江北区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

江北区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 方程表示的曲线是（ ）
1x -=A ．一个圆
B ． 两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆
2．
某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（
）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
3． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为
（
）
A ．(1,1+
B ．(1)++∞
C. (1,3)
D ．(3,)
+∞
4． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（
）
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
5． 设集合M={1，2}，N={a 2}，则“a=1”是“N ⊆M ”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
6． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）
A ．10米
B ．100米
C ．30米
D ．20米
7． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ）
A ．720
B ．270
C ．390
D ．3008． P 是双曲线
=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2
的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．a+b ﹣c 9． －2sin 80°的值为（ ）
sin 15°sin 5°A ．1 B ．－1C ．2
D ．－2
10．已知是虚数单位，若复数（）的实部与虚部相等，则（
）
)(3i a i +-R a ∈=a A ．
B ．
C ．
D ．
1-2-11．拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
12．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
βα,A ．若，，则 B ．若，
，则
α⊥l βα⊥β⊂l α//l βα//β⊂l C ．若，，则
D ．若，，则α⊥l βα//β⊥l α//l βα⊥β
⊥l 二、填空题
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．
14．设
,则
15．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．
三、解答题
17．已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b1+2b2+3b3+…+nb n=a n（n∈N*），求{b n}的通项公式b n．
18．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a a b b＞a b b a．
19．已知双曲线过点P（﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
20．已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b，a、b为实数．
（1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；
（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．　
21．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（x C ⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x θ
为参数，），直线的参数方程为（为参数）．
],0[πθ∈l 2cos 2sin x t y t ì=+ïí=+ïîa
a
t （I ）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的极坐标；D C C D +2=0x y +D （II ）设直线与曲线有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
l C l 【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
22．已知数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n
=2（n ∈N *），若{a n }为等比数列，且a 1=2，b 3=3+b 2．
（1）求a n 和b n ；（2）设c n
=（n ∈N *），记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．
江北区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】
试题分析：由方程，两边平方得，即，所
(1)(1)1
-++=
x y
x-=22
1
1
x-=22
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.
考点：曲线的方程.
2．【答案】C
解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．
则体积为=，解得x=．
故选：C．
3．【答案】A
【解析】
考点：线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为
z
m
，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨
⎧==+00001mx y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求
m 的范围.
4．【答案】D
【解析】解：模拟执行算法框图，可得
A=1，B=1
满足条件A≤5，B=3，A=2
满足条件A≤5，B=7，A=3
满足条件A≤5，B=15，A=4
满足条件A≤5，B=31，A=5
满足条件A≤5，B=63，A=6
不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．
故选：D．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．　
5．【答案】A
【解析】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M
当N⊆M时，a2=1或a2=2有
所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．
故选A．
6．【答案】C
【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，
设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD
Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30米
在△BCD中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900
∴CD=30米（负值舍去）
故选：C
【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．　
7． 【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有： +
+
=390．
故选：C ．8． 【答案】A
【解析】解：如图设切点分别为M ，N ，Q ，
则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与Q 横坐标相同．由双曲线的定义，PF 1﹣PF 2=2a ．
由圆的切线性质PF 1﹣PF 2=F I M ﹣F 2N=F 1Q ﹣F 2Q=2a ，∵F 1Q+F 2Q=F 1F 2=2c ，
∴F 2Q=c ﹣a ，OQ=a ，Q 横坐标为a ．故选A ．
【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．　
9． 【答案】
【解析】解析：选A.－2 sin 80°
sin 15°sin 5°
＝－2cos 10°＝
sin （10°＋5°）sin 5°
sin 10°cos 5°＋cos 10°sin 5°－2 cos 10°sin 5°
sin 5°
＝
＝＝1，选A.
sin 10°cos 5°－cos 10°sin 5°sin5 °sin （10°－5°）
sin 5°
10．【答案】A 考
点：复数运算．11．【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为－＝1，其焦点为（±2，0），由题意得＝2，
x 22y 22p 2
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ，
双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.{y 2＝8x y ＝±x
)
12．【答案】111]C 【解析】
考
点：线线，线面，面面的位置关系
二、填空题
13．【答案】= ．
【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．C=
，由a ，b ，c 成等差数列可得c=2b ﹣a ，
由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2+ab ．
化简可得 5ab=3b 2，∴ =．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
14．【答案】9
【解析】由柯西不等式可知
15．【答案】　5　．
【解析】解：P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，
即有42=m，即m=16，
抛物线的方程为y2=16x，
焦点为（4，0），
即有|PF|==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
16．【答案】 ．
【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c
∴b=，c=2a，
由余弦定理可得cosB===．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．　
三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a2是a1和a3﹣1的等差中项得：
2a2=a1+a3﹣1，∴，
∴2q=q2，∵q≠0，∴q=2，
∴；
（2）n=1时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n，得b1=a1=1．
n≥2时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n ①
b1+2b2+3b3+…+（n﹣1）b n﹣1=a n﹣1②
①﹣②得：．
，
∴．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题．
18．【答案】
【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集，
则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，
根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，
即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10，
所以，10＜10a+10，解得a＞0，
所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；
（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，
∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，
则＞1恒成立，即＞1，
所以，a a﹣b＞b a﹣b，
将该不等式两边同时乘以a b b b得，
a a
b b＞a b b a，即证．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．
19．【答案】
【解析】解：（1）设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），
代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41，
又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，
∴d 12+d 22﹣2d 1d 2=36即有d 12+d 22=36+2d 1d 2=118，
又|F 1F 2|=2c=10，
∴|F 1F 2|2=100=d 12+d 22﹣2d 1d 2cos ∠F 1PF 2
∴cos ∠F 1PF 2=
【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P 的情况下求它的标准方程，并依此求∠F 1PF 2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）由导数的几何意义f ′（a+1）=12
∴3（a+1）2﹣3a （a+1）=12
∴3a=9∴a=3
（2）∵f ′（x ）=3x 2﹣3ax ，f （0）=b ∴
由f ′（x ）=3x （x ﹣a ）=0得x 1=0，x 2=a
∵x ∈[﹣1，1]，1＜a ＜2
∴当x ∈[﹣1，0）时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ∈（0，1]时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减．
∴f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值为f （0）
∵f （0）=b ，
∴b=1∵，∴f （﹣1）＜f （1）
∴f （﹣1）是函数f （x ）的最小值，∴∴
∴f （x ）=x 3﹣2x 2+1
【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）设D 点坐标为，由已知得是以为半径的上半圆，)q q C (0,0)O 因为C 在点处的切线与垂直，所以直线与直线的斜率相同，，故D 点的直角坐标D l OD +2=0x y +34
πθ=
为，极坐标为．(1,1)-3)4
p （Ⅱ）设直线：与半圆相切时 l 2)2(+-=x k y )0(222≥=+y y x 2
1|
22|2=+-k k ，（舍去）
0142=+-∴k k 32-=∴k 32+=k
设点，则,)0,2(-B 2
AB k =-故直线.
l ]22-22．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，∵数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2
（n ∈N *），a 1=2
，
∴
，，，∴b 1=1，
=2q ＞0， =2q 2，又b 3=3+b 2．∴23=2q 2，解得q=2．
∴a n =2n ．
∴
=a 1•a 2•a 3…a n =2×22×…×2n =，∴
．
（2）c n ===﹣=，
∴数列{c n }的前n 项和为S n =
﹣
+…+
=﹣2
=
﹣2+
=﹣﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。