完全二部图全着色的构造

完全二部图全着色的构造
广西科学院
JournalofGuangxiAcademyofSciences
2010,26(1):7～8,12
V o1.26,No.1February2010
完全二部图全着色的构造StructureofTotalColouringofCompleteBipartite
Graph
潘玉美,莫明忠
PANY u—mei.MOMing—zhong
(柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系,广西柳州545003) (DepartmentofMathematicsandComputerScience,LiuzhouTeachersCollege,Liuzhou, Guangxi,545003,China)
摘要:利用全着色矩阵给出完全二部图全着色的构造,该构造可以方便快捷对完全二部图进行全着色.
关键词:完全二部图全着色矩阵全着色的构造
中图法分类号:0157.5文献标识码:A文章编号:1002—7378(2010)01—0007—02 Abstract:Thispapermakesuseofatotalcolouringmatrixtogiveatotalcolouringstrctureofth e
completebipartitegraph,whichisverysimpleandconvienientforthetotalcolouringofthe completebipartitegraph.
Keywords:completebipartitegraph,totalcolouringmatrix,totalcolouringstructure
M.Behzad于1965年提出了着名的全着色猜
想[1]:对于任意n阶简单图G(V,E),VUE的元素
都可以用△(G)+2种颜色着色,使得任何两个相邻
或关联的元素都着有不同的颜色,即Xr,(G)≤
△(G)+2,其中△(G)为G的最大度数.在文献[2,
3]中,田永成等人引进了全着色矩阵,并利用全着色
矩阵简洁地给出了完全图及一些图类的全着色构
造,同时由全着色矩阵推得一个与M.Behzad全着
色猜想等价的命题,从而将解决全着色猜想问题转
化为全着色矩阵是否存在问题.本文给出完全二部
图的全着色矩阵,利用该矩阵可以简单快捷对完全
二部图进行全着色.
1预备知识
设G是n阶简单图,(G),E(G)分别是G的顶
点集,边集,E一VUE称为G的增广边集,其中
e,,一e,∈Ee—∈E,称e与ee∽…,e关
联,e与e,…,e;8与e邻接(,,k,z∈1一{1,2,
…
,})～e,e,,称为退化边.
收稿日期:2009—05—25.
修回日期:2009—09—21
作者简介:潘玉美(1974一),女,讲师,主要从事图论与组合研究工作. 定义1图G的k一全着色是指用k种颜色给
E中的元素着色,使得任何两个相邻接或关联的元
素都着有不同的颜色;G的全着色所用颜色的最少
数目称为G的全色数,记作,(G).
定义2将阶图G的邻接矩阵(G)的主对
角线上元素0全换为1而得到的矩阵称为G的增广
邻接矩阵,记作A(G)一(n),其中e∈E,
a,一1eE,a,一0(1≤i,J≤).
定义3设T一(￡)是阶对称方阵,若它的
任一行(列)的非零元素各不相同,主对角线上都是
非零元素,当t—t时t—tji—O(i,J∈),若71
中不同的非零元素的个数为t,则称丁为n阶t全着
色矩阵;若71中不同的非零元素的最少个数为t,则称t.为丁的全色数;设丁中第i行(列)的不同的非零元素的个数为t(∈I),t.一maxt,则称t.为的l∈』行(YU)基数;不失一般性,可设7'的非零元素为从1 开始的相邻的自然数,显然,t.≤t.
文献[2]给出了阶完全图全着色的构造,提出
了与全着色猜想等价的命题:
命题若全着色猜想成立,当且仅当存在阶
t(一z(G))全着色矩阵类,对其中任一矩阵71,使
t.≤t.+1,其中t是的全色数,t.是丁的行(列)
8广西科学院2010年2月第26卷第1期
基数.
文中未定义的术语和记号见文献[4～6].
2主要结果
由等价命题和全着色矩阵可以给出完全二部
图全着色的构造.
引理设m,为非负整数,则存在+阶全
着色矩阵.
(1)当m一时,全着色矩阵为
丁l=
eK.(,∈Io),于是有
定理设,为非负整数,K,为完全二部
图,则
(1)当m—n时,K.的全着色矩阵为丁,
(K.)一72+2一A(K,)+2.
(2)当m≠n,不失一般性,可设m<时,K.
的全着色矩阵为,
,
(K.)一7z+1一A(K.)+1.
3举例
例完全二部图K,K.,的全着色矩阵分别
为.和丁,其中
T1一
分块矩阵T中的A和B都是,z阶对角形矩阵,
主对角线上的元素分别为n+1和+2,C为×
矩阵,其第i行的元素依次为,+1,…,,1,2,
…
,i一1,i一1,2,…,72.'
(2)当m≠时,不失一般性,可设m<,全着
色矩阵为
1''一
(A
分块矩阵7'.中的A为m阶对角形矩阵,主对角
线上的元素均为+1,B为阶对角形矩阵,主对角
线上的元素分别为m+1,m+2,…,,1,2,…,m,
c为m×矩阵,其第i行的元素依次为i,i+1,…,
,2,1,2,…,i一1,i一1,2,…,m,'是c的转置矩阵.
由等价命题知,将丁,中的所有非零元素全
换为1,则可得到完全二部图K…的增广邻接矩阵A(…),而71,7'.便是K,的全着色矩阵,其中
e,着t.色,e一着t色,t一时,t一t一0,即
4l2OOO3
.
(K)一5一A(K3,3)+2,
(K3,4)一5一A(K…)+1.
利用71,丁便可对K.K.,进行全着色,每条
边左边的数字为该条边所着的颜色,此法简单并且快捷(见图l和图2).
图1完全二部图K.,
图2完全二部图K
(下转第l2页)
312OO5341OO2
231O5O234010
12350O123400
O04312OO5341
O4O231O50234
4OO123500123
12广西科学院2010年2月第26卷第1期
(上接第8页)
参考文献:
E1]BehzadM.Graphandtheirchromaticnumder[-D]. Michigan:MichiganStateUniversity,1965:1-20.
E23田永成,田新,田永兴,等.n阶完全图全着色的构造及推广l-J].东北大学:自然科学版,2002,23(1):95—
98.
r33田永成,田永兴,田新.一类图的全着色构造[J].东jt 大学:自然科学版,2003,24(9):915—918.
[-43
[53
[63
BondyJA,MurtyUSR.Graphtheorywithapplica—tionsEM].London:McmillanPress,1976:97—141. VijaydityaN.Ontotalchromaticnumderofagraph
[J].LondonMathSoc,1971,3(2):405—408.
张禾瑞,郝新.高等代数[M].第五版.北京:高等教育
出版社,2007:184—202.
(责任编辑:韦廷宗)。