吉林省名校2019年高考一模数学文科试题解析卷

k,
的关系式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
x 14.已知函数 f ( x) 满足 f
2
x3 3x ，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 ______．
【答案】 18x y 16 0
【解析】 【分析】
先求得 f(x) 及 f(1), 再求导求得 f ' 1 即为切线的斜率，最后利用点斜式写出曲线在点
B. 3 2
C. 3 或 2 3
D. 3 3 或 3 4
【详解】 由题可知 2sinAsinB 3sinAcosC 3sinC cosA ， 2sinAsinB
A
2
或
. 因为 AD
1 AB
2
AC ，所以 AD
1 AB
2
AC ，即
33
2
4
3sin B ，则 sinA
3， 2
6
2
ADБайду номын сангаас
1 b2
c2
2bccosA ，当 A
2
2
的 整理得： m
3
本题正确结果：
3
【点睛】 本题考查的知识要点：两角和差余弦公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 ．
16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为
______．
【答案】 20
【解析】 【分析】
由几何体的直观图为三棱锥 A BCD ，其中 ABD 的外接圆的圆心为 F ， BCD 的外接圆的圆心为 E ， A BCD 的球心为 O ，球的半径为 R ，且 OE 平面 BCD ， OF 平面 ABD ，在 ABD 和 BCD
15.已知 sin10 mcos10 2cos40 ，则 m ______．
【答案】 3
【解析】 【分析】 利用两角和差余弦公式
展开，利用对应关系求出 m 的值即可．
【详解】 由 sin10 mcos10 2cos40 得：
sin10 m cos10 2cos 10 30
3
1
2 cos10 sin10
x2 y2 3.已知曲线 a2 b2 1 （ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线经过点
( 2, 6) ，则该双曲线的离心率为（
）
A. 2
B. 2
C. 3
【答案】 A
D. 3
1
【解析】
【分析】
将点 2, 6 代入双曲线的渐近线方程，由此求得
b
的值，进而求得双曲线的离心率 .
a
【详解】 双曲线的一条渐近线方程为
【分析】
根据集合的交集的运算，求得 A B 1,0,1 ，即可得到答案。
【详解】 由题意，可得集合 A { x | 2 x 2} ， B 1,0,1,2,3 ，则 A B 1,0,1 ，故选 B。
【点睛】 本题主要考查了集合的运算，以及构成集合的元素的个数的判定，其中解答中熟记集合的交集的
运算，得到集合 A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
吉林省名校 2019年高考一模
数学文科试题解析卷
一、选择题。
1.设复数 z (5 i )(1 i ) （ i 为虚数单位），则 z 的虚部是（ ）
A. 4i
B. 4
C. 4i
【答案】 D
【分析】
由复数 z 5 i 1 i 6 4i ，即可得到复数的虚部，得到答案。
D. -4
【详解】 由题意，复数 z 5 i 1 i 5 5i i i 2 6 4i ，所以复数 z 的虚部为 4，故选 D 。
B. - 1或７
C. 1或-7
D. 2
将 f x 化简成 ex
ex
2a 2 2 ex e x
2a ，利用基本不等式求得最小值，即可得到
a.
【详解】 f x
e2x e 2 x 2a ex e x ex e x
2a2
ex e x 2 2a ex e x ex e x
2a2 2
ex
ex
2a2 2 ex e x
【点睛】 本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果
.
9.在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 b 1， a(2sin B 3 cosC ) 3 cos A ，点
D 是边 BC 的中点，且 AD
13
，则
ABC 的面积为（
）
2
A. 3
【答案】 D 【解析】
0,2 有两个不同的交点（如下图所示），故函数在
0,2 π 上有 4 个零点，故选 A.
8
【点睛】 本小题主要考查函数图像的识别，考查二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题
.
12.已知 x 0 ，函数 f ( x)
ex
2
a
ex
2
a 的最小值为 6，则 a （
ex e x
）
A. -2 【答案】 B 【解析】 【分析】
的中点恰好为点 P ，则直线 l 的斜率为（ ）
1
A.
3
【答案】 C
5
B.
4
3
C.
2
1
D.
4
【解析】
【分析】
由题意可知设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），代入抛物线方程作差求得：
y1 y2 y1 y2 6 x1 x2 ，由中点坐标公式可知： x1+x2＝4， y1+y2 ＝4，代入求得直线 MN的斜率．
【详解】 设 M x1, y1 ， N x2 , y2 代入 C ： y 2
6x ，得
y12 y22
6 x1 1 ， 6 x2 2
（1） - （2）得 y1 y2 y1 y2 6 x1 x2 .
因为线段 MN 的中点恰好为点 P ，所以
x1 x2
4
，
y1 y2 4
从而 4 y1 y2
6 x1
x2
，即 l 的斜率为
4
4
2
f(
x) cos( x)
2 (cos x
sin x) ，此时 f (
x) f (
x) ，
4
4
2
4
4
综上恒有 f ( x) f ( x) ，即图象关于 x 对称，所以 C是正确的；
4
4
4
5
由当 x
时，函数 f x
2
5
5
f ( ) cos
0 不是函数的最大值，所以 D 错误，
2
2
故选 C。
【点睛】 本题主要考查了与三角函数有关的命题的真假判定问题，其中解答中涉及到三角函数的周期性、 奇偶性、对称性以及函数的最值问题，其中正确作出函数的图象是解答本题的关键，着重考查了数形结合 思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。
b y x ，将点
a
b
2
3 ，故 e 1 b
1 3 2 ，故选 A.
a
a
2, 6 代入双曲线的渐近线方程得
b
6
2，
a
【点睛】 本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题
.
4.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示： 不喜欢 喜欢
男性青年观众
30
10
女性青年观众
9
9 【答案】
2 【解析】 【分析】
由向量 m / /n ，所以 2a 3b
3a kb ，得到 3 2 且 k 3 ，即可求解，得到答案。
【详解】 由题意，向量 m / /n ，所以 2a 3b
3a kb ，
则 3 2 且 k 3 ，解得 k
9
.
2
【点睛】 本题主要考查了向量的共线条件的应用，其中解答中熟记向量共线条件，列出关于
【点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的乘法运算是解答的关键， 着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2.已知集合 A x | y 2 x2 , x R ， B { x | 1 x 3, x Z} 集合 A B
中元素的个数为（
）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】 B
30
50
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取
n
人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了 6人，则 n （ ）
A. 12 【答案】 C
B. 16
C. 24
D. 32
【解析】
【分析】
先求得总人数，然后根据总人数中“不喜欢的男性青年观众”所占的比例列方程，解方程求得抽取的人数
.
【详解】 依题意，总人数为 30 30 10 50 120 ，其中“不喜欢的男性青年观众”有 30 人，故
y1 x1
y2 x2
3
.
2
故选 C.
【点睛】 本题考查中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算 能力，属于中档题．
7
11.函数 f ( x) x sin 2x cos x 的大致图象有可能是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性排除 D选项 .根据 f x cosx 2x sin x 1
【答案】 C 【解析】 【分析】
B. f (x) 奇函数
5
D. f (x) 在 x
处取得最大值
2
作出函数 f x
的图象，结合函数的周期性，奇偶性、对称性以及最值的性质，分别进行判断，即可得到答案。
【详解】 由题意，作出函数 f x 的图象，如图所示，
4
则由图象可知函数 f x 不是周期函数，所以 A 不正确；
8.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的
B
5
A. 4
B. 13
C. 40
D. 41
【答案】 C
【解析】
【分析】
运行程序，进行计算，当 A 5 时退出循环，输出 B 的值 .
【详解】 B 1， A 2 ； B 4 ， A 3 ； B 13 ， A 4 ； B 40 ， a 5 . 因为 5 4 ，所以输出 B 40 .
的零点个数，对选项进行排除，由此得出正确选项
.
【详解】 函数 f x 是偶函数，排除 D；由 f x 2x sin x cosx cosx cosx 2x sin x 1 ，知当
x
0,2
时， cosx
0 有两个解
π,
3π
，令
2x sin
x
1
0,sin x
22
1 ，而 y sinx 与 y 2x
1
在
2x
2x y 1 0,
A. 1
B. 4
C. 6
【答案】 D
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，
z 2x y
表示直线在 y轴上的截距，只需求出可行域直线在 y轴上的截距最大值即可．
【详解】 由条件画出可行域如图：
D. 7
3
z 2x y 表示直线在 y轴上的截距，当 l ： y 2 x z 平移到过点 A时，z 最大，
处的切线方程．
【详解】 令 t
x ，则 x
2t ，所以 f t
8t3 6t ，即 f x
8x3 6x .
2
且 f 1 2，
1, f 1
又 f ' x 24x3 6 ，
∴ f ' 1 18.
所以切线方程为 y 2 18 x 1 ， 即 18x y 16 0 . 故答案为 18x y 16 0.
10
【点睛】 本题考查了函数解析式的求法，考查了导数的运算法则和导数几何意义，属于中档题．
30 6 ，解得 n 24 . 所以本小题选 C.
120 n
【点睛】 本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查图表分析能力，属于基础题
.
5.若一个圆锥 轴截面是面积为 1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（
A. 2
B. 2 2
C. 2
） D. 4
2
【答案】 A 【解析】 【分析】 由轴截面是面积为 1的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积． 【详解】 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l ，
x 2y 4
又由
，解得 A 2,3
2x y 1 0
此时， zmax 7 .
故选 D. 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
sin x, x
7.已知函数 f (x)
4 ，则下列结论正确的是（
）
cosx, x 4
A. f ( x) 是周期函数
C. f ( x) 的图象关于直线 x 对称 4
同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以
B不正确；
若 x 0 ，则 f (
x) cos(
x)
2 (cos x
sin x) ，
4
4
2
f ( x) sin( x)
4
4
2 (cos x
sin x) ，此时
f(
x) f (
x) ，
2
4
4
若 x 0 ，则 f (
x) sin(
x)
2 (cos x
sin x) ，
2a
2 2a2 2 2a 6 ，（当且仅当 ex e x
2a2 2 时等号成立），
即 a2 6a 7 0，解得 a 1或 7.
故选 B.
【点睛】 本题考查了函数的最值，考查了基本不等式的应用，将函数进行合理变形是关键，属于中档题
.
二、填空题。
13.已知向量 a, b 不共线， m 2a 3b ， n 3a kb ，如果 m n ，则 k ______．
时， c
3 ，所以
ABC 的面积为
1 bcsin A
33
；当
4
3
2
4
2
1
A
时， c 4 ，所以 ABC 的面积为 bcsinA 3 .
3
2
故答案为： D.
【点睛】 这个题考查了三角函数两角和差公式的逆用，以及向量的模长的应用，三角函数的面积公式的应 用，题型比较综合 .
10.已知抛物线 C ： y2 6 x ，直线 l 过点 P(2,2) ，且与抛物线 C 交于 M ， N 两点，若线段 MN
由题可知， r=h=
2
1
l ，则
2
2
2
2r 1 ，
∴ r 1，l 2
侧面积为 πrl 2
故选：Ａ 【点睛】 本题考查圆锥的计算； 得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点； 注意圆锥的侧面积
πrl 的应用．
x 2 y 4 0, 6.设 x ， y 满足约束条件 x y 1 0, ，则 z 2x y 的最大值是（ ）