fisher确切概率 超几何分布公式数学推导

fisher确切概率超几何分布公式数学推导超几何分布描述了在不放回地从有限个物件中抽取特定数量的情况下，成功事件发生的次数的分布。

假设总共有N个物件，其中包含K 个成功物件和N-K个失败物件。

从这N个物件中不放回地抽取n个物件，超几何分布的概率质量函数为：
P(X=k) = (C(K,k) * C(N-K,n-k)) / C(N,n)
其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，C(N,n)表示从N个物件中抽取n个物件的组合数。

上述超几何分布的公式可以这样推导：
假设我们按顺序从N个物件中抽取n个物件。

首先选择k个成功物件的方式有C(K,k)种，再从剩下的N-K个失败物件中选择（n-k）个物件的方式有C(N-K,n-k)种。

因此，成功事件发生k次的总的方式就是C(K,k) * C(N-K,n-k)。

对于每一种方式，成功事件发生k次的概率为成功事件的组合数除以总的组合数。

因此，超几何分布的概率质量函数为：
P(X=k) = (C(K,k) * C(N-K,n-k)) / C(N,n)
拓展：
除了上述推导的超几何分布公式，还有其他与超几何分布相关的公式和性质。

以下是一些拓展内容：
1.期望与方差：
超几何分布的期望值为E(X) = n * (K/N)，其中K/N表示成功物件占总物件数量的比例。

超几何分布的方差为Var(X) = n * (K/N) * (1 - K/N) * (N-n)/(N-1)。

2.超几何分布的模型应用：
超几何分布常用于处理不放回地从有限总体中进行抽样的情况，例如人口抽样调查、质检抽样检验等。

3.超几何分布的连续近似：
当总体数量很大（N很大）且成功物件数量很小（K很小），可以用超几何分布的连续近似来估计概率。

通过使用二项分布来逼近超几
何分布，其中二项分布的参数是成功物件的概率p=K/N，样本容量为n，可以获得连续近似的结果。

总而言之，超几何分布是描述不放回进行抽样的成功事件发生次
数的分布，通过组合数和总体比例的概念建立了它的概率质量函数。

它具有许多实际应用和推广，包括期望与方差的计算、连续近似等。