【推荐】专题12 空间平行与垂直-2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点

1．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
答案②③④
解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.
2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
答案a或2a
整理得x2－3ax＋2a2＝0，
解得x＝a或x＝2a.
3．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A 点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值是2；
②AB∥CE；
③V B—ACE是1
6a
3；
④平面ABC⊥平面ADC.
其中正确的是________．(填写你认为正确的序号) 答案①③④
解析作出折叠后的几何体的直观图如图所示：
∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，
∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，
4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．
(1)求证：BC⊥平面ACEF；
(2)当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．
(1)证明∵在等腰梯形ABCD中，
AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，
∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120°，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面ACEF.
(2)解当FM＝
3
3a时，AM∥平面BDE.
证明如下：
设AC∩BD＝N，连接EN，如图．
∴当FM＝
3
3a时，AM∥平面BDE.
5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
且DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
∴DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，
又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1D，
又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，
∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
6．如图1，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示．
(1)求证：A1E⊥FP；
(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图1.
图1
因为EF∩EB＝E，
所以A1E⊥平面BEFC.
因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.
(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．
理由如下：
如图1，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.
如图2，取A1P的中点M，连接MK，
图2
易错起源1、空间线面位置关系的判定
例1、(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是()
A．若a∥b，b⊂α，则a∥α
B．若a∥α，b⊂α，则a∥b
C．若a∥α，b∥α，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
答案(1)D(2)D
解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．
(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D.
【变式探究】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.
其中真命题的个数为()
A．1B．2C．3D．4
答案 B
【名师点睛】
解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．
【锦囊妙计，战胜自我】
空间线面位置关系判断的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结
合有关定理来进行判断．
易错起源2、空间平行、垂直关系的证明
例2、如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB ＝6，BC＝3.
(1)证明：BC∥平面PDA；
(2)证明：BC⊥PD；
(3)求点C到平面PDA的距离．
(1)证明因为四边形ABCD是长方形，
所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，
所以BC∥平面PDA.
(2)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面PDC，
因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.
(3)解如图，取CD的中点E，连接AE和PE.
所以AD ⊥平面PDC ，
因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD . 设点C 到平面PDA 的距离为h ， 因为V 三棱锥C —PDA ＝V 三棱锥P —ACD ， 所以13S △PDA ·h ＝1
3
S △ACD ·PE ，
即h ＝S △ACD ·PE S △PDA
＝1
2×3×6×7
12×3×4＝372，
所以点C 到平面PDA 的距离是37
2
.
【变式探究】如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PB ⊥CD ，点E 在棱
PD 上，且PE ＝2ED .
(1)求证：平面PCD ⊥平面PBC ； (2)求证：PB ∥平面AEC .
因为AD∥BC，所以△ADO∽△CBO，
所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED，
所以OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
【名师点睛】
垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.
【锦囊妙计，战胜自我】
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
易错起源3、平面图形的折叠问题
例3、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝10.
(1)求证：BD⊥P A；
(2)求四棱锥P—BFED的体积．
(1)证明∵点E，F分别是边CD，CE的中点，
(2)解设AO∩BD＝H.连接BO，∵∠DAB＝60°，
∴△ABD 为等边三角形，
∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3， 在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7， 在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2，∴PO ⊥BO .
∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED ，
梯形BFED 的面积S ＝1
2(EF ＋BD )·HO ＝33，
∴四棱锥P —BFED 的体积 V ＝13S ·PO ＝1
3
×33×3＝3.
【变式探究】如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成60°的二面角B —AD —C ，如图2.
(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD ；
(2)设点E 为BC 的中点，BD ＝2，求异面直线AE 和BD 所成的角的大小．
所以∠AEF 为异面直线AE 与BD 所成的角．
连接AF ，DE ，由BD ＝2，则EF ＝1，AD ＝23，CD ＝6，DF ＝3. 在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2＋DF 2＝21. 在△BCD 中，由题设∠BDC ＝60°，
则BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD ·cos ∠BDC ＝28， 即BC ＝27，从而BE ＝1
2BC ＝7，
cos ∠CBD ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝－1
27
，
【名师点睛】
(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；
(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．
【锦囊妙计，战胜自我】
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．
1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则() A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
答案 A
解析由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p⇒q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q⇏p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A.
2．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的()
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析若a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，l⊥a，l⊥b，a∥b，则l可以与
3．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是() A．若m⊂α，n∥α，则n∥m
B．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β
C．若n⊥α，n⊥β，则α∥β
D．若m⊂α，n⊥α，则m⊥n
答案 A
解析A中，若m⊂α，n∥α，则n∥m或m，n异面．故不正确；B，C，D均正确．故选A.
4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是()
A．平行B．垂直
C．相交成60°角D．异面且成60°角
答案 D
解析如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.
5．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD .则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )
A ．平面ABD ⊥平面ABC
B ．平面AD
C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC
D ．平面ADC ⊥平面ABC 答案 D
6．如图，在空间四边形ABCD 中，点M ∈AB ，点N ∈AD ，若AM MB ＝AN
ND ，则直线MN 与平
面BDC 的位置关系是________．
答案 平行
解析 由AM MB ＝AN
ND ，得MN ∥BD .
而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ， 所以MN ∥平面BDC .
7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)
①AC⊥BE；
②B1E∥平面ABCD；
③三棱锥E－ABC的体积为定值；
④直线B1E⊥直线BC1.
答案①②③
解析因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体
积为V，则V E－ABC＝1
6V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．
8．下列四个正方体图形中，点A，B为正方体的两个顶点，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
答案①③
解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB 平行于平面
9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．
求证：(1)AP∥平面C1MN；
(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.
证明(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，
所以AM＝PC1.
又点M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC. 所以MN⊥BD.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，
所以DD1⊥MN，
而DD1∩DB＝D，
DD1，DB⊂平面B1BDD1，
所以MN⊥平面B1BDD1，
又MN⊂平面C1MN，
所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.
10．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；
(3)证明：直线DF⊥平面BEG.
(1)解点F，G，H的位置如图所示．
(2)解平面BEG∥平面ACH，
所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH，
又BE∩BG＝B，
所以平面BEG∥平面ACH. (3)证明连接FH，BD.
因为ABCD—EFGH为正方体，。