【免费下载】基于课标下的中考几何压轴题的编制过程与反思

基于课标的中考几何压轴题的编制过程及反思
莆田市教师进修学院蔡德清数学试题的设计是一项理论性、技术性很强且十分辛苦的工作。

数学试题大体可分为两大类：一类源于经验，来自外部世界的实际现象；另一类来自数学内部，借助逻辑组合、一般化、特殊化，巧妙地对概念进行分析和综合，提出新的问题（希尔伯特）。

波利亚在《怎样解题》一书中曾说：“我们几乎不能想象有一问题是绝对的新颖，和我们以前解决过的任何问题都不相似，都无关系。

” 综合来说，数学试题来自现实世界和数学自身。

改编试题，是从形式上、考查功能上对原有试题进行改造，产生新试题。

改编试题的方法有很多，包括改变设问角度、改变命题结论的形式、置换题设与结论、强化或弱化条件、采用运动图形、置换题目背景、一般与特殊之间互化、转换题型、题目重组等。

从一个基本数学事实出发，研究其变形、扩张、发展，形成一系列的题组，从中选取合适的题目，是编制解答题的主要方法。

其特点是：通过改换、构造或想象等手段来构造试题，通过探究得到所需结论与效果。

编制解答题常见的方法有：
（1）添加法。

从一个基本图形出发，通过添加若干线段，找出其中所蕴藏的若干有价值的结论，选择适宜的结论，以适当的方式、题型编题。

（2）叠加法。

从两个基本图形出发，通过图形的特殊叠放，或在此基础上添加适当的线段，找出有价值的结论，进行编题。

（3）变换法。

以图形的变换（平移、折叠、旋转）为主要手段构造情境。

（4）运动法。

以点或线或面的运动为主要手段构造情境。

（5）一般化或特殊化。

对情境进行一般化或特殊化处理，看结论是否发生变化。

近些年，全国各地中考出现了一些设计优美、格调清新的集阅读理解、操作、猜想于一体的几何压轴题，这些题的解答过程类似于小课题的探究过程，凸出模型的探究、抽象、概括、应用过程：（1）考生在对问题情境分析的基础上先形成猜想（数学建模的最高层次是借助直觉思维创造性的发现数学事实，正如物理学家、数学家牛顿说：“没有大胆的猜想，就没有伟大的创新。

”）；（2）考生对猜想进行验证(或证明成立，或予以否定)；（3）考生通过证明肯定了猜想之后，作进一步的推广。

课标指出，要重视对学生发现问题、解决问题能力的评价。

随着课标基本理念被一线教师更广泛、更深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增加之势。

考查“合情推理”与“数学活动过程”一类试题，与通常的“知识型”试题在考法上有所不同：其一，考查目标、方向、立意不同，其立意或着眼于“猜想”的重要价值，或着眼于“数学活动过程”中的知识内涵，特别是思想方法内涵；其二，载体不同，其载体既要对学生具有现实性，又要对学生具有新颖性和适度的挑战性，还要紧扣核心知识；其三，呈现方式不同，试题既要考虑“猜想”是否有足够条件，“活动展开”是否有必要提示，又要给学生留下尽可能大的思考、活动空间，以更多地发挥学生的自主性。

以下，笔者以2011年莆田市中考数学卷第25题为例，介绍中考几何压轴题的编制过程与设计技巧。

一、试题立意
考查的目标：作为压轴题，试题要有一定难度（0.2～0.4）与区分度，并要关注对数学活动过程的评价，希望从知识立意、能力立意过渡到过程立意。

因此，试题希望能让学生通过操作、观察、实验、归纳、类比等活动，获得数学猜想正确与否的原理、策略与方法，发展演绎推理与合情推理能力，感悟积极的态度、科学的思想方法的意义和作用，促进创新精神的养成及学习能力的提高，进而对教学产生良好的导向作用。

考查的要求（课标）：考生经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能，在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。

考生获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

命题组据此确定试题要以三角形或四边形为载体，以初中数学的几何核心知识和方法为基础，以全等和相似为工具，通过图形变换——旋转(当时不考虑折叠是基于教材中把旋转单独列为一节)来考查几何问题的证明与计算。

反思：试题立意是试题编制的出发点和落脚点，具有导向和制约功能。

它包括考试内容、考查目的和各种量化指标（试题难度、信度、效度等）。

一道试题，既可用知识内容立意，也可用能力要求立意，还可用问题和情境立意。

当考试的试题是以知识考查为主线时，多数试题将以知识内容立意；若试卷是以数学能力考查为主线时，多数试题则应以能力要求立意；而一些综合性比较强的实际应用型的试题，则宜以问题和情境立意。

二、试题选材 命题组根据命题的指导思想开始寻找原型. 原型1（2008年莆田市初三质检数学题）：（1）探究：如图1，E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°，请猜测并写出线段DF 、BE 、DF 之间的等量关系（不必证明）。

（2）变式：如图2，E 、F 分别在四边形ABCD 的边BC 、CD 上，∠B ＋∠D ＝180°，
AB ＝AD ，∠EAF ＝∠BAD ，则线段BE 、EF 、FD 的等量关系又如何？请加以证明。

12
（3）应用：在条件（2）中，若∠BAD ＝120°，AB ＝
AD
＝
1，BC ＝CD （如图3），求此时△CEF 的周长。

图1 图2 图3
原型1要求学生研究简单图形（正方形）中线段的等量关系和证明方法，从中掌握分析问题的思路和解决问题的方法、步骤，然后引申、拓展，找到规律，从而解决了一般图形（四边形）的类似问题，最后，又在隐蔽的背景中考查规律的应用。

试题改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，解题过程体现了从特殊到一般的数学思想，这有助于学生加深对问题的理解，提高综合解题能力，形成创新意识。

从学生答题情况以及试题的难度、信度、效度等指标看，试题都符合考查目标，得到师生的一致好评。

因此，中考命题组希望能对该题进行变式、拓展，通过寻找相关资料，命题组提出了以下一些模型：
模型1：从运动观点提出问题。

将“E 、F 分别是BC 、CD 上的点”改为“E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点 ”，要求学生探索线段EF 、BE 、FD 之间关系，并加以证明。

模型2：改变情境提出问题。

如图4，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 、N 为斜边AB 上两点，满足∠MCN ＝45°，求证：AM 2＋BN 2＝MN 2。

图4 图5
模型3：如图5，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M、N分别是在AB、AC上，∠MDN＝60°。

则△AMN的周长为多少？
模型4：如图6，用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD 。

把一个三角尺的60°角顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。

将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(如图6)，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？请证明你的结论。

(2)当三角尺的两边分别与菱的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时(如图7)，你在(1)中得到的结论还成立吗？请
简要说明理由。

图6 图7
当时我感觉，若试题只从一般化或特殊化的角度去改编的话，考查的内容与所用的方法没有实质性的突破，作为压轴题略显单薄。

一般地，特殊图形的特殊摆放通常包含了某种规律，从审视模型4中，我们有所收获，当时就想“能不能采用叠加方法”。

命题组提出了如正方形中叠加等腰直角三角形、120°的等边三角形菱形叠加60°的三角形，120°的菱形叠加等边三角形等模型。

与此此时，命题组又找到了一个原型：
原型2(人教版义务教育课程标准实验教科书九上第二十三章《旋转》第三节习题拓广探索第8题)：过菱形对角线交点的一条直线，把菱形分成了两个梯形，这两个梯形是全等
的吗？为什么？
图8
经过摸索、探究，命题组确定以“120°的菱形叠加等边三角形”为模型，让等边三角
形旋转，考查几何核心知识，这样的试题载体源于教材，能体现公平性。

反思：数学试题载体的遴选原则是选择核心内容与方法。

选材是根据立意进行的，但
立意与选材往往交织在一起，不管谁先谁后，二者须同时考虑、相互兼顾，经过反复多次
的“修剪”，使选材符合立意。

选材有两种思路：一是由低到高、由简到繁、由浅到深；二是由高到低，由繁到简、
由深到浅。

尽管思路不同，出发点也不同，选材只为一个目的，实现对考生数学能力的考
查。

设计试题的框架结构时，我们应以所选的题材为依据，采用与之相适应的结构架式，如此，进入构题阶段后，方能将较为朦胧的想法具体化、明朗化。

建立试题的框架结构时，应注意主干硬朗、层次分明、清楚，有了架构，再形成题坯，把题设和提问写出。

命题教师切勿忙于文字处理，只须写出要点，提问可以分步进行，当然，也可一步到位只提出一个问题。

命题教师须将基本解法和各种可能出现的解法一一列出，以便比较。

作为试题模坯，应力求留有余地，使之具有一定的弹性和伸缩性，也即题设条件要便于增加或减少，提问有多种角度可供调换，这样，试题的难度容易调节。

三、试题加工
试题的加工与调整要经历以下几个主要过程：
（1）第一步，以教材习题为主，要求证明“两个梯形面积相等或”，后改CG AN =为证明“点即为等边的外心”，目的是能以三角形的中心为主线，使试题更加和O AEF ∆谐统一。

（2）菱形边长为，改为边长为1，目的是降低难度。

a （3）第二步“证明点落在直线上”，改为猜想“的外心落在哪一直线P BD AEF ∆P 上”，希望在试题中渗透数学活动的过程（类比、猜想、从特殊到一般）。

（4）添加小题的启发性语言：特殊发现、猜想验证、拓展应用，使试题更能体会新课程理念，考查的目标更明确，试题也让人感觉清新、自然。

经过以上的加工与调整，成题如下：
已知菱形的边长为1，，等边两边分别交边、ABCD 060ADC ∠=AEF ∆DC 于点、。

CB E F （1）特殊发现：如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形E F DC CB 对角线、的交点即为等边的外心；ABCD AC BD O AEF ∆ （2）若点、始终在分别在边、上移动，记等边的外心为点。

E F DC CB AEF ∆P ①猜想验证：如图9，猜想的外心落在哪一直线上，并加以证明；AEF ∆P ②拓展运用：如图:10，当面积最小时，过点任作一直线分别交边于点，AEF ∆P DA M 交边的延长线于点，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不DC N 1
1DM DN
+是，请说明理由。

图9 图10 图11
理论反思：有了题坯之后，接着的工作是深加工和细琢磨。

这是单题编制的中期调整阶段，命题教师必须十分认真，每一个细小环节都得考虑到，包括试题的陈述、答案的编写、评分标准的制定，都得在这一步中完成。

试题的加工和调整，首先要确保试题的科学性和适标性，试题素材、求解方式等要体现公平性，几个问题之间应存在有机联系。

其次保证试题有较好的效度、合理的难度。

试题内容与结构应当科学、题意明确，试题表述应准确、规范，要避免因文字阅读困难而造类管路习题到位。

在管路敷验；对设备进行调整使其在最大限度内来确保机组高中
成的解题障碍；试题设计与其要达到的评价目标相一致；试题的求解过程应反映课标所倡导的数学活动方式，如，观察、实验、猜测、验证、推理等，而不能仅仅是记忆、模仿。

调整试题难度时，应体现对考生数学思维水平（如抽象程度、多样化、逻辑性、形式化等）和对数学理解与应用能力等方面的考查。

常用的难度调节方法有：
改变提问方式。

如，将证明题改变为探索题。

将结论隐蔽起来，可提高难度；增加中间的设问，把单问改变为分步设问，无异于给出提示，可降低难度；又如，改变设问的角度，这样做也较大程度地改变试题的难度。

改变题设条件。

如，适当增删已知条件，隐蔽条件明朗化，明显条件隐蔽化，直接条件间接化，间接条件直接化，抽象条件具体化，具体条件抽象化，条件参数的变更等，都可使试题的难度发生变化。

改变综合程度。

如，增减知识点的组合，调整解题方法的结构，变换知识和方法的综合广度或者深度等，会使试题的难度有所变化。

初审意见：文章通过一道中考数学压轴题的编制成型过程，揭示了中考数学压轴题的特点、成题规律，对一线教师更好地理解数学中考、更好地开展中考数学复习提供了很好的范例，对问题的研究应是先定方向、再推细节。

4443字，加12图，3.5码。