2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课时分层作业：2.5.2圆与圆的位置关系

课时分层作业(十九）
(建议用时：40分钟）
一、选择题
1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有（) A．1条B．2条
C．3条D．4条
D[x2－4x＋y2＝0⇒(x－2）2＋y2＝22，圆心坐标为（2,0）,半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒（x＋2）2＋y2＝12,圆心坐标为（－2，0),半径为1,
圆心距为4,两圆半径和为3,因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.]
2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a〉0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是2错误!，则圆M与圆N:(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切B．相交
C．外切D．相离
得两交点为(0，0），（－B［法一：由｛x2＋y2－2ay＝0，
x＋y＝0
a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2错误!，
∴错误!＝2错误!。

又a〉0,∴a＝2。

∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0,即x2＋（y－2）2＝4,圆心M(0，
2），半径r1＝2。

又圆N：(x－1）2＋（y－1）2＝1,圆心N(1，1），半径r2＝1，∴｜MN｜＝0－12＋2－12＝错误!.
∵r1－r2＝1,r1＋r2＝3，1<|MN｜<3,∴两圆相交．
法二:∵x2＋y2－2ay＝0（a〉0）⇔x2＋（y－a）2＝a2(a〉0），∴M(0，a），r1＝a.
依题意,有错误!＝错误!,解得a＝2。

以下同法一．］
3．已知半径为1的动圆与定圆（x－5)2＋（y＋7）2＝16相切,则动圆圆心的轨迹方程是（)
A．(x－5）2＋（y＋7)2＝25
B．（x－5）2＋（y＋7)2＝17或（x－5）2＋（y＋7）2＝15
C．(x－5）2＋（y＋7）2＝9
D．(x－5)2＋（y＋7）2＝25或（x－5）2＋（y＋7)2＝9
D[动圆可能在定圆的外部,也可能在定圆的内部，根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x－5）2＋(y＋7）2＝16的同心圆,半径分别为3和5，故应选D。

］
4．已知⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2（a＞0）相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且|AB|＝4，则⊙O1的方程为（）
A．（x－4）2＋y2＝20 B．（x－4)2＋y2＝50
C．(x－5)2＋y2＝20 D．(x－5)2＋y2＝50
C［根据题意，⊙O的圆心O为(0,0），半径为错误!。

⊙O1的圆心O1(a,0)，半径为r.
∵⊙O与⊙O1相交于A,B两点，且两圆在A点处的切线互相垂直，∴(错误!）2＋r2＝a2。

①
又由｜AB|＝4,则错误!×错误!×｜OO1｜＝错误!×错误!×r，
即｜a｜＝错误!r。

②
由①②得5＋r2＝错误!，解得r2＝20，a＝5.故⊙O1的方程为（x－5）2＋y2＝20.］
5．圆（x－2）2＋y2＝4与圆x2＋（y－2）2＝4的公共弦所对的圆心角是（）
A．60°B．45°
C．120°D．90°
D[圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为（2，0），半径为r＝2。

圆x2＋（y－2)2＝4的圆心为（0，2)，半径为r＝2。

圆心距为d＝22＋22＝2错误!，弦心距d′＝错误!＝错误!。

设公共弦所对的圆心角是2θ,则
cos θ＝错误!＝错误!，∴θ＝45°，∴2θ＝90°.故选D。

]
二、填空题
6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
a2＋b2＞3＋2错误![由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0），2和(0，b），1，因为两圆外离，所以错误!＞错误!＋1，即a2＋b2＞3＋2错误!。

]
7．已知两圆(x＋2)2＋（y－2）2＝4和x2＋y2＝4相交于M，N两
点,则｜MN |＝________. 2 2 ［由题意可知直线MN 方程为：（x ＋2）2＋（y －2)2－x 2－y 2＝0，即MN :x －y ＋2＝0.圆x 2＋y 2＝4的圆心为（0,0)，半径为2
则圆心（0,0)到x －y ＋2＝0的距离d ＝错误!＝错误!。

所以|MN ｜＝2r 2－d 2＝2×错误!＝2错误!.］
8．过原点O 作圆x 2＋y 2－4x －8y ＋16＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则直线PQ 的方程为________．
x ＋2y －8＝0 [把圆的方程化成标准方程（x －2)2＋(y －4）2＝4 ∴圆心为（2,4），半径为2。

圆心到原点的距离为错误!＝2错误!.∴切线长为错误!＝4,∴P ，Q 在以（0,0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x 2＋y 2＝16.
由错误!
得x ＋2y －8＝0。

这就是PQ 所在直线的方程．］
三、解答题
9．求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2:x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：（x －1）2＋（y －1)2＝错误!所截得的弦长.
[解］ 设两圆的交点坐标分别为A （x 1，y 1），B (x 2,y 2)，
则A ,B 的坐标是方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0。

因为A ，B 两点的坐标满足x ＋y －1＝0，
所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，
即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0,
圆C3的圆心为(1，1)，其到直线AB的距离d＝1
2
，由条件知r2
－d2＝错误!－错误!＝错误!，
所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×错误!＝错误!.
10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．
［解］由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0。

∵圆C1：（x＋2）2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋（y＋1）2＝1，
圆心C1(－2,0),C2（－1，－1），
∴两圆连心线所在直线的方程为错误!＝错误!，
即x＋y＋2＝0.
过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆．由错误!得所求圆的圆心为(－1，－1）．
又圆心C1（－2,0）到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝错误!＝错误!,
∴所求圆的半径r＝错误!＝1，
∴所求圆的方程为（x＋1）2＋(y＋1)2＝1。

11．(多选题)已知直线y＝x＋b与曲线y＝3－错误!，下列说法正确的是（）
A．b＝1±22时，直线与曲线有且仅有一个交点
B．－1＜b≤3时，直线与曲线有且仅有一个交点
C．1－22＜b≤－1时，直线与曲线有两个交点
D．b＞3或b＜1－2错误!时,直线与曲线没有交点
BCD［把y＝3－4x－x2化成为(x－2）2＋（y－3）2＝4,因为0≤x≤4，y≤3，所以曲线表示圆的下半部分，如图,C（2，3），A（0，3)，B(4，3）．
当y＝x＋b过A时，b＝3,直线与曲线有且仅有一个交点，当y＝x＋b过B时，b＝－1，这时直线与曲线有两个交点,当y＝x＋b与曲线相切时，错误!＝2，解得b＝1－2错误!（b＝1＋2错误!舍去）．∴当b＞3或b＜1－2错误!时，直线与曲线无交点；当－1＜b≤3或b＝1－22时，直线与曲线有且仅有一个交点；当1－2错误!＜b≤－1时，直线与曲线有两个交点，故选BCD。

]
12．一辆卡车宽1。

6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A．1。

4米B．3.5米
C．3。

6米D．2米
B［建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h,则A（0.8，h－3.6）所在圆的方程为：x2＋（y＋3。

6)2＝3.62，把A（0。

8，h－3。

6）代入得0.82＋h2＝3.62.
∴h＝4错误!≈3。

5（米)．]
13．(一题两空）若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1:（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则实数m＝________,线段AB的长度为________．
±5 4 ［如图所示，在Rt△OO1A中，
由已知条件知|OA|＝错误!，|O1A|＝2错误!，∴|OO1｜＝错误!＝5，所以当圆O1在y轴右侧时,m＝5，
当圆O1在y轴左侧时,m＝－5.∴m＝±5.
又AB⊥OO1，∴AC＝错误!＝2.故|AB｜＝4.］
14．若圆C1:x2＋y2＝4和圆C2:x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l 对称，则直线l的方程为________．
x－y＋2＝0 [圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即（x＋2）2＋（y－2)2＝4为等圆，所以直线l是C1C2的中垂线,由C1(0,0)，C2（－2,2)知k C
C2＝－1，且C1C2的中点坐标为（－1,1），
1
∴k l＝1，所求l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.]
15。

如图，圆C：x2－(1＋a）x＋y2－ay＋a＝0。

(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
（2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M,N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于两点A,B.问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM?若存在，求出实数a的值,若不存在，请说明理由．
［解] (1）由题意得错误!
得x2－(1＋a)x＋a＝0，
由题意得Δ＝（1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，所以a＝1。

故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0.
(2）令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，即（x－1）(x－a)＝0，所以M(1,0)，N(a，0）,假设存在实数a，
当直线AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y＝k(x－1），
代入x2＋y2＝4得,(1＋k2）x2－2k2x＋k2－4＝0，
设A(x1，y1)，B（x2，y2），从而x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.
因为直线NA，NB的斜率之和为错误!＋错误!
＝错误!
而（x1－1)(x2－a）＋（x2－1)（x1－a)
＝2x1x2－(a＋1)（x2＋x1）＋2a
＝2错误!－（a＋1）错误!＋2a
＝错误!，
因为∠ANM＝∠BNM，所以错误!＋错误!＝0,
即错误!＝0，得a＝4.
当直线AB与x轴垂直时,也成立．
故存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM.
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。

祝：学子考试顺利，学业有成。