广东省汕头市高二数学下学期教学质量检测 文

汕头市2010~2011学年度普通高中教学质量监测高二级文科数学
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时。

请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、 错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：
锥体的体积公式Sh V 3
1
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．
第一卷 选择题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在给出的四个选项中，只有一项是符
合要求的． 1．sin 330︒等于 ( ) A
．2
-
B ．12-
C ．
1
2
D
．
2
2．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且(1)1f =，那么(1)f -等于( ) A ．－1 B ． 0 C ． 1 D ． 2
3．已知{}n a 是等比数列，4
1
252==a a ，，则公比q = ( ) A ． 21-
B ． 2-
C ． 2
D ． 2
1 4．若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
5．已知复数121,
3z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数
1
2
z z 的虚部为( )
A ．i 41
B ．i 52
C ．
52 D ．4
1 6．如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同的
是
( )
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ．(2)(3)
D ．(1)(4)
7．下表
是某工厂10个车间2011年3月份产量的统计表，1到10车间的产量依次记为
1210A A A ，，…，(如：6A 表示6号车间的产量为980件)．图2是统计下表中产量在一定范
围内车间个数的一个算法流程图.那么算法流程(图2)输出的结果是( )
A ． 5
B ． 6
C ． 4
D ． 7 8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线， 若(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BD =( ) A ．(－3，－5) B ．(－2，－4) C ．(3，5)
D ．(2，4)
9．在△ABC 中，B =135°，C =15°，a =5， 则此三角形的最大边长为( )
A ．35
B ．34
C ．
D ．24
10．若函数b ax x f +=)(的零点为2，那么函数
ax bx x g -=2)(的零点是( )
A ．0，2
B ．0，2
1
C ．0，21-
D ．2，2
1 第二卷 非选择题
二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分
11．若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_______.
(2)底面直径和高均为2的圆柱
(1)棱长为2的正方体 (3)底面直径和高均为2的圆锥 (4)长、宽、高分别为2、3、4的长方体
B
A
D
C
E
12．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω定包含于Ω，则称Ω点集的图形如右(阴影区域及其边界) (13．在条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
≥
-≤≤≤≤211010x y y x 下，z = 4－2x +y 选做题
在下列两道题中任选一道作答，若作答两道，则按作答前一道计分。

14．(几何证明选讲选做题)如图所示, 圆的内接△ABC 的∠C 的平分线CD
延长后交圆于点E ， 连接BE ，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段BE= .
15．(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+
6
π
)=2，则极 点在直线l 上的射影的极坐标是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)
已知函数 的最大值是2，其图象经过点
(,1)3
M π
．
(1)求()f x 的解析式； (2)已知,(0,)2π
αβ∈，且624
(),()513
f a f β==，
求()f αβ-的值．
17．(本小题满分13分)
某高校2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160，165)，第2组[165，170)，第3组[170，175)，第4组[175，180)，第5组[180，185)得到的频率分布直方图如图所示． (1)求第3、4、5组的频率并估计这次考试成绩的众数；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取
6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ (3)在(2)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率？
18．(本小题满分13分)
如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为 2的正方形，,AE EB F =为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
(1)求证：AE ⊥平面BCE ； (2)求三棱锥E-ABC 的体积．
19．(本小题满分14分)
矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点T(－1，1)在AD 边所在直线上． (1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程；
(3)若动圆P 过点N(－2,0)，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．
20．(本小题满分14分)
已知函数 在x =1处取得极值，在x =2处的切线平行于向量).5,5(a b +=
(1)求a ，b 的值，并求)(x f 的单调区间； (2)是否存在正整数m ，使得方程3
16
6)(-=x x f 在区间(m ，m+1)内有且只有两个不等实根？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
21．(本小题满分14分)
已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点A(2，1)和B(5，2)，记()*
3,.f n n a n N =∈
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)设
n
n n n
n b b b T a b +++==
21,2，若3－)(Z m m T n
∈<恒成立，求m 的最小值
汕头市2010-2011学年高中二年级质量检测试题答案
数学（文科）
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11．
3
5
．12． (2)(3) ．13． 5 ． 14．
521 ． 15.2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 7．选B.解析:算法流程图输出的结果是“产量大于900件的车间数”,从表中可知1、3、5、
6、7、10共6个车间的产量大于900件.
8． 选A.解析:)5,3(2)(--=-=--=+=
9．选C.解析: 在△ABC 中，135B =，15C =，则此三角形的A=30。

且最大边为AC 边,
由正弦定理A
a
B A
C sin sin =,可以求出AC=14．填
5
21
.因为EC 平分∠ACB, 所以∠ACE=∠ECB,又因为∠ACE=∠ABE,所以∠ABE=∠ECB,所以BED ∆∽CEB ∆,BC BD CE BE =∴, 5
21
=∴BE . 15．填2,3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
. 极点在直线l 上的射影是直线上ρ取得最小值的点, 把sin()26
π
ρθ+
=变
形为)
6
sin(2π
θρ+=
,可知,当3
1)6
sin(π
θπ
θ=
=+
即时, ρ取得最小值2.
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
16.解：（1）
()f x 的最大值为2，2=∴A ……………….1分
)(x f
的图象经过点(,1),2sin()1,33M ππϕ∴+=1
sin()32πϕ+=………………3分
40,333πππϕπϕ<<∴<+<，536ππϕ∴+=，,2π
ϕ∴=………………5分
()f x ∴2sin()2cos 2
x x π
=+=．………………6分.
（2）632412
()2cos ,cos ,()2cos ,cos 551313f a a a f βββ==∴===∴=
，………………7分 1312
cos ,1324cos 2)(=∴==βββf ………………8分
45
.(0,),sin ,sin ,()2cos()2(cos cos 2
5
13
a f παββαβαβαβ
∈∴==∴-=-=………………10分 65
112
)135********(2)sin sin cos (cos 2)cos(2)(=
⋅+⋅=-=-=-∴βαβαβαβαf …12分. 17. 解:(1) 由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3; 第4组的频率为0.04×5=0.2
第5组的频率为0.02×5=0.1. ………………3分
估计这次考试成绩的众数为167.5分. ………………4分 (2) 第三组的人数为0.3×100=30人; 第四组的人数为0.2×100=20人; 第五组的人数为0.1×100=10人;
因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为:
第3组抽30×
606
=3人; ………………5分 第4组抽20×606
=2人; ………………6分
第5组抽10×60
6
=1人; ………………7分
所以第3,4,5组分别抽取出3人,2人和1人. ……………8分 (3)设第3组的3位同学为,,32,1A A A 第4组的两位同学为,2,1B B 第5组的1位同学为,1C ………………9分 则从六位同学中抽两位同学有:
)
,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,)(,(),,(),,(),,(),,(),,(),(12112113231312221232112111312,1C B C B B B C A B A B A C A B A B A A A C A B A B A A A A A
共15种可能. ……………10分 其中第
4
组的
2
位同学为,2,1B B 至少有一位同学入选的有
),(),,(),,(),,(),,(),,)(,(),,(),,(121121231322122111C B C B B B B A B A B A B A B A B A 共9种可
能………………11分
所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为.5
3
159=………………13分. 18. 解：（1）BF ⊥平面,ACE BF AE ∴⊥………………2分
∵二面角D AB E --为直二面角，且CB AB ⊥，
CB ∴⊥平面,ABE CB AE ∴⊥
………………4分
AE ∴⊥平面BCE ．………………6分
(2)
BE
AE BCE
AE ⊥∴⊥平面 ………………7分
∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ∴AE=EB=2………………9分
3
2
2231312222
1
21=
⨯⨯=⨯==∴
=⋅⋅=⋅=∴∆--∆AE S V V BC BE S BEC BEC A ABC
E BEC ………………13分
19. 解：（1）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，
所以直线AD 的斜率为3-．………………1分 又因为点(11)T -，在直线AD 上，
所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．…………3分
（2）由36032=0x y x y --=⎧⎨
++⎩
，
解得点A 的坐标为(02)-，，……………5分
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM =
=
从而矩形ABCD 外接圆的方程为2
2
(2)8x y -+=．………………9分 （3）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM PN =+
即PM PN -=．……………11分
故点P 的轨迹是以M N ，
为焦点，实轴长为12分
因为实半轴长a =
2c =
．所以虚半轴长b
从而动圆P
的圆心的轨迹方程为
22
1(22
x y x -=≤．………………14分 20.解：（1）)3(63)(2
b a bx ax x f +-+='
∴⎩⎨
⎧-==⎪⎩
⎪⎨⎧+='='46 55)2(0
)1(b a b a f f 解得 …………4分 （2）由（1）得16126)(23++-=x x x x f ∴),1)(13(662418)(2--=+-='x x x x x f
由)3
1,(),1()(31
10)(-∞+∞<>>'和在，即或，得x f x x x f 上单调递增.
由)1,3
1
()(1310)(在，即，得
x f x x f <<<'上单调递减 …………8分 （3）方程01936183
16
6)(23=+--=x x x x f 等价于 令193618)(23+-=x x x g
则.3
400)( )43(187254)(2
==='-=-='x x x g x x x x x g 或，得令。

当)(0)()3
4,0(x g x g x ∴<'∈，
时，是单调减函数； 当)(0)(),34
(x g x g x ∴>'+∞∈，
时，是单调增函数； ∵.019)2(,03
7
)3
4
(,01)1(>=<-
=>=g g g ∴方程)2,3
4
(),34,1(0)(在区间=x g 内分别有唯一实根. …………12分
∴存在正整数m=1，使得方程3
16
6)(-=x x f 在区间（1，2）上有且只有两个不相等的
实数根. ……………………14分 21.解：（1）由题意得⎩⎨
⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ， 232
,591
a b a a b b +==⎧⎧∴⎨⎨
+==-⎩⎩解得，………2分 )12(log )(3-=∴x x f *)
12(log ,1233N n n a n n ∈-==- ………………4分
（2）由（1）得n n n b 212-=
， n n n
n n T 2
1
22322523211321-+-++++=∴- ① 11322
1
2232252232121+--+-+-+++=n n
n n n n n T ②①-②得：
1122111132121
2)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=n n n . n
n n n n n T 23232122132+-=---=∴-， ………………9分 设*
,2
323)(N n n T n f n
n ∈+=-=，
则由1512132121)32(2522252)()1(1<+≤++=++=+=++n n n n n f n f n
n 得*
,232)(N n n n f n
∈+=随n 的增大而减小
2
5)1()(,1max =
==∴f n f n 时当 又3-)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m ．………………14分。