高考真题试卷(湖北卷)数学(文科)参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．32
-
12．8 13．3
14．
15128
15．1
10110010111610t t t y t -
⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪
=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
解：
（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∵ π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π
2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛
⎫
+- ⎪⎝
⎭≤≤，
max min ()3()2f x f x ==，∴．
（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(1
4)，． 17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及
应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．
（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．
依题意π
6
CBH ∠=
，所以 在CHD Rt △
中，sin 2
CH a θ=
； 在BHC Rt △中，πsin
62
a CH a ==，
sin 2
θ=
∴． π02θ<<
∵，π4
θ=∴． 故当π4θ=
时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6
． 解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(000)(00)(00)000tan 222a a
C A a B a
D V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
，，，，，，，，，，，，，，
于是，tan 222a a VD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，，，(0)AB a a =-u u u r ，，． 从而2211(0)0002222a a AB
CD a a a a ⎛⎫
=-=-++= ⎪⎝⎭
u u u r u u u r ，，，，··，即AB CD ⊥．
同理22
11(0)tan 002222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r ，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =I ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．
∴平面VAB ⊥平面VCD ．
（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，
则由00AB VD ==u u u r
，··n
n ．
得0tan 0222
ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-
=⎪⎩，．
可取(11
)θ=n ，又(00)BC a =-u u u r
，，，
于是
π
sin
62
BC
BC
θ
===
u u u r
u u u r
n
n
·
·
，
即sin
2
θ=
π
2
θ
<<
∵，
π
4
θ
∴=．
故交
π
4
θ=时，直线BC与平面VAB所成的角为
π
6
．
解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC DB
，所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(000)000000
222
D A a B a C
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，，，，，，，，，
，
0tan
22
V a aθ
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
，，，于
是0tan
22
DV a aθ
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
u u u r
，，
，00
2
DC a
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
u u u r
，，
，
(00)
AB=
u u u r
，．
从而(00)
AB DC=
u u u r u u u r
，
·000
2
a
⎛⎫
-=
⎪
⎪
⎝⎭
，，
·，即AB DC
⊥．
同理(00)0tan0
22
AB DV a aθ
⎛⎫
=-=
⎪
⎪
⎝⎭
u u u r u u u r
，，，
·，即AB DV
⊥．
又DC DV D
=
I，AB⊥
∴平面VCD．
又AB⊂平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为()
x y z
=，，
n，
则由00
AB DV
==
u u u r u u u r
，
··
n n
，得
tan0
22
ax azθ
=
⎨
-+=
⎪
⎩
，
．
可取(tan01)
nθ
=，，
，又0
BC
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭
u u u r
，，，
于是
tan
π
sin
62
a
BC
BC
θ
θ
===
u u u r
u u u r
n
n
·
·
，
即
πππ
sin0
224
θθθ
=<<
，，
∵∴=． A
故交π
4
θ=
时， 即直线BC 与平面VAB 所成角为
π6
． 18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2
kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ， 则依题意有2
2
()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+， 又由已知条件，2
242k =·，于是有6k =，
所以32
()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，
． （Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---．
故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f
=，(12)11264f =，所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大．
19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令2
()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，
则由题意可得01012
(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<
<⎪⎨⎪>⎪
>⎪⎩，
，，
，0113
3a
a a a ⎧>⎪
⇔-<<⎨⎪
<->+⎩，，03a ⇔<<-
故所求实数a 的取值范围是(03-，
． （II ）2
(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==g ，令2
()2h a a =．
Q
当
a >时，
()
h a 单调增加，
∴
当
03a <<-时，
20()(32(32(17h a h <<-=-=-
1216
=<，即1
(0)(1)(0)16f f f -<g ．
解法2：（I ）同解法1．
（II ）Q 2
(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I
）知03a <<-，
1170-<<∴
．又10+>，于是
22111
2(321)1)0161616a a -
=-=-+<， 即2
12016a -
<，故1
(0)(1)(0)16
f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2
(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得
121x x a +=-，12x x a =，于是12121212
1200010(1)(1)0(1)(1)0
x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪
<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，
，，，
0133a a a a ⎧>⎪
⇔<⎨⎪
<->+⎩，
，
03a ⇔<<- 故所求实数a
的取值范围是(03-，
． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得
12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--
22
11221112216
x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫
<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问
题能力和推理能力．
解法1：（I ）证：由1
n n b q b +=
n q ==，∴ 22()n n a a q n +=∈N*． （II ）证：2
2n n a q q -=Q ，
22221231n n n a a q a q ---∴===L ，222222n n n a a q a q --===L ， 22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．
{}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．
（III ）由（II ）得
2221
111n n q a a --=
，222211n
n q a a
-=，于是 1221321242111111111n n n a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫
+++=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L L L
24222422121111111111n n a q q q a q q q --⎛⎫⎛⎫
=
+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L L
2122311112n q q q -⎛⎫
=++++ ⎪⎝⎭
L ． 当1q =时，
2422122111311112n n a a a q q q -⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭
L L
3
2
n =
． 当1q ≠时，
2422122111311112n n a a a q q q -⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭
L L
223121n q q --⎛⎫
-= ⎪-⎝⎭
2222312(1)n n q q q -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦
． 故2122222
3
121111 1.(1)n
n n n q q a a a q q q -⎧=⎪⎪
+++=⎨⎡⎤
3-⎪≠⎢⎥⎪2-⎣⎦
⎩L ， ，
， 解法2：（I ）同解法1（I ）．
（II ）证：
222*1212221221221222()22n n n n n
n n n n n
c a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++N ，又11225c a a =+=， {}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．
（III ）由（II ）的类似方法得22
2221212()3n n n n a a a a q
q ---+=+=， 34212121221234212111
n n n n n
a a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L ， 2222
212442123322
k k k k k k k a a q q
a a q --+---+==Q ，12k n =L ，，，．
2221221113(1)2
n k q q a a a --+∴
+++=+++L L ． 下同解法1．
21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，
直线AB 的方程为y kx p =+，与2
2x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．
消去y 得22220x pkx p --=．
由韦达定理得122x x pk +=，2
122x x p =-．
于是12122
AMN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．
12p x x =-=
2p
==，
∴当0k =
，2min ()ABN S =△．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，
设AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ， 则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为112
2x y p +⎛⎫
⎪⎝⎭，．
12O P AC '=
==∵， 111
222
y p O H a a y p +'=-
=--， 222
PH O P O H ''=-∴22
1111()(244y p a y =+---1()2p a y a p a ⎛
⎫=-+- ⎪⎝
⎭，
2
2(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
．
令02p a -
=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =， 即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
12AB x =-==
2=
又由点到直线的距离公式得
d =
从而
1
12222
ABN S d
AB p ===△···
∴当0k =时，2max ()ABN S =△．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为
11(0)()()()0x x x y p y y -----=，
将直线方程y a =代入得2
11()()0x x x a p a y -+--=，
则2
1114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤
⎛
⎫=---=-
+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，
则有34PQ x x =-=
=．
令02p a -
=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =， 即抛物线的通径所在的直线．。