一

江苏省蒋垛中学高三数学第三次模拟试题
参考公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ
一：填空题（每题5分，共70分） 1、复数i
i
z --=
121
的虚部为 . 2、已知直线l ⊥平面α，直线⊂m 平面β，有下面四个命题：
（1）α∥β⇒l ⊥m （2）α⊥β⇒l ∥m （3）l ∥m ⇒α⊥β（4）l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是 。

3、0
tan 20cos10tan 20240cos -= . 4、已知函数2
(3)log f x =(5)f 的值是 . 5、下图是一个几何体的俯视图以及主视图和左视图的直观图，则这个几何体的全面积为
6、已知实数x , y
满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），则|21|i z +-的最
大值是 ，最小值是 。

,
7、三个实数a ,b ,c 成等比数列，若有a +b +c =1成立，则b 的取值范围是 。

8、条件p : (x – a )2≤1, q : 2≤x ≤5，若p 为q 的充分条件，则a 的取值范围是_______. 9、如图是一个边长为4的正方形及其内切圆．若随机向正方形 内丢一粒豆子，假设豆子不落在线上，则豆子落入圆内的概率 是 。

俯视图
10、图l 是某县参加2007年高考的
学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为1A 、2A 、…、m A (如2A 表示身高(单位：cm )在[150， 155)内的学生人数)．图2是统计 图l 中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计
身高在160～180cm (含160cm ，不含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 。

11、若,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则222()a b a b x y x y
++≥+，当且仅当a b
x y =时上
式取等号. 利用以上结论，可以得到函数29()12f x x x =
+
-（1
(0,)2
x ∈）的最小值为 ，取最小值时x 的值为 ．
12、已知：1=1，1– 4 = – (1 + 2), 1– 4 + 9 =(1 + 2 + 3), 1 – 4 + 9 – 16 = – (1 + 2 + 3 + 4)，……， 则推广到第n 个等式应该为 。

13、已知圆22(2)9x y -+=和直线y kx =交于A,B 两点,O 是坐标原点, 若2OA OB O +=, 则||AB = . 14、给出以下四个命题：
①已知命题:,tan 2p x R x ∃∈=；命题2:,10q x R x x ∀∈-+≥.则命题p 和q 都是真命题； ②过点(1,2)-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是10x y +-=； ③函数()ln 21f x x x =+-在定义域内有且只有一个零点； ④先将函数sin(2)3
y x π
=-
的图像向左平移
6
π
个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图像的函数解析式为sin y x =．
其中正确命题的序号为 ．（把你认为正确的命题序号都填上）
二：解答题（共6大题，共计90分）
15、（本题满分14分）
某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查,得到的统计数据如下表所示:
(Ⅰ)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (Ⅱ)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理由. 16、（本题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面
ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，N 是PB 中点，截面DAN 交PC 于M ．
（Ⅰ）求证：//AD MN ；
（Ⅱ）求证：PB ⊥平面ADMN ； （Ⅲ）求三棱锥P BCD -的体积． 17、（本题满分14分） 已知圆C 方程为：2
2
4x y +=.
（Ⅰ）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B
两点，若||AB =l 的方程; （Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量
OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
18、（本题满分16分） 设函数()ln .f x x =
（I ）证明函数2(1)
()()1
x g x f x x -=-+在(1,)x ∈+∞上是单调增函数； （II ）若不等式21221()22x
x f e m bm --≤+--，当[1,1]b ∈-时恒成立，求实数m 的取值
范围． 19、（本题满分16分）
A
C
B
D
M
N P
某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，每一批产品A 上市销售40天内全部
售完，该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其图一中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图二中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系，图三中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系，（国内外市场相同）
（Ⅰ）分别写出国内市场的日销售量)(t f ，国外市场的日销售量)(t g ，每件产品的销利润
)(t q 与第一批产品的上市时间t 的函数关系式.
（Ⅱ）第一批产品上市后，问哪一天这家公司的日销售量利润最大？最大是多少万元？ 20、（本题满分16分） 已知点P 在曲线)1(1
:>=
x x
y C 上，曲线C 在点P 处的切线与函数)0(>=k kx y 的图象交于点A ，与x 轴交于点B ，设点P 的横坐标为t ，点A ，B 的横坐标分别为 B A x x ,，记B A x x t f ⋅=)( (Ⅰ)求)(t f 的解析式
(Ⅱ)设数列),1}({N n n a n ∈≥满足)2)((,111≥==-n a f a a n n ， 求数列}{n a 的通项公式
(Ⅲ)在Ⅱ）的条件下，当31<<k 时，证明不等式k
k
n a a a n 8321->
+⋯++.
加试部分
一 、必做题（每题10分）
1. 某校从4名男教师和2名女教师中任选3人参加全县教育系统举行的“八荣八耻”教育演讲赛。

如果设随机变量ξ表示所选3人中女教师的人数。

求：
(1) ξ的分布列；(2) ξ的数学期望；(3) “所选3人中女教师人数1ξ≥”的概率。

2.如图，正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点，试用空间向量知识解下列问题：
（1）求证⊥1AB 面BD A 1；（2）求二面角B D A A --1的大小。

二、自选题：下列四道题中任选两道作答，若多于两题，则按前两题计算得分。

（每题10
分）
３.如图，圆O 的直径6=AB ,C 为圆周上一点，3=BC ,过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD,AD 分段别与直线l 、圆交于点D 、E 。

求DAC ∠的度数与线段AE 的长。

４.试从几何变换角度求解矩阵AB 的逆矩阵： ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=1 00 1A ,⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=0
11 0B .
５．建立极坐标系证明：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。

已知f (x )
定义在区间[－1，1]上,设x 1 ,x 2∈[－1，1]且x 1≠x 2． (1)求证: |f (x 1) – f (x 2)|≤|x 1 – x 2|; (2)若a 2 + b 2 = 1，求证：f (a ) – f (b )
江苏省蒋垛中学高三数学第三次模拟试题参考答案
一：填空题
1、21-
2、（1）、（3）
3、2
4、32
5、66π
6、2
2,262 7、)0,1[-∪]31,0( 8、[3, 4] 9、4π 10、7≤i 11、25；1
5
12、1 – 4 + 9 –…+(–1 )n + 1 n 2=(–1 )n + 1(1 + 2 + 3 + 4 +…+ n ) 13
、2
14、①③④
二：解答题 15、解:(Ⅰ)50
19
,2512502421===
P P …………7分 (Ⅱ)根据828.10538.1125
252624)761918(50))()()(()(2
22
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n χ
所以,我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系.…7分
16、证明（Ⅰ）∵//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，⊄AD 平面PBC ，∴//AD 平面PBC ， ∵AD ⊂平面ADMN ， 平面ADMN 平面PBC MN =，∴//AD MN ．……5分 （Ⅱ）取AD 的中点E ，连结PE ，BE ，BD ， ∵PAD ∆和BAD ∆都是正三角形， ∴AD PE ⊥，AD BE ⊥，又PE AE E =， ∴AD ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴PB
AD ⊥， ∵AP AD AB ==，N 是PB 中点，∴PB AN ⊥， 又AD AN A =，∴PB ⊥平面ADMN ．……10分
解（Ⅲ）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，
侧面PAD 底面ABCD AD =， PE AD ⊥ ∴PE ⊥底面ABCD ．
∵PAD ∆是边长为2的正三角形， ∴2PE ==
∵BCD ∆是边长为2的正三角形， ∴22BCD S ∆=
=
∴三棱锥P BCD -的体积11133
BCD S PE ∆=⋅⋅==． …………14分
17、解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，
l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()
3,1-，其距离为32 满足题意 …………1分
②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx
设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ………………3分
∴1
|
2|12++-=
k k ，3
4k =
，故所求直线方程为3450x y -+=
综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………7分 （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y …9分
A C
B D M
N P
E
∵OQ OM ON =+，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，
2
0y
y =
…………11分 又∵420
20
=+y x ，∴2
2
4(0)4y x y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是
22
1(0)416
x y y +=≠， …………13分 轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去短轴端点。

…………14分
18、（I ）2
22
12(1)2(1)(1)()(1)(1)
x x x g x x x x x +---'=-=++， …………3分 当1x >时，()0,()g x g x '>∴在(1,)x ∈+∞上是单调增函数． …………6分
（II ）
1212()ln 12x x f e e x --==-， …………8分
∴原不等式即为22221(1)m bm x --≥--在[1,1]b ∈-时恒成立． …………10分 21(1)x --的最大值为1，2230m bm ∴--≥在[1,1]b ∈-时恒成立． …………12分
令2()23Q b m bm =--，则(1)0Q -≥，且(1)0.Q ≥ …………13分 由2(1)0,230Q m m -≥+-≥，解得1m ≥或 3.m ≤- …………14分 由2(1)0,230Q m m ≥--≥，解得3m ≥或 1.m ≤- …………15分 ∴综上得，3m ≥或 3.m ≤- …………16分
19、解：（Ⅰ）⎩⎨
⎧≤<+-≤≤=)4030(240
6)
300(2)(t t t t t f …………2分 t t t g 620
3)(2
+-= )400(≥≤t ……………………4分
⎩⎨
⎧≤<≤≤)
4030(60
)
200(3)(t t t t q N t ∈ ……………………6分
（Ⅱ）日销售利润)]()()[()(t g t f t q t h +=
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+-≤≤+-=)4030(144009)3020(4809)200(209222
t t t t t t t
t ………………10分 ①当020
)
482027()(,200≥⨯+-=
'≤≤t t t h t 时
]20,0[)(在区间t h 上递增，6000)20()(max ==∴h t h ……………………12分
②当3020≤<t ，6400)3
80(9)(2
+--=t t h
6399)27()(,27max ===∴h t h t 时当 ……………………14分
③当6300)30()(,4030=<≤<h t h t 时
综上6399)27()(max ==h t h ………………15分 答：即第一批产品A 上市后，这家公司的日销售利润在第27天最大，最大值为6399
万元。

………………16分
20、解：（Ⅰ）()2
1
'f x x =-
............................................................................................ 1分 切线方程为()22112x
y x t y t t t t
-=--⇒=- ................................................................ 2分
与y kx =联立得：221
A t
x kt =+ ........................................................................................ 3分
令y ＝0得：2B x t = ........................................................................................................... 4分
()2241
t f t kt ∴=+（0,1k t >>） ..................................................................................... 5分
（Ⅱ）由n a f =得：1
141
n n n a a ka --=+ ................................................................... 6分
两边取倒数得：
111144n n k a a -=+⋅
1111343n n k k a a -⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭
.................................. 7分 13n k a ⎧⎫
∴-⎨⎬⎩⎭
是以13k -为首项，14为公比的等比数列（3k ≠时）
或是各项为0的常数列（k ＝3时），此时1n a = ............................................................. 9分
3k ≠时1111334
n n k k a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，11
3443n n n a k k --⋅=⋅+- 当k ＝3时也符合上式1
13443n n n a k k
--⋅∴=⋅+- ................................................................... 10分
（Ⅲ）作差得：1212383338n n n k a a a a a a k k k k -⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++⋯+-
=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 其中)
34(9
33344331
11k k k k k k k k a n n n n -+⋅-=--+⋅⋅=---- 由于31<<k ，399
30,30k k k k
-∴=-<-> 1121339391391(43)44n n n n k k k a k k k k k k k ------∴-=>⋅=⋅⋅+-⋅ …………13分
1221333391118184164n n k a a a k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-+=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ ()()()()222222
11434341233918412481881414
n
n k k k k k k k k k k k k ----+-+-⎛⎫=⋅+=⋅-+>+== ⎪⎝⎭-当31<<k 时
()()
2
41230k k k -+>，所以：原式得证 …………16分。

加试部分
1. 解析: (1) 易知ξ可能取的值为2,1,0．324
3
6
.(),0,1,2.k k C C P k k C ξ-=== 所以，ξ的分布列为
(2) ξ的数学期望为：131
0121555
E ξ=⨯
+⨯+⨯= ； ………………………8分 (3) “所选3人中女教师人数1ξ≥”的概率为：
4
(1)(1)(2)5
P P P ξξξ≥==+== 。

………………………10分
2. 解：取BC 中点O ，连AO ，∵ABC ∆为正三角形，∴BC AO ⊥， ∵在正三棱柱111C B A ABC -中， 平面ABC ⊥平面11B BCC , ∴⊥AD 平面11B BCC ，
取11C B 中点为1O ,以O 为原点，
,1OO ,的方向为,x y ，z 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则),0,1,1(),0,0,1(-D B
)3,2,0(1A ，)0,2,1(),3,0,0(1B A .
∴),0,1,2(),3,2,1(1-=BD AB )3,2,1
(1-= ∵00221=++-=⋅AB ,034111=-+-=⋅BA AB 。

∴BD AB ⊥1，11BA AB ⊥,∴⊥1AB 面BD A 1。

……………………5分 （2）设平面AD A 1的法向量为),,(z y x =,)0,2,0(),3,1,1(1AA --=。

1,AA ⊥⊥，∴⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
1AA n AD n ，∴⎩⎨⎧==-+-0203y z y x ，⇒⎩⎨⎧-==z x y 30， 令1=z ，得)1,0,3(-=n 为平面AD A 1的一个法向量，由（1
）知⊥1AB 面BD A 1，
∴1AB 为平面AD A 1的法向量，
4
62
2233,cos 1-
=⨯--=
<AB ， ∴二面角B D A A --1的大小为4
6
arccos。

…………………10分
二、自选题：下列四道题中任选两道作答，若多于两题，则按前两题计算得分。

（每题10
………………………6分
分）
3.解：如图，连结OC ，因3===OC OB BC ,
因此060=∠CBO ,由于CBO DCA ∠=∠,
所以060=∠DCA ，又DC AD ⊥得030=∠DAC ;……5分
又因为090=∠ACB ,得030=∠CAB ,那么0
90=∠EAB , 从而0
30=∠ABE ，于是32
1==AB AE 。

…………10分 4.解：矩阵A 对应的变换为：以x 轴为反射轴，作反射变换， 其逆变换为其自身，故⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-1 00 11A ，…………3分 矩阵B 对应的变换为：绕原点逆时针旋转090作旋转变换，其逆变换为绕原点顺时针旋转
090作旋转变换，故⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-0 11 0 1
B .…………6分 因此111)(---=A B AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0 11 0 1 00 1 0 11 0 …………10分 5．证 建立如图所示的极坐标系， 设抛物线的极坐标方程为1cos p ρθ
=
-。

…………3分 PQ 是抛物线的弦，若点P 的极角为θ，
则点Q 的极角为πθ+。

因此有:
1cos p FP θ=-，1cos()1cos p p FQ πθθ
==-++。

7分 所以，111cos 1cos 2FP FQ p p p
θθ-++=+=（常数）。

…………10分 6、证（1
）12|()()|f x f x -= ∵1212||||||x x x x +≤+
12||||x x >+，
∴|f (x 1) – f (x 2)|≤|x 1 – x 2| …………5分
（2
）()()f a f b +=
∵22222](11)++≥ 221a b +=，
∴f (a ) – f (b )
…………10分。