2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件2.5.2圆的一般方程

D.(0,1)
解析 由方程x2+y2-2y+m2-m+1=0表示圆,则(-2)2-4(m2-m+1)>0,解得0<m<1.
所以实数m的取值范围为(0,1).故选D.
(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标
(-2,-4)
是
,半径是 5
.
解析 由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.
= -6,
4 + 3 + + 25 = 0,
所以 5 + 2 + + 29 = 0,解得 = -2,
+ + 1 = 0,
= 5,
故所求圆的方程是 x2+y2-6x-2y+5=0.
1 2 3 4 5 6
即所求圆的一般方程是 x2+y2-4x-4y-2=0.

- 2 ,- 2
,
本节要点归纳
1.知识清单:
圆的一般方程的性质
2.方法归纳:将圆的一般方程利用配方法化为标准方程后求圆心与半径,利
用定义法结合D2+E2-4F>0判断是否表示圆,待定系数法求圆的一般方程.
3.注意事项:求解二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的问题
实数a的取值范围是 (-∞,-6)∪(4,+∞)
.
解析 由题意得a2+(a+2)2-4×13>0,解得a>4或a<-6.
1 2 3 4 5 6
5.若方程x2+2x+m=-y2+4y(m∈R)表示圆,则圆心坐标为
的取值范围是
(-∞,5)
(-1,2)
,实数m
.
解析 将方程x2+2x+m=-y2+4y(m∈R)配方,得(x+1)2+(y-2)2=5-m.若方程表
没有xy项
名师点睛
1.圆的一般方程表现出明显的代数结构形式,其方程是一种特殊的二元二
次方程,圆心和半径长需要代数运算才能得出,且圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:
(1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
22 + 22 + 2 + 2 + = 0,
= -8,
由题意,得 52 + 32 + 5 + 3 + = 0,解得 = -2,
32 + (-1)2 + 3- + = 0,
= 12.
即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
(2)由(1)知,△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0,∵点M(a,2)在
△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.
规律方法 待定系数法求圆的两种方程的解题策略
已知条件
圆心坐标、半径或需利用圆
心的坐标或半径列方程
已知条件与圆心和半径都无
直接关系
方程形式
标准方程
一般方程
方程的量
待定系数法求出a,b,r
待定系数法求出常数
3.已知圆x2+y2+x+4y-m=0的半径为
A.1
B.2
C.-4
解析 由 x +y +x+4y-m=0 得 +
2
2
m=-4.故选 C.
1 2 3 4 5 6
1
2
,则m的值为( C )
D.8
1 2
1
1
2
+(y+2பைடு நூலகம் =m+4+ ,∴m+4+
2
4
4
=
1
,解得
4
4.[2024甘肃临夏高二期中]若曲线C:x2+y2+ax+(a+2)y+13=0是一个圆,则
表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.
2.点与圆的一般方程之间的关系
点 P(x0,y0)与圆
点 P(x0,y0)在圆上
C:x2+y2+Dx+Ey+ 点 P(x0,y0)在圆内
F=0(D2+E2点 P(x0,y0)在圆外
4F>0)
x02 + y02 +Dx0+Ey0+F=0
x02 + y02 +Dx0+Ey0+F<0
1 2 3 4 5 6
1
D=1,E=2,所以- 2 =-2,-2 =-1,所以圆心为
2.圆 x2+y2-2√3x+2y+1=0 的半径是( C )
A.1
B.√2
C.√3
D.2
解析 将圆的一般方程化为圆的标准方程是(x- √3)2+(y+1)2=3,半径为 √3.
故选C.
1 2 3 4 5 6
条件?
提示必要不充分条件.若方程表示圆,则应满足三个条件:①A=C≠0,②B=0,
③D2+E2-4AF>0.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 圆的一般方程的理解
【例1】 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和圆的面积;
(3)若原点在方程表示的圆外,求实数m的取值范围.
.
解析 二元二次方程 x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则
2
2
a +(2a) -4(2a
2
+a-1)>0,即(3a+2)(a-2)<0,解得-2<a<3.
2
若原点在圆 x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0 的外部,则 2a2+a-1>0,即(2a-1)(a+1)>0,
解得 a<-1 或
解得 0<m<5.故 m 的取值范
+ 5 > 0,
围为
1
0,
5
.
规律方法 1.判断形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程是否为圆的方程的方法
形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两
种方法:(1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,若成立则表示圆,否则不
1
a>2.则实数
a 的取值范围是(-2,-1)∪
1 2
,
2 3
.
探究点二 待定系数法求圆的一般方程
【例2】 已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程;
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.
解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
课标要求
1.掌握圆的一般方程,能够进行圆的一般方程与标准方程的互化;
2.了解二元二次方程表示圆的条件.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点
圆的一般方程
我们将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(
D2+E2-4F
>0)叫作圆的一般方程.
x02 + y02 +Dx0+Ey0+F>0
[提醒]求解含参数的圆的一般方程的易错点.
不要忘记x2+y2+Dx+Ey+F=0中D2+E2-4F>0的条件.
变式训练1
(1)若方程x2+y2-2y+m2-m+1=0表示圆,则实数m的取值范围为( D )
A.(-2,1)
B.
1
-1,
2
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D,E,F
变式训练2
求圆心在直线y=x上,且经过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程.
解 设圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,则圆心是
2

2
=
2

- ,
2
= -4,
由题意知, 2- + + = 0, 解得 = -4,
= -2,
10 + 3- + = 0,
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,该方程表示圆,配方可得
(x+2)2+(y+4)2=25.因此该圆的圆心坐标为(-2,-4),半径为5.
当a=2时,方程不表示圆.
(3)若原点在圆x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0的外部,则实数a的取值范围
是
(-2,-1)∪
1 2
,
2 3
示圆,则圆心坐标是(-1,2),并且5-m>0,解得m<5,即实数m的取值范围是
(-∞,5).
1 2 3 4 5 6
6.[2024甘肃武威高二期中]已知△ABC的三个顶点为A(4,3),B(5,2),C(1,0),
求△ABC外接圆的方程.
解 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为点A,B,C在所求的圆上,
分析 根据方程表示圆的条件求解.
解 (1)(方法 1)据题意知 D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即
2
2
4m +4-4m -20m>0,解得
1
m<5,故实数
m 的取值范围为
1
-∞, 5
.
(方法 2)方程 x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0 化为标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,
方程
条件
方程的解的情况 图形
D2+E2-4F<0 没有实数解
不表示任何图形
D2+E2-4F=0 只有一个实数解 表示一个点
x2+y2+Dx+Ey+
F=0
D2+E2-4F>0 无穷多个解
表示以点
为半径的圆
为圆心,以
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)方程x2+y2+2x+1=0表示圆.( × )
若要使原方程表示圆,则 1-5m>0,解得
1
m<5,故
m 的取值范围为
(2)由题可知该圆的圆心坐标为(-m,1),半径
1
r=
2
(2)2 + (-2)2 -4(2 + 5) =
2
S=π( 1-5) =(1-5m)π.
1-5.因此圆的面积为
1
-∞, 5
.
1
1-5 > 0,
(3)由于原点在方程表示的圆外,则 2
(2)当B=0时,方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0一定表示圆.( × )
(3)若D2+E2-4F>0,点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外的充要条件是
x02 + y02 +Dx0+Ey0+F>0.( √ )
2.A=C≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的什么
要注意三个条件(A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0)缺一不可.
学以致用·随堂检测促达标
1.圆的方程为x2+y2+x+2y-10=0,则圆心坐标为( D )
A.(1,-1)
C.(-1,2)
B.
1
,-1
2
D.
1
- ,-1
2
解析 由 x +y +x+2y-10=0 可知
2
1
- ,-1
2
2
.故选 D.