第十二讲 不等关系与一元二次不等式

第十二讲 不等关系与一元二次不等式
★知识要点
一、不等式的定义
定义：用不等号()<>≠，
，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式． 二、关于”a b ≤““a b ≥“的含义
含义：不等式a b ≤应读作”a 小于或者等于b “，即理解为：a b <或a b =之中有一个正
确，则a b ≤正确．34<正确，则34≤没有逻辑错误，因为３、４是具体的整值，“34<”
比“34≤”更确切．从集合的角度看．如果a b 、
是两个实数 {}{}{})))a b a b a b a b a b a b ≥=>=（，（，（，
． 三、同号不等式和异号不等式定义：按不等式的开口方向分：在不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一
个左边都小于右边，这样的两个不等式叫做同号不等式．
四、关系成立对于任意两个实数a 和b ，在a b a b a b =><，
，三种关系中，有且仅有一种关系成立． 五、两个实数的大小比较：
1. 实数的特征
①任意实数的平方不小于０，即20a R a ∈⇔≥
②任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数．（复数不可以比较大小，这个我们以后会学到）
2. 实数比较大小的依据
依据：对于任意两个实数a b ，
，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．可以看出a b ，具有以下的性质：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．
六、比较两数大小的方法
1.作差比较法：将两个数做差后应变形为：①常数；②常数与几个平方和的形式；常用配方法或实数特征20a ≥判断差的符号；③几个因式积的形式，常用因式分解法.
2.作商比较法：两个数是同号，即作商后看是大于1，等于1，还是小于1.
3.特殊值法
4.函数的性质
5.分子有理化
七、不等式的性质
性质1（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．
性质2（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >．
性质3如果a b >，则a c b c +>+．
推论1（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2如果a b c d >>，
，则a c b d +>+． 说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向．
推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．
性质4如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <．
推论1如果00a b c d >>>>，
，则ac bd >．
推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．
推论2如果0a b >>，则(1)n n a b n n +>∈>N ，
． 推论3如果0a b >>
1)n n +∈>N ，
作商比较法：当0b ≠时，若
1a b >，且0b >，则a b >；若1a b
>，且0b <，则a b <． 八、一元二次不等式的定义 定义：形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤其中（0a ≠）的不等式叫做一元二次不等式，一般地，含有一
个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
九、一元二次不等式的解集（以0a >为例）：
十、不等式的解法
1.基本的不等式
1）一元“一次”不等式（解法：0
00
a ax
b a b >>⇒=<分情况解之）
2）一元“二次”不等式（解法：20ax bx c ++>分0
00
a a a =><情况而解．
要注意24b ac ∆=-的三种情况即000∆>∆=∆<，，，最好还要联系二次函数的图象）
2.同解不等式
1）()()f x g x >与()()()()f x F x g x F x +>+同解； 2）0()()m f x g x >>与()()mf x mg x >同解；
0()()m f x g x <>与()()mf x mg x <同解.
3.分式不等式
1）()
0()()0()f x f x g x g x >⇔⋅> 2）()
0()()0()f x f x g x g x ≥⇔⋅≥且()0g x ≠
3）()
()()
(00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠⇔>⇔-=
4.无理不等式
1
2()0
()()0()[()]f x g x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪>⎩或()0
()f x g x ≥⎧⎨⎩ 2
2
()0
()()0()[()]f x g x g x f x g x ⎧
≥⎪<⇔≥⎨⎪<⎩
5.绝对值不等式
1）绝对值的几何意义：
①||x 是指数轴上点x 到原点的距离；
②12||x x -是指数轴上12x x ，两点间的距离
2）当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；
当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．
3）绝对值不等式的解法
公式法：|()|()()()f x g x f x g x >⇔>或()()f x g x <-
|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<
平方法,分情况讨论法
6.指数不等式（a a f x g x ()()>(0a >且1)a ≠
1）当1a >时，()()f x g x > 2）当01a <<时，()()f x g x <）
7.对数不等式
log ()log ()a a f x g x >
1）当1a >时，()0()0()()f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪>⎩ 2）当01a <<时，()0()0()()
f x
g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪<⎩
8、高次不等式（穿线法）
一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：
①将()f x 最高次项的系数化为正数；
②将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
③将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；
④根据曲线显现出来的()f x 值的符号变化规律，写出不等式的解集
★典型例题
1(1)已知集合{}{}22|230,|4A x x x B x x =--≥=≤，则A B =
A ．[−2，−1]
B ．[−1，2)
C ．[−1，1]
D ．[1，2)
(2)已知关于x 的不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0恒成立，则m 的取值范围为______________．
(3) 已知命题“2,10x ax ax ∀∈-+>R ”为真命题,则实数a 的取值范围是__________.
(4
）若函数y =R ，则实数k 的取值范围是______．
3. 解关于x 的不等式x 2﹣（2m+1）x+m 2+m ＞0．
3（1）已知a ，b ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．a 2﹣b 2＞0
B ．cosa ﹣cosb ＞0
C ． ＜
D ．e ﹣a ﹣e ﹣b
＜0
(2)若a ＞1，0＜c ＜b ＜1，则下列不等式不正确的是（ ）
A ．log a 2018＞log b 2018
B ．log b a ＜log c a
C ．（c ﹣b ）c a ＞（c ﹣b ）b a
D ．（a ﹣c ）a c ＞（a ﹣c ）a b
(3)若a=log20.3，b=20.3，c=0.32，则a，b，c三者的大小关系为（）
A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
(4)若关于x的方程x2+ax+a2﹣1=0有一正根和一负根，则实数a的取值范围是（）A．﹣＜a＜﹣1 B．﹣2＜a＜2 C．﹣1＜a＜1 D．1＜a＜
4.已知不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}
（1）求b和c的值；
（2）求不等式cx2+bx+1≤0的解集．
★当堂检测
1.已知a＜b＜0，则下列式子中恒成立的是（）
A．＜B．＞C．a2＜b2D．＜
2.方程x2﹣2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围为（）A．1＜a＜B．a＜﹣1或a＞1 C．﹣1＜a＜1 D．﹣＜a＜﹣1
3.关于x的方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根均大于2，则实数m的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4] B．（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，﹣4）C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣2）
★反馈练习
1.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
2.若关于x的不等式x2﹣4x≥m对x∈[3，4）恒成立，则（）
A．m≥﹣3 B．﹣3≤m＜0 C．m≤﹣3 D．m≥﹣4
3.已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是．
4.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．
（1）求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．
5.若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．
（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0
（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．。