高中数学巧解双曲线的离心率

巧解双曲线的离心率
离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。

经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。

下面就介绍一下常见题型和巧解方法。

1、求离心率的值
（1）利用离心率公式a
c
e =
，先求出c a ,，再求出e 值。

（2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出a
b
，再求出e 值。

例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3
4
=，则双曲线的离心
率为__________.
分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得3
4
=a b
解答：由已知可得3
4
=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .
（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。

例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c
例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线
的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。

解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c b
a b
所以2
1
5+=
e （负舍） 2、求离心率的取值范围
求离心率的取值范围关键是建立不等关系。

（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。

例3 若双曲线22
221x y a b
-=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________.
分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=⇒>>
⇒>>a
b e a b b a
（2）利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。

例4 双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上非顶点的一
点，且212PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为__________.
分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等
式。

解答：因为⎪⎩⎪⎨⎧=-=a
PF PF PF PF 22212
1a PF a PF 2,421==⇒，而c F F 221=，又因为三角
形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，a c a 622<<，所以31<<e 。

（3）利用圆锥曲线相关性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。

例5 已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲
线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线离心率e 的取值范围是__________. 分析：此题和上题类似，但也可以换一种办法找不等关系。

解答：由⎪⎩⎪⎨⎧=-=a
PF PF PF PF 24212
1可得322a PF =，又因为点P 在双曲线的右支上，
a c PF -≥2，即
3532≤=⇒-≥a c e a c a ，所以3
5
1≤<e . （4）运用数形结合思想建立,a c 不等关系求解e 的取值范围。

例6 双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直
线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是______
分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系 解答：由图象可知渐近线斜率
360tan =≥οa
b
，再由2)(12≥+==a b a c e 。

（5）运用函数思想求解e 的取值范围。

例7 设1>a ，则双曲线22
22
1(1)x y a a -
=+的离心率e 的取值范围是________. 分析：把离心率e 表示成关于a 的函数，然后求函数的值域
解答：把e 或2
e 表示成关于a 的函数，21
2)1(12222
22
++=++=a a a a a e ，然后用
求函数值域的方法求解，)5,2(∈e 。

小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率e 的值或取值范围有很多种办法，求值不一定非要先求出c a ,的值，能够得到c b a ,,中某两者的关系即可；求取值范围关键就是找到不等关系建立不等式，不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。

总之，要认真审题、分析条件，巧解离心率。

练习： （1）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2 D ．3
解：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2
b 2＝1 可得y 2
＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，3)(12=+==a
b
a c e
答案：B
（2）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2，则C 的渐近线方程为( )．
A ．y ＝±14x
B ．y ＝±13x
C ．y ＝±1
2x D ．y ＝±
x
解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，又离心率为e ＝
c
a ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b a 2
＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±
1
2x . 答案：C
（3）双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是( )． A. 5 B ．2 C. 3 D. 2
解：如图1，由l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，可得PF 1⊥PF 2，则|OP |＝1
2|F 1F 2|＝c ， 设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ，b a m ，则 m 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a m 2＝c
a m ＝c ，
解得m ＝a ，即得点P 的坐标为(a ，b )，
则由K PF 2＝b a －c ＝－b a ，可得2a ＝c ，即e ＝c
a ＝2.
答案：B
（4）若双曲线x 2m －y 2
m 2＋4
＝1的离心率为5，则m 的值为________．
解：由题意，双曲线的焦点在x 轴上，所以e ＝m 2＋m ＋4
m ＝5，所以m ＝2.
答案：2
（5）如图2，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是___． A ．3 B ．2 C. 3 D. 2
解:设双曲线的方程为x 2a 21－y 2b 21＝1，椭圆的方程为x 2a 22＋y 2
b 22＝1，
由于双曲线与椭圆有公共焦点且M ，O ，N 将椭圆长轴四等分， 所以a 2＝2a 1，又e 1＝c a 1
，e 2＝c a 2
，所以e 1e 2
＝a 2
a 1
＝2.
答案：2
（6）设点P 在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，若|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________． 解：由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
又|PF 1|＝4|PF 2|，所以4|PF 2|－|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝23a ，|PF 1|＝8
3a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
83a ≥c ＋a ，2
3a ≥c －a ，
整理得53a ≥c ，所以c a ≤53，即e ≤5
3，
又e ＞1，所以1＜e ≤5
3.
答案：]3
5
,1(
（7）已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角
图2
图3
形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．
解：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π
4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2
＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能
使∠AEF <π4，即b 2
a <a ＋c ，即
b 2<a 2＋a
c ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0， 即－1<e <2. 又e >1， 故1<e <2. 答案：(1,2)
（8）如图3，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，求C 的离心率. 解：依题意，知直线F 1B 的方程为y ＝b
c x ＋b ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b c x ＋b ，
x a －y
b ＝0，得点Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ac
c －a ，bc c －a ，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝b c x ＋b ，
x a ＋y
b ＝0，
得点P ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－ac c ＋a ，bc c ＋a ，
所以PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2c
b 2，
c 2
b .
所以PQ 的垂直平分线方程为y －c 2b ＝－c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －a 2c b 2.
令y ＝0，得x ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2，所以c ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋a 2b 2＝3c .
所以a 2＝2b 2＝2c 2－2a 2，即3a 2＝2c 2. 所以e ＝6
2. 答案：6
2
（9）双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．以原点O 为圆心，
c 为半
图4
径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．
解：设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0
x 0
·(－3)＝－1，
∴x 0＝3y 0，①
依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，
将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0
＝12c ， ∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝
⎛
⎭
⎪⎫
32c ，c 2，代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，
即34b 2c 2－1
4a 2c 2＝a 2b 2，②
又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得3
4c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫
c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝ 2. ∴双曲线的离心率为 2. 答案： 2
（10）如图4，双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .求①双曲线的离心率e ；②菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1
S 2
.
解：①由题意可得a =b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋5
2.
②设sin θ＝
b b 2＋
c 2，cos θ＝c b 2＋c 2
， S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc
4a 2bc b 2＋c 2
＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.
答案：①
1＋52 ；②2＋5
2。