长宁区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

长宁区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）
A．[0，+∞）B．[0，3] C．（﹣3，0] D．（﹣3，+∞）
2．“x≠0”是“x＞0”是的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．三个实数a、b、c成等比数列，且a+b+c=6，则b的取值范围是（）
A．[﹣6，2] B．[﹣6，0）∪（0，2] C．[﹣2，0）∪（0，6] D．（0，2]
4．抛物线y=﹣8x2的准线方程是（）
A．y=B．y=2 C．x=D．y=﹣2
5．“a＞0”是“方程y2=ax表示的曲线为抛物线”的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
6．已知i是虚数单位，则复数等于（）
A．﹣+i B．﹣+i C．﹣i D．﹣i
7．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（）
A．=1.23x+4 B．=1.23x﹣0.08 C．=1.23x+0.8 D．=1.23x+0.08
8．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（）
A．B．﹣C．3 D．﹣3
9．若偶函数f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f（﹣1）＜f（lg x）的解集是（）
A．（0，10）B．（，10）C．（，+∞）D．（0，）∪（10，+∞）
10．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．有下列四个命题：
①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
12．若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0
D ．0＜a ＜1且b ＜0
二、填空题
13．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+
的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为（ ）
A ．1
B ．±1
C
D ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
14．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．
15． 设函数()x f x e =，()ln g x x m =+．有下列四个命题：
①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <；
②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2
ln 2m e <-；
③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22
e
m <
-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想. 16．函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为 2 ．
17．
17．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
18．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．
三、解答题
19．甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化•印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）： 甲 83 81 93 79 78 84 88 94 乙 87 89 89 77 74 78 88 98
（Ⅰ）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由； （Ⅱ）本次竞赛设置A 、B 两问题，规定：问题A 的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B 的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A ，B 成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I ）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．
20．（本题满分15分）
正项数列}{n a 满足12
1223+++=+n n n n a a a a ，11=a ．
（1）证明：对任意的*
N n ∈，12+≤n n a a ；
（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的*
N n ∈，32121
<≤-
-n n S ．
【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.
21．设A=2
{x|2x
+ax+2=0}，2A ∈,集合2{x |x 1}B ==
（1）求a 的值，并写出集合A 的所有子集；
（2）若集合{x |bx 1}C ==,且C B ⊆,求实数b 的值。

22．已知二阶矩阵M 有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值
﹣1的一个特征向量=， =
（Ⅰ）求矩阵M ；
（Ⅱ）求M 5．
23．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．
24．已知函数f（x）=，求不等式f（x）＜4的解集．
长宁区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，
易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
2．【答案】B
【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立．
当x＞0时，一定有x≠0成立，
∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件．
故选：B．
3．【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q，
∵a+b+c=6，
∴=6，
∴b=．
当q＞0时，=2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；
当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．
∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（0，2]．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
5．【答案】A
【解析】解：若方程y2=ax表示的曲线为抛物线，则a≠0．
∴“a＞0”是“方程y2=ax表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件．
故选A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义是解决本题的关键，比较基础．6．【答案】A
【解析】解：复数===，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），
∴5=1.23×4+a
∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．【答案】A
【解析】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3
所以幂函数解析式为y=x﹣3，由f（x）=27，得：x﹣3=27，所以x=．
故选A．
9．【答案】D
【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），
因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，
由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．
10．【答案】D
【解析】解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（0，
﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为．
故选D．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
11．【答案】B
【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，
∴根据图象的性质可得：a＞1，a0﹣b﹣1＜0，
即a＞1，b＞0，
故选：B
二、填空题
13．【答案】A
【解析】
14．【答案】．
【解析】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x＞0时有解，
所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．
15．【答案】①②④
【解析】
16．【答案】2
【解析】解：设f（x）=﹣，则f（x）为奇函数，所以函数f（x）的最大值与最小值互为相反数，
即f（x）的最大值与最小值之和为0．
将函数f（x）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的图象，所以此时函数y=1﹣（x∈R）
的最大值与最小值的和为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．
17．【答案】
【解析】解：∵f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），
∴=a x，
又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴（）′=＞0，
∴=a x是增函数，
∴a＞1，
∵+=．
∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．
综上得a=2．
∴数列{}为{2n}．
∵数列{}的前n项和大于62，
∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，
即2n+1＞64=26，
∴n+1＞6，解得n＞5．
∴n的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．18．【答案】0.9
【解析】解：由题意，=0.9，
故答案为：0.9
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为、，方差分别为、
．，
．…
，
．…
因为，，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．…
（II）记事件C表示为“甲回答问题A成功”，事件D表示为“甲回答问题B成功”，则P（C）=，P（D）=，
且事件C与事件D相互独立．…
记甲按AB顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0，100，400．
P（ξ=0）=P（）=，P（ξ=100）=P（）=，P（ξ=400）=P（CD）=．
ξ
所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望．…
记甲按BA顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0，300，400．
P（η=0）=P（）=，P（η=300）=P（）=，P（η=400）=P（DC）=，
所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望．…
因为Eξ＞Eη，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高．…
【点评】本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．
20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
21．【答案】（1）5a =-，A 的子集为：φ，12⎧⎫
⎨⎬⎩⎭，{}2，1,22
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
；（2）0或1或1-。

【解析】
试题分析：（1）由2A ∈有：2
22220a ⨯++=，解得：5a =-，此时集合{}
2
12520,22A x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭
，
所以集合A 的子集共有4个，分别为：φ，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
；（2）由题{}1,1B =-若C B ⊆，当C φ=时，0b =，当C φ≠时，{}1B =或{}1B =-，当{}1C =时，1b =，当{}1C =-时，1b =-，所以实数b
的值为1或1-。

本题考查子集的定义，求一个集合的子集时，注意不要漏掉空集。

当集合A B ⊆时，要分类讨论，分A φ=和A φ≠两类进行讨论。

考查学生分类讨论思想方法的应用。

试题解析：（1）由2A ∈有：222220a ⨯++=，解得：5a =-，
{}212520,22A x x x ⎧⎫
=-+==⎨⎬⎩⎭
所以集合A 的子集为：φ，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
（2）{}1,1B =-,由C B ⊆：当C φ=时，0b = 当C φ≠时，1b =或1b =-， 所以实数b 的值为：0或1或1- 考点：1.子集的定义；2.集合间的关系。

22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设M=
则=4
=，∴
①
又
=（﹣1）
=，∴
②
由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=；
（Ⅱ）易知
=0•+（﹣1），
∴M
5=（﹣1）6
=
．
【点评】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．
23．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过点（4，2），
∴log a 4=2，a=2，则g （x ）=log 2x ．…
∵函数y=f （x ）的图象与g （X ）的图象关于x 轴对称，
∴
．…
（Ⅱ）∵f （x ﹣1）＞f （5﹣x ），
∴
，
即，解得1＜x ＜3，
所以x 的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．
24．【答案】
【解析】解：函数f （x ）=
，不等式f （x ）＜4，
当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0；当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1．综上x∈（﹣3，0）．
不等式的解集为：（﹣3，0）．。