高二下学期数学人教A版选择性必修第三册7.1.2全概率公式课件

P( Ai )P(B | P(B)
Ai )
P( Ai )P(B | Ai )
n
.
P( Ak )P(B | Ak )
k 1
课本52页
2. 两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率 为4%. 将两批产品混合，从混合产品中任取1件. (1) 求这件产品是合格品的概率； (2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.
由全概率公式得 P(A)＝P(B1)P(A |B1)＋ P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.36×0.2＋0.41 ×0.6＋0.14 ×1＝0.458. 即飞机15被击落的概率为 0.458.
小结：
1. 全概率公式：
一般地,设A1,A2, ,An是一组两两互斥的事件,A1 A2 An ,且
解：设 B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}， Ai＝{提出的一台是第 i 车间生产的}，i＝1,2. 由题意 P(A1)＝25，P(A2)＝35，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
13
2．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%, 二厂生 产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为 2% , 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
解：设事件 B 为“任取一件为次品”，事件 Ai 为“任取一件为 i 厂 的产品”，i＝1,2,3，则
解：设A1＝“第1天去A餐厅”, B1＝“第1天取B餐厅”, A2＝“第2天去A餐厅”, 则 A1 B1,且A1与B1互斥. 根据题意得 P( A1 ) P(B1 ) 0.5,P( A2 | A1 ) 0.6,P( A2 | B1 ) 0.8. 由全概率公式,得
P( A2 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P(B1 )P( A2 | B1 ) 0.50.6 0.50.8 0.7.
解：设A "发送的信号为0",B "接收的信号为0",则A "发送的信号为1", B "接收的信号为1".由题意得 P( A) P( A) 0.5, P(B | A) 0.9,P(B | A) 0.1,P(B | A) 0.05,P(B | A) 0.95.
(1)由全概率公式,得
A1 )
0.25 0.06 0.0525
2 7
.
类似地,可得
P( A2
|
B)
2 7
,P( A3
|
B)
3 7
.
思考 例5中P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么?
P(Ai)是实验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为 先验概率，当已知抽到的零件是次品(B产生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床 加工的可能性大小，通常称为后验概率. 如果对加工的次品，要求操作员承担相 应的责任，那么 2，2，3 就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额.
解：设A＝“取到合格品”, Bi＝“取到的产品来自第i批”(i＝1, 2), 则
P(B1 ) 0.4,P(B2 ) 0.6,P( A | B1 ) 0.95,P( A | B2 ) 0.96. (1)由全概率公式,得
P( A) P(B1 )P( A | B1 ) P(B2 )P( A | B2 ) 0.40.95 0.60.96 0.956.
(2)由贝叶斯公式,得
P ( B1
|
A)
P(B1 A) P( A)
P(B1 )P( A | P( A)
B1 )
0.4 0.95 0.956
0.397.
例6 在数字通讯中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送 的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分 别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0 和1是等可能的. (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
解：设A "发送的信号为0",B "接收的信号为0",则A "发送的信号为1", B "接收的信号为1".由题意得 P( A) P( A) 0.5, P(B | A) 0.9,P(B | A) 0.1,P(B | A) 0.05,P(B | A) 0.95.
(2)由贝叶斯公式,得
(1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.
解：设B＝“任取一个零件为次品”, Ai＝“零件为第i台车床加工” (i＝1, 2, 3), 则 A1 A2 A3 ,且A1,A2 ,A3两两互斥. 根据题意得 P( A1 ) 0.25,P( A2 ) 0.3,P( A3 ) 0.45, P(B | A1 ) 0.06,P(B | A2 ) P(B | A3 ) 0.05. (1)由全概率公式,得
算这个概率呢?
ab
因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是
a
a
b
.
但是这个
结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 下面我们给出
严格的推导.
用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1, 2. 如图示 ，那么事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并 ，即R2＝R1R2∪B1R2. 利用概率的加法公式和乘法公式，得
P(B) P( A1 )P(B | A1 ) P( A2 )P(B | A2 ) P( A3 )P(B | A3 ) 0.250.06 0.30.05 0.450.05 0.0525.
因此,任取一个零件是次品的概率为0.0525.
例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工 的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零 件数分别占总数的25%，30%，45%.
全概率公式：
一般地,设A1,A2, ,An是一组两两互斥的事件,A1 A2 An ,且 P( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ). i 1
我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
例4 某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如 果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第 2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
P( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ).
(1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率.
解：如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1, 2, 3)台车床加工的概率，就是
计算在B产生的条件下，事件Ai产生的概率，即
P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)
P( A1 )P(B | P(B)
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
9 0.9 3 0.25 0.7375.
12
12
因此,张君做对选到的题的概率0.7375.
例5 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工 的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零 件数分别占总数的25%，30%，45%.
14
3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7.飞机被一人击中而击落的概率为 0.2，被两人击中而击落的概率为 0.6， 若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则 P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1． P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36， P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41， P(B3)＝0.4×0.5×0.7＝0.14.
P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.2， P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.01. 由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)
＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们第一把一个复杂事件表 示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其 概率. 下面， 再看一个求复杂事件概率的问题.
思考 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
显然，第1次摸到红球的概率为 a ，那么第2次摸到红球的概率是多大? 如何计
P(R2 ) P(R1R2 B1R2 ) P(R1R2 ) P(B1R2 )
P(R1 )P(R2 | R1 ) P(B1 )P(R2 | B1 )
a
a
b
a
a
b
1
1
a
b
b
a
a b
1
a
a
b
.
上述过程采用的方法是: 按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件 的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
7.1.2 全概率公式
பைடு நூலகம்
复习导入： 1. 条件概率：在事件A产生的条件下，事件B产生的概率称为条件概率，即
P(B | A) P( AB) P( A)
2. 概率的乘法公式：由条件概率公式可得
P( AB) P( A)P(B | A).
3. 概率的加法公式：如事件B，C互斥，则有
P(B C | A) P(B | A) P(C | A).
因此,王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
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1. 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思 路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案 的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.
解：设A＝“选到有思路的题”, B＝“选到的题做对”, 则由全概率公式, 可得
777 将例5中的问题(2) 一般化，可以得到贝叶斯公式.（选学内容，不作考试要求）
贝叶斯公式：
设A1,A2, ,An是一组两两互斥的事件,A1 A2 An ,且P( Ai ) 0 , i 1,2,,n,则对任意的事件B ,P(B) 0,有
P( Ai
|
B)
P( Ai B) P(B)
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A) 0.50.9 0.50.05 0.475，
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A) 0.50.1 0.50.95 0.525.
或 P(B) 1 P(B) 1 0.475 0.525.
P( A | B) P( AB) P( A)P(B | A) 0.5 0.05 1 .
P(B)
P(B)
0.475 19
巩固训练：
1．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为 0.15，第二车间的次品率为 0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓 库，假设第一、二车间生产的成品比例为 2∶3，今有一客户从成品仓库 中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________．
例6 在数字通讯中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送 的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分 别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0 和1是等可能的. (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.