高考数学三轮复习 综合素质测试题七 试题

广西外国语2021届高考数学〔文〕三轮复习综合素质测试题七
班别______学号______姓名_______评价______ 〔考试时间是是120分钟，满分是150分 〕
一、选择题〔每一小题5分，一共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确〕
1.23)2
cos(
=
+ϕπ
，且||ϕ＜2
π
，那么=ϕtan 〔 〕 A. 3
3
-
B. 33
C. 3-
D. 3
2.命题“假设12<x ，那么11<<-x 〞的逆否命题是〔 〕 A.假设2x ≥1，那么x ≥1或者x ≤1-
B.假设11<<-x ，那么12<x
C.假设1>x 或者1-<x ，那么12>x
D.假设x ≥1或者x ≤1-，那
么2x ≥1
3.函数)13(log )(2+=x
x f 的值域为〔 〕
A.(0,)+∞
B.[)0,+∞
C.(1,)+∞
D.[)1,+∞
4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设等于则642,10,2S S S ==〔 〕
A.12
B.18
5．函数)0,)(4
sin()(>∈+
=ωπ
ωR x x x f 的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向
左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，那么ϕ的一个值是〔 〕
A ．
2π B ． 8
3π C ． 4π D ．8π
6．假设122
n n
n n n C x C x C x ++
+能被7整除，那么,x n 的值可能为〔 〕
A ．4,3x n ==
B ．4,4x n ==
C ．5,4x n ==
D ．6,5x n ==
7. M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出以下命题:
①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行. 其中真命题是〔 〕
A ．②③④
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③ 8.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，那么〔 〕
A. 0=+PB PA
B. 0=+PC PB
C. 0=+PA PC
D.
0=++PC PB PA
9．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，那么该棱锥的体积为〔 〕
A ．3
B ．6
C ．9
D ．18
10．假设,0,0≥≥b a 且当⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，那么以a ，b 为坐标的点P(a ，
b)所形成的平面区域的面积是〔 〕
A.
2
1
B.
4
π C.1 D.
2
π 11．函数2
()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，假设对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，那么实数m 的取值范围是〔 〕
A ． [4,4]-
B ．(4,4)-
C ． (,4)-∞
D ．(,4)-∞-
12．抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F
x 轴
上方的局部相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，那么AKF △的面积是〔 〕
Ａ．4
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．8
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上〕
13.将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆效
劳，不同的分配方案有 种〔用数字答题〕.
14．过双曲线C ：22221x y a b
-=(0,0)a b >>的一个焦点作圆222
x y a +=的两条切线，切
点分别为A 、B ，假设120AOB ∠=〔O 是坐标原点〕，那么双曲线线C 的离心率
.
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．假如正四棱柱的底面边长为
1cm ，那么该棱柱的外表积为 cm 2．
16.⊙O 的方程是2
2
20x y +-=，⊙O ’的方程是2
2
8100x y x +-+=，由动点P 向 ⊙O 和⊙O ’所引的切线长相等，那么动点P 的轨迹方程是__________________． 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明.证明过程或者演算步骤〕
17．〔此题满分是10分， 06全国Ⅱ〕三角形△ABC ，∠B=450，.5
5
2cos ,10=
=C AC 〔Ⅰ〕求BC 边的长；
〔Ⅱ〕记AB 的中点为D ，求中线CD 的长.
18. (此题满分是12分， 0918)为了理解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法
从A ，B ，C 三个区中抽取7个工厂进展调查，A ，B ，C 区中分别有18，27，18个工厂.
〔Ⅰ〕求从A ，B ，C 区中分别抽取的工厂个数；
〔Ⅱ〕假设从抽取的7个工厂中随机抽取2个进展调查结果的比照，用列举法计算这2个工厂中至少
有1个来自A 区的概率.
19.〔此题满分是12分，(09全国Ⅰ19)如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，
SD ⊥底面
ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=
〔Ⅰ〕证明：M 是侧棱SC 的中点； 〔Ⅱ〕求二面角S AM B --的大小.
S
M
20. (此题满分是12分，0820) 数列{}n a 的首项12
3a =
，121n n n
a a a +=+，1,2,3,n =…．
〔Ⅰ〕证明：数列1{1}n a -是等比数列； 〔Ⅱ〕数列{}n
n
a 的前n 项和n S ．
21. (本小题满分是12分，0821) 函数32
()2f x x mx nx =++-的图像过点），（61--，且函数()'()6g x f x x =+的图像关于y 轴对称. 〔Ⅰ〕求m ，n 的值及函数()y f x =的单调区间；
〔Ⅱ〕假设a > 0，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值.
22. ( 此题满分是12分， 07全国Ⅰ22)椭圆12
32
2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足
为P .
〔Ⅰ〕设P 点的坐标为），（00y x ，证明：2
32
020y
x +＜1.
〔Ⅱ〕求四边形ABCD 的面积的最小值.
参考答案：
一、选择题答题卡： 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
答案 C D
A
C
D
C
C
C
B
C
C
C
二、填空题
13. 90 . 14． 2 . 15
．2+cm 2． 16.32
x =
． 三、解答题
17．解：〔Ⅰ〕5
5
cos 1sin ,10,452
=
-==︒=C C b B ，由正弦定理得22
255
10sin sin =⨯==
B
C
b c ，
由余弦定理得B ac c a b cos 22
22-+=，即06222
=--a a ，
解得23=a ，或者2-=a 〔舍〕.所以BC 边的长为23. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，c BD 2
1
=
，在△BCD 中，由余弦定理得 13cos 2
1
2)21(222=⋅-+=B c a c a CD ，13=∴CD .
所以中线CD 的长13.
18.解：〔Ⅰ〕工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为9
1
637=，所以从A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.
〔Ⅱ〕设21,A A 为在A 区中抽得的2个工厂，321,,B B B 为在B 区中抽得的3个工厂，
21,C C 为在C 区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：
27C 种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A 区的结果有),(21A A ，
),(21B A ),(11B A ),(31B A ),(21C A ),(11C A ,同理2
A 21
11
112
7=C . 答：〔Ⅰ〕从A ，B ，C 区中分别抽取的工厂个数分别为2，3，2；〔Ⅱ〕这2个工厂中至少
B C
D
A
有1个来自A 区的概率为
21
11. 19. 〔Ⅰ〕证明：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如下图的直角坐标系D-xyz
设A
，那么2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C S .
〔Ⅰ〕设(0)SM MC λλ=〉，点M 的坐标为),,(z y x ，由⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
+=++=+=++==++=λλλλλλλλλ12112101212121z z z y y y x x x 得
2222
(0,
,),,)1111M MB λλλλλ
-=++++. 又︒>=<=60,),0,2,0(AB MB AB , 故.60cos ||||︒⋅⋅=⋅AB MB AB MB
即
41λ=+解得1λ=，即MC SM =. 所以M 为侧棱SC 的中点.
〔Ⅱ〕由(0,1,1),M A ，得AM
的中点11(
,)222
G . 又)1,1,2(),1,1,0(),2
1
,23,22(
-=-=-=AM MS GB ，0,0=⋅=⋅AM MS AM GB ， 所以,GB AM MS AM ⊥⊥.
因此><MS GB ,等于二面角S AM B --的平面角.
.3
62
32|
|||,cos -
=⨯-=
⋅>=
<MS GB MS GB 所以二面角S AM B --的大小为3
6arccos
-π. 20. 解：〔Ⅰ〕∵121n n n a a a +=
+，∴
111
111222n n n n
a a a a ++==+⋅，
∴
11111(1)2n n a a +-=-，又12
3
a =，∴11112a -=， ∴数列1{
1}n a -是以为12首项，1
2
为公比的等比数列． 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知
1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112
n n a =+，∴2n n n n
n a =+． 设23123222n T =+++…2n n
+， ① 那么23112222n T =++ (1122)
n n n n
+-++，②
由①-②得
2111222n T =++ (111)
11
(1)
1122112222212
n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴ 11222n n n n T -=--．又123+++ (1)
2
n n n ++=．
∴数列{}n n
a 的前n 项和 22(1)4222222
n n n n n n n n n S +++++=-+
==． 21.解：〔Ⅰ〕由函数)(x f 图像过），（61--，得.3-=-n m …………① 由3
2
()2f x x mx nx =++-得2
'()32f x x mx n =++.
所以.)62(36)()(2
'n x m x x x f x g +++=+=
因为)(x g 图像关于y 轴对称，所以)(x g 是偶函数，从而.3-=m 代入①得.0=n
于是).2(363)(,23)(2
'23-=-=--=x x x x x f x x x f
由)('x f ＞0得x>2或者x <0；由)('
x f ＜0得0 < x < 2,
故f (x )的单调递增区间是），（0∞-，），（∞+2；单调递减区间是）
，（20. (Ⅱ)由0)2(363)(2
'=-=-=x x x x x f 得.20==x x 或
当x 变化时，f′(x )、f (x )的变化情况如下表：
由此可得：
当0<a <1时，)(x f 在），（11+-a a 内有极大值2)0(-=f ，无极小值； 当a =1时，)(x f 在）
，（11+-a a 内无极值； 当1<a <3时，)(x f 在），（11+-a a 内有极小值6)2(-=f ，无极大值； 当a ≥3时，)(x f 在）
，（11+-a a 内无极值. 综上得：当0< a <1时，)(x f 有极大值－2，无极小值，当1< a <3时，)(x f 有极小值－6，无极大值；当a=1或者a ≥ 3时，)(x f 无极值.
22.〔Ⅰ〕证明：在12
322=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，
.1||2
1||21===
∴c F F OP 得.12
020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.
显然，圆12
2
=+y x 在椭圆12
32
2=+y x 的内部. 故2
32
020y
x +＜1.
〔Ⅱ〕解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角2
π
α+
.
通径33422==a b H ，离心率3
3
=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是
创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日 创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日 .sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222απαα
α-=+-=-=-=
）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积
.2sin 2496sin 334cos 33421||||2
1222αα
α+=-⋅-⋅=⋅=
AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα .
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S . 故四边形ABCD 面积的最小值为
25
96.。