2020新教材人教B版高中数学必修第一册精练：第一章1.11.1.1集合及其表示方法课后课时精练含解

C. 5
D. 9
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1. 已知集合S= {a, b, c}中的三个元素是厶ABC的三边长，那么△ ABC —定不是（）
A .锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案D
解析因为集合S= {a, b, c}中的元素是△ ABC的三边长，由集合元素的互异性可知a, b, c互不相等，所以△ ABC 一定不是等腰三角形.故选 D.
2. 下列集合的表示方法正确的是（）
A. 第二、四象限内的点集可表示为{（x, y）|xy W0, x€ R, y€ R}
B. 不等式x- 1v4的解集为{x v5}
C. {全体整数}
D. 实数集可表示为R
答案D
解析A中应是xy<0; B中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x,应为{x|x<5} ; C中的“{ } ”与
“全体”意思重复.故选D.
3. 下列集合恰有两个元素的是（）
2 2
A. {x2-x= 0}
B. {x|y=x2-x}
C. {y|y2—y= 0}
D. {y|y=x2-x}
答案C
解析A为一个方程集，只有一个元素；B为方程y= x2—x的定义域，有无数个元素；C为方程y2—y= 0的解，有0,1两个元素；D为函数y=x2—x的值域，有无数个元素.故选C.
4. 已知集合A= {0,1,2}，则集合B = {x—y|x€ A,y€ A}中元素的个数是（）
A. 1
B. 3
答案C
解析根据已知条件，列表如下:
根据集合中元素的互异性，由上表可知B= {0 , - 1,—2, 1,2}，因此集合
B中共含有5个元素•故选C.
5•若2?{xX—a>0}，贝U实数a的取值范围是（）
A. a^2
B. a>2
C. a>2
D. a= 2
答案C
解析因为2?{x|x—a>0}，所以2不满足不等式x—a>0，即满足不等式x—a<0,所以 2 —a<0,即a>2,故选 C.
二、填空题
6. ____________________________________________________________
若A= { —2,2,3,4}, B = {x|x= t, t € A}，则用列举法表示B= __________ .
答案{4,9,16}
解析由题意，A= { —2,2,3,4}, B = {x|x = t2, t€ A}，依次计算出B中元素，用列举法表示可得B = {4,9,16}，故答案为{4,9,16}.
7. 已知集合A= {x|ax2—3x—4二0, x€ R}，若A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是_________ .
答案 a = 0或a< —16
4 2
解析当a= 0时，A= {x|x= —3}；当a^ 0时，关于x的方程ax —3x— 4 =0应有两个相等的实数根或无实数根，所以△= 9+ 16a< 0,即a< —箱.故所求
9
的a的取值范围是a = 0或a w—乔.
8. __________________________________________ 已知集合A中的元素均为整数，对于k€ A,如果k—1?A且k+ 1?A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定集合S= ｛123,4,5,6,7,8｝，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有____________________________________________ .
答案6
解析根据“孤立元”的定义，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合为｛1,2,3｝，｛2,3,4｝，｛3,4,5｝，｛4,5,6｝，｛5,6,7｝，｛6,7,8｝，共有6 个.故答案为6.
三、解答题
9. 用适当的方法表示下列集合：
(1) 绝对值不大于3的偶数的集合；
(2) 被3除余1的正整数的集合；
(3) 一次函数y= 2x—3图像上所有点的集合；
x+y= 1，
⑷方程组，' 的解集.
y=—1
解(1)｛—2,0,2｝.
(2) ｛m|m= 3n+ 1，n€ N｝.
(3) ｛(x, y)|y二2x—3｝.
⑷｛(0,1)｝.
10. 已知集合A= ｛a+ 3，(a+ 1)2，a2+ 2a + 2｝，若1€ A，求实数a 的值.
解①若a+ 3= 1，则a= —2，
此时A= ｛1,1,2｝，不符合集合中元素的互异性，舍去.
②若(a+ 1)2= 1，贝U a = 0 或a= —2.
当a= 0时，A= ｛3,1,2｝，满足题意；
当a= —2时，由①知不符合条件，故舍去.
③若 a + 2a + 2 = 1，则a= —1，
此时A= ｛2,0,1｝，满足题意.
综上所述，实数a的值为—1或0.
B级：“四能”提升训练
1 .已知集合 A= {xX = 3n + 1, n € Z }, B = {xX = 3n + 2, n € Z } , M = {x|x = 6n + 3, n € Z }.
⑴若m € M ，则是否存在a € A , b € B ,使m = a + b 成立？
(2)对于任意a € A , b € B ,是否一定存在 m € M ，使a + b = m ?证明你的结 论. 解 ⑴设 m = 6k + 3= 3k + 1 + 3k + 2(k € Z ), 令 a = 3k + 1, b = 3k + 2,贝U m = a + b.
故若m € M ，贝U 存在a € A , b € B , 使 m = a + b 成立. (2)不一定.
证明如下：设 a = 3k + 1, b = 3l + 2, k , l € Z ,贝U a + b = 3(k +1)+ 3. 当 k +1 = 2p(p € Z )时，a + b = 6p + 3€ M , 此时存在m € M ，使a + b = m 成立；
当 k +1 = 2p + 1(p € Z )时，a + b = 6p + 6?M ，此时不存在 m € M ，使 a + b = m 成立.
故对于任意a € A , b € B ,不一定存在 m € M ，使a + b = m. 2.设实数集S 是满足下面两个条件的集合：
1
①
1?S;②若a € S ,贝U € S.
1- a
1
(1) 求证：若 a € S ,贝U 1--€ S;
a
(2) 若 2€ S ,则S 中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3) 求证：集合S 中至少有三个不同的元素. 解 ⑴证明：••• 1?S,.・. 0?S ,即a M 0. 1 1
由a € S,贝U € S 可得
1 — € S , 1-a “ 1
1-
1-a
1
故若a € S,贝U 1-匚€ S.
a
1
1-1-a
1-a 1-a -1
1
⑵由2€ S,知口 =- 1€ S;
1 1
由一1€ S,知=沙S,
1 —(—1)2
1 1
当扌€ S时，十二2€ S,
1 — 2
1
因此当2€ S时，S中必含有一1和㊁
1 1
(3)证明：由(1), 知a€ S,厂€ S,1—-€ S.
I —a a
1 1
下证：a，三，1-a三者两两互不相等.
1 2
①若*仁，则a—沙1二°，无实数解,
1 2
②若a= 1 —a，则a2—a+ 1 = °,无实数解, a
1 a；
1 1 2
③若二=1-1则a- a+仁°，无实数解,
丄工1—1
1—a a'
综上所述，集合S中至少有三个不同的元素.。