九年级数学 用配方法和公式法解一元二次方程 人教实验版

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
用配方法和公式法解一元二次方程
1. 知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．
2. 理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b 2－4ac ≥0的意义，知道b 2－4ac 的值的符号与方程根的情况之间的关系．
3. 能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．
二. 知识要点：
1. 形如x 2＝p 或（mx ＋n ）2＝p （p ≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．
2. 配方的原理及过程
原理：完全平方公式a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2．
过程：以方程2x 2－3x －1＝0为例．
第一步：二次项系数化为1，移项得x 2－32x ＝12，即x 2－2×x ×34＝12
； 第二步：方程两边同时加上（34）2，x 2－2×x ×34＋（34）2＝12＋（34
）2． 第三步：完成配方，（x －34）2＝1716
． 通过配方，方程的左边变形为含x 的完全平方形式（mx ＋n ）2＝p （p ≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．
3. 用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）用直接开平方法求出方程的根．
4. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a
（b 2－4ac ≥0）．
5. 利用求根公式解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；
（2）计算b 2－4ac 的值；
（3）若b 2－4ac ≥0，则代入求根公式求解．
6. 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），
（1）当b 2－4ac ＞0
时，方程有实数根：a
2ac 4b b x ,a 2ac 4b b x 2221---=-+-=； （2）当b 2－4ac ＝0时，方程有实数根：x 1＝x 2＝－b 2a
； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．
三. 重点难点：
本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．
【典型例题】
例1. 填上适当的数使下列各式成立．
（1）x 2－4x ＋__________＝（x －__________）2；
（2）x 2－14
x ＋__________＝（x －__________）2； （3）x 2＋23
x ＋__________＝（x ＋__________）2． 分析：（1）x 2－4x ＋（－42）2＝x 2－4x ＋4＝（x －2）2；（2）x 2－14x ＋（－14×12
）2＝x 2－14x ＋164＝（x －18）2；（3）x 2＋23x ＋（23×12）2＝x 2＋23x ＋19＝（x ＋13
）2． 解：（1）4，2；（2）164，18；（3）19，13
． 评析：配方是学习配方法解一元二次方程的基本功，主要方法是二次项系数是1的式子
加上“一次项系数一半的平方”，如（2）题中一次项系数为－14，其一半为－14×12＝－18
，（－18）2＝164
．
例2. 用配方法解方程：
（1）x 2＋2x －5＝0；（2）4x 2－12x －1＝0；
（3）（x ＋1）2－6（x ＋1）2－45＝0．
分析：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，所以直接移项、配方、求解即可；方程（2）要先把二次项系数化为1；方程（3）不要急于打开括号，可把（x ＋1）2看成一个整体合并，可避免重复配方．
解：（1）移项，得x 2＋2x ＝5，
配方，得x 2＋2x ＋12＝5＋12，
即(x ＋1)2＝6，∴x ＋1＝±6，
原方程的解是x 1＝－1＋6，x 2＝－1－6．
（2）方程两边都除以4，得x 2－3x －14
＝0， 移项，得x 2－3x ＝14
． 配方得x 2－3x ＋(－32)2＝14＋(－32)2＝104
， 即（x －32）2＝104
． ∴x －32＝±102． 原方程的解是x 1＝32＋102，x 2＝32－102
． （3）将方程整理得
（x ＋1）2－6（x ＋1）2＝45，
－5（x ＋1）2＝45，
（x ＋1）2＝－9，
由于x 取任意实数时（x ＋1）2≥0，则上式都不成立，所以原方程无实数根．
评析：配方法作为一种求解的方法，与其他方法比显得复杂些，为此，除非题目有特别指明用配方法解外，一般不用这种方法，但配方法是一种重要的数学方法，应用很广，应力争掌握好．
例3. 用公式法解下列方程：
（1）4x 2＋4x －1＝－10－8x ；
（2）t 2－22t ＋18
＝0 （3）（x ＋1）（x －1）＝22x ．
分析：本题中的三个题目都不是一般形式，因此，首先要整理成一般形式后，再确定a 、b 、c 的值，然后代入公式求解．
解：（1）将方程化为一般形式，
得4x 2＋12x ＋9＝0，
∵a ＝4，b ＝12，c ＝9，b 2－4ac ＝122－4×4×9＝0，
∴x ＝－12±02×4＝－32． ∴原方程的根是x 1＝x 2＝－ 32
． （2）将方程去分母后整理成一般形式，得8t 2－42t ＋1＝0．
∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，b 2－4ac ＝(－42)2－4×8×1＝0，
∴t ＝42±02×8
＝24． ∴原方程的根是t 1＝t 2＝
24． （3）将方程化为一般形式得：x 2－22x －1＝0．
∵a ＝1，b ＝－22，c ＝－1．
b 2－4a
c ＝（－22）2－4×1×（－1）＝12＞0，
x ＝－（－22）±122×1＝22±232＝2±3， x 1＝2＋3，x 2＝2－3．
评析：用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；②求出b 2－4ac 的值；③若b 2－4ac ≥0，则把a 、b 、c 及b 2－4ac 的值代入一元二次
方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a
，求出x 1、x 2，若b 2－4ac ＜0，则方程没有实数根．
例4. 不解方程判断下列方程根的情况．
（1）4x 2－11x ＝2；
（2）4x 2－x ＋5＝0；
（3）y 2＋14y ＋49＝0；
（4）x 2＋（m ＋2）x ＋m ＝0．
分析：判断一元二次方程的根的情况应先把方程转化成一般形式，再计算b 2－4ac 的值． 解：（1）原方程化为4x 2－11x －2＝0，
a ＝4，
b ＝－11，
c ＝－2，b 2－4ac ＝（－11）2－4×4×（－2）＝153＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
（2）a ＝4，b ＝－1，c ＝5，
b2－4ac＝（－1）2－4×4×5＝－79＜0，
所以原方程没有实数根．
（3）a＝1，b＝14，c＝49，b2－4ac＝142－4×1×49＝0，
原方程有两个相等的实数根．
（4）a＝1，b＝m＋2，c＝m，
b2－4ac＝（m＋2）2－4×1×m＝m2＋4m＋4－4m＝m2＋4，无论m取何值，m2＋4＞0，∴b2－4ac＞0，原方程有两个不相等的实数根．
评析：（1）b2－4ac是对一元二次方程一般形式而言的，计算前必须把方程化成一般形式；（2）当讨论含有字母系数的方程根的情况时，通常把计算结果化成（通过配方）（m＋n）2＋p的形式，由平方数的非负性说明它的符号．
例5.先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值总大于0．再求出当x取何值时，代数式x2－5x＋7的值最小？最小值是多少？
分析：准确配方，利用完全平方公式的非负性确定值的非负性及最小值．
解：x2－5x＋7＝（x－2.5）2＋0.75＞0．
当x＝2.5时，代数式x2－5x＋7的值最小，最小值是0.75．
例6.某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用竹栏围成，竹栏长为40m．
（1）养鸭场的面积能达到150m2吗？能达到200m2吗？
（2）能达到250m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
分析：根据题意列出方程，利用配方法或求根公式解方程，如果方程有解且符合实际意义，则满足要求，否则，不能满足要求．
解：设与墙垂直的一边长为x m，则另一边长（40－2x）m．
（1）当面积为150m2时，x（40－2x）＝150，
整理得：x2－20x＋75＝0，即（x－10）2＝25．
解得x1＝5，x2＝15．
此时的设计方案为：与墙垂直的一边长为5m，另一边长为30m，或与墙垂直的边长为15m，另一边长为10m．
而当面积为200m2时，x（40－2x）＝200，
解得x1＝x2＝10．
此时的设计方案为：与墙垂直的边长为10m，另一边长为20m．
（2）当面积为250m2时，x（40－2x）＝250，此方程无解．
所以养鸭场的面积不能达到250m2．
【方法总结】
1. 如果方程是x2＝p（p≥0）或类似于（mx＋n）2＝p（p≥0）的形式，可得x＝±p或mx＋n＝±p，要熟悉完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
2. 配方法解一元二次方程的主要步骤：
（1）将方程化成ax2＋bx＝－c的形式；
（2）二次项系数化成1，x2＋b
a x＝－
c
a；
（3）配方，两边都加上一次项系数一半的平方，将方程化成x2＝p或（x＋k）2＝p（p ≥0）的形式，从而得x＝±p或x＋k＝±p最终得出方程的根．
3. 公式法解一元二次方程的主要步骤：
（1）化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）确定各项系数的值；
（2）计算b 2－4ac 的值；
（3）当b 2－4ac ≥0时，用求根公式求解，x ＝－b ±b 2－4ac 2a
；当b 2－4ac ＜0时，原方程无实根．b 2－4ac 的值决定方程解的情况．
当b 2－4ac ＞0时，有两个不等实根；
当b 2－4ac ＝0时，有两个相等实根；
当b 2－4ac ＜0时，没有实根．
【预习导学案】
（用因式分解法解一元二次方程）
一. 预习前知
1. 想一想，因式分解有几种方法？
2. 分解因式：
（1）25（7x －3）2－16；（2）5x （2x ＋7）－3（2x ＋7）；
（3）x 2－4x ＋4；（4）（x －1）2＋2x （x －1）．
二. 预习导学
1. 根据“ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”解下列方程．
（1）（x －1）（2x ＋3）＝0；（2）x （x ＋1）＝0；
（3）（x －2）（x ＋1）＝0．
2. 用因式分解法解下列方程．
（1）x 2＋x ＝0；（2）（3x －1）2－1＝0；（3）x 2－2x ＋1＝0．
反思：（1）用因式分解法适合解什么样的一元二次方程？
（2）用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是什么？
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. 下列方程不能用开平方法求解的是（ ）
A. x 2－6x ＋9＝0
B. （x －5）2＝7
C. 4x 2＝1
D. 2y 2＋4y ＋4＝0
2. 用直接开平方法解方程（x －3）2＝8，得方程的根为（ ）
A. x ＝3＋2 2
B. x ＝3－2 2
C. x 1＝3＋22，x 2＝3－2 2
D. x 1＝3＋23，x 2＝3－2 3
3. 用配方法解方程x 2＋3＝4x 时，这个方程可化为（ ）
A. （x －2）2＝7
B. （x ＋2）2＝1
C. （x －2）2＝1
D. （x ＋2）2＝2
*4. 方程x 2＋x －1＝0的根精确到0.1的近似值是（ ）
A. 0.6，1.6
B. 0.6，－1.6
C. －0.6，1.6
D. －0.6，－1.6
5. 一元二次方程x 2－2x －3＝0的根是（ ）
A. x 1＝1，x 2＝3
B. x 1＝－1，x 2＝3
C. x 1＝－1，x 2＝－3
D. x 1＝1，x 2＝－3
*6. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）
A. x 2＋2x －99＝0化为（x ＋1）2＝100
B. t 2－7t －4＝0化为（t －72）2＝654
C. x 2＋8x ＋9＝0化为（x ＋4）2＝25
D. 3x 2－4x －2＝0化为（x －23）2＝109
*7. 下列关于x 的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ）
A. x 2＋1＝0
B. x 2＋2x ＋1＝0
C. x 2＋2x ＋3＝0
D. x 2＋2x －3＝0
**8. 若x 2－2（k ＋1）x ＋k 2＋5是一个完全平方式，则k 等于（ ）
A. －1
B. 2
C. 1
D. －2
二. 填空题
1. 如果（x －2）2＝9，则x ＝__________．
2. 方程（2y ＋1）2－16＝0的根是__________．
3. 方程（x ＋m ）2＝n 有解的条件是__________．
4. 填空：
（1）x 2＋10x ＋__________＝（x ＋__________）2；
（2）m 2－8m ＋__________＝（m －__________）2；
（3）x 2＋3x ＋__________＝（x ＋__________）2；
（4）x 2＋12
x ＋__________＝（x ＋__________）2； （5）x 2－mx ＋__________＝（x －__________）2．
*5. 把下列各式化为（x ＋m ）2＋n 的形式：
（1）x 2－4x ＋7＝__________；（2）x 2＋2x －3＝__________；
（3）x 2＋2x ＋1＝__________；
6. 方程x 2＋5x ＋3＝0中，b 2－4ac ＝_______，由求根公式可得方程的根是x 1＝_______，x 2＝_______．
7. 如果关于x 的方程x 2＋4x ＋a ＝0有两个相等的实数根，那么a ＝__________．
三. 解答题
1. 用直接开平方法解下列一元二次方程：
（1）（x －1）2＝4；（2）4m 2－4m ＝－1；
（3）3（4x －1）2＝48；（4）y 2－2y －8＝0．
2. 用配方法解方程：
（1）x 2－6x －7＝0；（2）x 2－2x －1＝0；
（3）2x 2＋x ＝0；（4）（x ＋1）2＝x －1．
3. 关于x 的二次三项式x 2＋2mx ＋4－m 2是一个完全平方式，求m 的值．
4. 如图，一个5m 长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面3m ，如果顶端下滑1m ，那么，梯子的底端也将滑动1m 吗？请你用所学知识来解释．
5. 若关于x 的方程x 2＋（2k －1）x ＋k 2－74
＝0有两个相等的实数根，求k 的值．
6. 方程x 2＋kx －6＝0的一个根是2，试求另一个根及k 的值．
7. 用100m 长的铁丝围成一个长方形，面积是600m 2，长、宽分别是多少？能否再围成一个面积是800m 2的长方形呢？
【试题答案】
一. 选择题
1. D
2. C
3. C
4. B
5. B
6. C
7. D
8. B
二. 填空题
1. 5或－1
2. y 1＝32，y 2＝－52
3. n ≥0
4. （1）25 5；（2）16 4；（3）94 32；（4）116
14；（5）m 24 m 2 5.（1）（x －2）2＋3；（2）（x +1）2－4；（3）（x +22）2＋12 6. 13，－5＋132
， －5－132
7. 4
三. 解答题
1. （1）x 1＝3，x 2＝－1；（2）m 1＝m 2＝12；（3）x 1＝54，x 2＝－34
；（4）y 1＝4，y 2＝－2 2. （1）x 1＝7，x 2＝－1；（2）x 1＝1＋2，x 2＝1－2；（3）x 1＝0，x 2＝－12
；（4）无实数根
3. 原式＝x 2＋2mx ＋m 2－m 2＋4－m 2＝（x ＋m ）2＋（4－2m 2），因为其为完全平方式，所以4－2m 2＝0，即m ＝±2．
4. 梯子的底端不会滑动1m ．设梯子底端下滑x 米，22＋（x ＋4）2＝52．即x 2＋8x －5＝0，解得x 1＝21－4，x 2＝－21－4（舍去）．因为21＜5，所以21－4＜1．
5. 根据题意（2k －1）2－4（k 2－74
）＝0，即－4k ＋1＋7＝0．解得k ＝2． 6. 把x ＝2代入得22＋2k －6＝0，即k ＝1．当k ＝1时，x 2＋x －6＝0，解之得x 1＝－3，x 2＝2．所以方程另一个根是x ＝－3，k ＝1．
7. 设宽为xm ，则x （50－x ）＝600，解得x 1＝20，x 2＝30．所以当面积为600m 2时，长为30m ，宽为20m ．不能围成面积为800m 2的长方形，理由：设长为xm ，则x （50－x ）＝800，由b 2－4ac ＜0知，方程无解．。