象山县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

象山县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知抛物线：的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，
C 2
8y x =F P C P 是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
Q PF
C PQ =
PF A ． B ． C ．
D ．20x y --=20x y +-=20x y -+=20
x y ++=2． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（
）
A ．[5，10]
B ．（5，10）
C ．[3，12]
D ．（3，12）
3． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知三个社区分别有低收入家C B A ,,庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从社C 区抽取低收入家庭的户数为（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题．4． 棱台的两底面面积为、，中截面（过各棱中点的面积）面积为，那么（ ）
1S 2S 0S A ． B ． C ．
D
．=
0S =0122S S S =+2
012
2S S S =5． 已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则
{}n a 12a =114
n n n n a a a a ++-=
+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
n （ ）
n =A ． B ．
C ．
D ．3536120
121
6． 在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，点P 在线段AD ′上运动，则异面直线CP 与BA ′所成的角θ的取值范围是（
）
A ．0＜
B ．
0C ．
0D ．
7． 已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面
积为（
）
A ．4﹣
B ．4﹣
C ．
D ． +
8． 在平面直角坐标系中，直线y=x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（
）
A ．4
B ．4
C ．2
D ．2
9． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（
）
A ．（，1，1）
B ．（﹣1，﹣3，2）
C ．（﹣，，﹣1）
D ．（
，﹣3，﹣2
）
10．若关于x 的方程x 3﹣x 2﹣x+a=0（a ∈R ）有三个实根x 1，x 2，x 3，且满足x 1＜x 2＜x 3，则a 的取值范围为（ ）A ．a ＞
B ．﹣
＜a ＜1
C ．a ＜﹣1
D ．a ＞﹣1
11．已知四个函数f （x ）=sin （sinx ），g （x ）=sin （cosx ），h （x ）=cos （sinx ），φ（x ）=cos （cosx ）在x ∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（
）
A ．f （x ）﹣①，g （x ）﹣②，h （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
B ．f （x ）﹣①，φ（x ）﹣②，g （x ）﹣③，h （x ）﹣④
C ．g （x ）﹣①，h （x ）﹣②，f （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
D ．f （x ）﹣①，h （x ）﹣②，g （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
12．设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是
．
14．在空间直角坐标系中，设，，且，则
.
)1,3(，m A )1,1,1(-B 22||=AB =m 15．函数1
()lg(1)1f x x x =++-的定义域是 ▲ ．
16．设，记不超过的最大整数为，令.现有下列四个命题: x R ∈x []x {}[]x x x =-①对任意的，都有恒成立；x 1[]x x x -<≤②若，则方程的实数解为；
(1,3)x ∈{}2
2sin
cos []1x x +=6π-
③若（），则数列的前项之和为；
3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦n N *∈{}n a 3n 231
22n n -④当时，函数的零点个数为，函数的0100x ≤≤{}2
2
()sin []sin
1f x x x =+-m {}()[]13
x
g x x x =⋅-
-零点个数为，则.
n 100m n +=其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

17．已知是函数两个相邻的两个极值点，且在1,3x x ==()()()sin 0f x x ωϕω=+>()f x 32
x =处的导数，则___________．302f ⎛⎫'<
⎪⎝⎭13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
18．在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范
围为__________.
三、解答题
19．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x+a|，g （x ）=x+3．（1）当a=2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；
（2）设a ＞，且当x ∈[，a]时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．
20．（本题10分）解关于的不等式2
(1)10ax a x -++>.
21．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点（a n ，S n ）在y=x 的图象上（n ∈N *），
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若c 1=0，且对任意正整数n 都有
，求证：对任意正整数n ≥2，总有
．
22．已知p ：x ∈A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0，x ∈R}，q ：x ∈B={x|x 2﹣2mx+m 2﹣4≤0，x ∈R ，m ∈R}（1）若A ∩B=[0，3]，求实数m 的值；
（2）若p 是￢q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
23．如图，四边形是等腰梯形，，四边形
ABEF ,2,AB EF AF BE EF AB ====A 是矩形，平面，其中分别是的中点，是的中点．
ABCD AD ⊥ABEF ,Q M ,AC EF P BM
（1）求证: 平面；PQ A BCE （2）平面.
AM ⊥BCM
24．（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．
象山县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．
2．【答案】A
【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b）
即
解得：x=3，y=1
即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b）
∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，
∴3≤3（a﹣b）≤6
∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10
故选A
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a ﹣2b=x （a ﹣b ）+y （a+b ），并求出满足条件的x ，y ，是解答的关键．　
3． 【答案】C
【解析】根据分层抽样的要求可知在社区抽取户数为．
C 249
2
108180270360180108=⨯=++⨯4． 【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
2h ，解得
A ．220(2(a S a h S a S a h
S '
⎧=⎪+⎪
⎨'⎪=+⎪⎩=考点：棱台的结构特征．5． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前项和．由n 114
n n n n
a a a a ++-
=
+得，∴是等差数列，公差为，首项为，∴，由得
2
2
14n n a
a +-={}
2
n a 442
44(1)4n a n n =+-=0n a >．，∴数列的前项和为
n a
=111
2
n n a
a +=
=+
11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
n ，∴，选C ．1111
1)1)52222
+++=-= 120n =6． 【答案】D
【解析】解：∵A 1B ∥D 1C ，
∴CP 与A 1B 成角可化为CP 与D 1C 成角．∵△AD 1C 是正三角形可知当P 与A 重合时成角为
，
∵P 不能与D 1重合因为此时D 1C 与A 1B 平行而不是异面直线，∴0＜θ≤．
故选：D ．
7．【答案】A
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，
则（cosθ+sinθ）=﹣1，
令sinα=，则cosθ=，
则方程等价为sin（α+θ）=﹣1，
即sin（α+θ）=﹣，
∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，
∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1，
则对应的区域为单位圆的外部，
由，解得，即B（2，2），
A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，
直线y=x的倾斜角为，
则∠AOB=，即扇形的面积为，
则P（x，y）构成的区域面积为S=4﹣，
故选：A
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．
8．【答案】A
【解析】解：圆x2+y2﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）2+y2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．
由于弦心距d==2，∴弦长为2=4，
故选：A．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，
因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，
设f（x）=x3﹣x2﹣x，则函数的导数f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，
即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，
在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，
要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，
则﹣1＜﹣a＜，
即﹣＜a＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．　
11．【答案】D
【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；
图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x），
又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x），
那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．
12．【答案】A
【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：已知∴∴为所求；故答案为：
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．
14．【答案】1
【解析】试题分析：，解得：，故填：1.()()()()2213111222=-+--+-=m AB 1=m 考点：空间向量的坐标运算
15．【答案】()()
1,11,-⋃+∞
考点：定义域
16．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然，①是真命题；对于②，由得，1[]x x x -<≤{}2
2sin cos []1x x +=，即.当 时，，，此时{}22sin 1cos []x x =-{}22sin sin []x x =12x <<011x <-<0sin(1)sin1x <-<化为，方程无解；当 时，，，{}22sin sin []x x =22sin (1)sin 1x -=23x ≤<021x ≤-<0sin(2)sin1x ≤-<此时化为，所以或，即或，所以原方
{}22sin sin []x x =sin(2)sin 2x -=22x -=22x π-+=4x =x π=程无解.故②是假命题；对于③，∵（），∴，，，3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦n N *∈1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦3313a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
，…，，，所以数列的前项之和4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦33[]3n n a n n ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦
{}n a 3n 为，故③是真命题；对于④，由3[12(1)]n n +++-+= 23122
n n -
17．【答案】1 2
【解析】
考
点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和，再结合极值点的导数等于零，ω可求出.在求的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用来验证.求出表达式后，ϕϕ302f ⎛⎫'<
⎪⎝⎭()f x 就可以求出.1
13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭18．【答案】8
71-
<<-d 【解析】
试题分析：当且仅当8=n 时，等差数列}{n a 的前项和n S 取得最大值，则0,098<>a a ，即077>+d ，087<+d ，解得：871-<<-d .故本题正确答案为8
71-<<-d .考点：数列与不等式综合.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由|2x ﹣1|+|2x+2|＜x+3，得：
①
得x ∈∅；
②得0＜x ≤；
③得…
综上：不等式f （x ）＜g （x ）的解集为
…
（2）∵a ＞，x ∈[，a]，
∴f （x ）=4x+a ﹣1…
由f （x ）≤g （x ）得：3x ≤4﹣a ，即x ≤
．
依题意：[，a]⊆（﹣∞，
]∴a ≤即a ≤1…∴a 的取值范围是（，1]…
20．【答案】当1a >时，),1(1
,(+∞-∞∈ a
x ，当1a =时，),1()1,(+∞-∞∈ x ，当1a 0<<时，),1()1,(+∞-∞∈a x ，当0a =时，)1,(-∞∈x ，当0a <时，)1,1(a
x ∈.考
点：二次不等式的解法，分类讨论思想.
21．【答案】
【解析】（I ）解：∵点（a n ，S n ）在y=
x 的图象上（n ∈N *），∴
，当n ≥2时，，
∴，化为，
当n=1时，，解得a1=．
∴==．
（2）证明：对任意正整数n都有=2n+1，
∴c n=（c n﹣c n﹣1）+（c n﹣1﹣c n﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1
=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3
==（n+1）（n﹣1）．
∴当n≥2时，==．
∴=+…+=＜
=，
又=．
∴．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，
B={x|m﹣2≤x≤m+2}．
（1）∵A∩B=[0，3]
∴
∴，
∴m=2；
（2）∵p是¬q的充分条件，∴A⊆∁R B，
而C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}
∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，
∴m＞5，或m＜﹣3．
23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.
24．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n+1，
∴a n+1+1=2（a n+1），
又∵a1=1，
∴数列{a n+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a n+1=2n，
∴a n=﹣1+2n；6分
（2）由（1）可知b n=n（a n+1）=n•2n=n•2n﹣1，
∴T n=1•20+2•2+…+n•2n﹣1，
2T n=1•2+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n
=﹣n •2n
=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ，
于是T n =1+（n ﹣1）•2n ．则所求和为 6分
12n
n。