苏州市高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(含答案解析)

一、选择题
1．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）
A ．21
B ．22
C ．23
D ．13
2．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ）
A ．a c b +-
B ．a +2b c -
C ．c b a +-
D ．a c +-2b 3．长方体12341234A A A A B B B B -的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合12{|i j x x A B A B =⋅，{1,2,3,4},{1,2,3,4}}i j ∈∈中元素的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，
1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，AMB ∠=（ ）
A ．512π
B ．3π
C ．4π
D ．6
π 5．已知向量(2,0,2)a =-，则下列向量中与a 成45的夹角的是（ ）
A ．(0,0,2)
B ．(2,0,0)
C ．()0,2,2
D ．()2,2,0- 6．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为
13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．π C ．23π D ．2
π 7．如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论： ①三棱锥1A D PC -的体积不变；
1//A P ②平面1ACD ；
1DP BC ⊥③；
④平面1PDB 平面1ACD ．
其中正确的结论的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 8．正方体ABCD —A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与CN 所成角的大小为
A ．0°
B ．45°
C ．60 °
D ．90°
9．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )
A ．
12 B ．22 C ．13
D ．16
10．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）
A ．121+232OA O
B O
C - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +-
D ．211322
OA OB OC -- 11．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）
A ．3λ
B ．22
C ．23λ
D ．55
12．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1PA AB BC ===，则二面角A PC B --的大小是（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
二、填空题
13．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则有以下四个结论，其中结论正确的是__________________.（请将你认为正确的结论的序号都填上，注意：多填、错填、少填均不得分.）
①//AC 截面PQMN ；
②AC BD ⊥；
③AC BD =；
④异面直线PM 与BD 所成的角为045.
14．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz 面对称的点的坐标为__________ 15．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()
00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 16．如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-中，1,2,AB AD AA BAD BAA ===∠=∠''60DAA =='∠，则AC '的长为__________
17．已知(1,2,1),(2,2,2)A B -，点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标为____________.
18．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1BC 上一点，且12BD DC =设1,,,AB a AC b AA c ===用a ,b ,c 表示向量AD ，则AD =_____________.
19．若空间直角坐标系中点()()2,5,1,1,4,2,C(3,3,)A B m n -----+-在同一条直线上，则m n +=_________．
20．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，面11A ADD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AD =，3CD =，面11A D DA 为菱形，160A AD ∠=，O 是AD 的中点，M 为CD 的中点，问AN =_______时，面DNC ⊥面1
AOM ．
三、解答题
21．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点.
（1）证明：AE //平面BDC 1；
（2）若123
AA =DE 与平面BDC 1所成角的正弦值. 22．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，//CF DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．
（1）求证：//CF 平面ADE ；
（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．
23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且3AD PD ==，33PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，点E 为线段PC 的中点.
（1）求证：DE ⊥面PBC ；
（2）若点F 在线段AB 上，且13
AF AB =，求二面角C DE F --的平面角的正弦值. 24．如图，在三棱锥P ABE -中，AB AE ⊥，PA ⊥平面ABE ，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122
AB AP AE ===.
（1）求证：//CD 平面PAB ；
（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正弦.
25．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分
别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．
（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；
（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．
26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是直角三角形，侧面11ABB A 是矩形，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，13BC =．
（1）证明：BC 1⊥AC ．
（2）E 是棱CC 1的中点，求直线B 1C 与平面ABE 所成角的正弦值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2
HP 的范围.
【详解】
根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：
作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥
作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离.
设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤
∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长
∴PN PF =
由两点间距离公式可得()()2212x x z =
-+-()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥
综上可得132
x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中2
22HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
所以213HP ≥（当时2x = 取等）
故选:D
【点睛】
本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题.
2．D
解析：D 【分析】
作出图形，根据条件得出BD BA BC =+，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案.
【详解】
如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+， 在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-，
在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
3．C
解析：C
【分析】
建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解．
【详解】
由题意，因为正方体12341234A A A A B B B B -的底面为班车为1的正方形，高为2， 建立如图所示的空间直角坐标系，
则12341234(1
,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2)A A A A B B B B ， 则12(1
,0,2)A B =-， 与11(0,0,2)A B =相等的向量为223344A B A B A B ==，此时1211224A B A B ⋅=⨯=， 与14(0,1
,2)A B =-相等的向量为23A B ，此时1214224A B A B ⋅=⨯=， 与41(0,1,2)A B =相等的向量为32A B ，此时1241224
A B A B ⋅=⨯=， 与21(1,0,2)A B =相等的向量为34A B ，此时1221143
A B A B ⋅=-+=， 与12(1
,0,2)A B =-相等的向量为43A B ，此时1212145A B A B ⋅=+=， 体对角线向量为13(1
,1,2)A B =--，此时1213145A B A B ⋅=+=， 24(1,1,2)A B =-，此时1224143A B A B ⋅=-+=，
31(1,1,2)A B =，此时1231143A B A B ⋅=-+=，
42(1,1,2)A B =-，此时1242145A B A B ⋅=+=，
综上集合11{|,{1,2,3,4},{1,2,3,4}}{3,4,5}i j x x A B A B i j =⋅∈∈=，集合中元素的个数为3个．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．B
解析：B
【分析】
以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．
【详解】
以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，
设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，
设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，
·0·
0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，
平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为
6π， 22||cos 6||||1
m n m n a b π
∴==++， 解得22331a b +=，
∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a == tan 33
AB AMB BM ∴∠=== 3AMB π∴∠=
． 故选B ．
【点睛】
本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5．B
解析：B
【分析】
根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到答案
【详解】 根据夹角余弦值cos a b a b θ⋅= 对于A 若()b 0,0,2,=则-222==-222a b a b ⋅⨯2cos 452︒=，故不符合条件 对于B 若()b 20,0,=，则222==222a b
a b ⋅⨯2cos 452
︒=，故符合条件 对于C 若(b 0,22,=，则-21==-cos 45222
a b a b ⋅≠︒⨯，故不符合条件 对于D 若()b 2-2=
，，则21=
=cos 45222a b a b ⋅≠︒⨯，故不符合条件 故选B
【点睛】 本题考查了向量的数量积，运用公式代入进行求解，较为简单
6．C
解析：C
【分析】
作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案．
【详解】
如下图所示，
易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ．
所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．
因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 2＝BN 2+DN 2﹣
2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯
=， 则BD ＝2．
故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的
14，又正四面体的高为棱6，故662R == 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244(
63R πππ=⨯=． 故选C ．
【点睛】
本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．
7．C
解析：C
【分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】
对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，
故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，
所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；
对于②，连接1A B ，11AC ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BAC 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；
对于③，由于DC ⊥平面11BCBC ，所以1DC BC ⊥，
若1DP BC ，则1BC ⊥平面DCP ，
1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，
可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．
故选C ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．
8．D
解析：D
【分析】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系,利用向量1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =-的数量积为0，即可求解.
【详解】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，
由图可知(1,0,0)M ，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,1)N ，
所以1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =-
所以1cos ,0B M CN 〈〉=
所以异面直线B M '与CN 所成的角为90︒．
故本题正确答案为D ．
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角，属于基础题.
9．C
解析：C
【分析】
根据题意，以D 为坐标原点，直线1DA
DC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由AC ，1AD 即可求得平面1ACD 的法向量n ，而1D E 在n 上的投影即为点E 到面1ACD 的距离，即可求得结果
【详解】
以D 为坐标原点，直线1DA
DC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则()11
01A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110
E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，
设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则
100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a b a c =⎧⎨=⎩
可取()21
2n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133
D E n d n ⋅+-=
== 故选C
【点睛】
本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。

10．D
解析：D
【解析】
分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O 出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O 出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果. 详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322
OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 11．D
解析：D
【分析】
由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解
【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），
1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），
设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020
n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），
∴点M 到平面
D 1EF 的距离为：d ＝||2||55
EM n n ⋅=
=，N 为EM 中点，所以N 到该 故选：D ．
【点睛】
本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题 12．C
解析：C
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值；
【详解】
解：如图建立空间直角坐标系，因为1PA AB BC ===，所以()0,0,0A ，
()2,0C ，22B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()
0,2,1CP =-，22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 显然面APC 的一个法向量可以为()1,0,0n =，
设面BPC 的法向量为(),,m x y z =
则·0·0m CP m BC ⎧=⎨=⎩，即2022022z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =则2z =，1x =，所以(2m = 设二面角A PC B --为θ，则
()2221cos 21112n m n m θ===⨯++
所以60θ=︒
故选：C
【点睛】
本题考查利用空间向量法求二面角，属于中档题.
二、填空题
13．①②④【分析】根据线面平行的判定定理可判断①；同①以及正方形的特征可判断②；根据异面直线所成的角可判断④；根据题中条件若不是其所在线段中点时可判断③【详解】因为是正方形所以所以平面又平面平面于所以所
解析：①②④
【分析】
根据线面平行的判定定理可判断①；同①以及正方形的特征可判断②；根据异面直线所成的角可判断④；根据题中条件，若P Q M N 、、、不是其所在线段中点时可判断③
【详解】
因为PQMN 是正方形，所以//PQ MN ，所以//PQ 平面ACD ，又平面ACD ⋂平面ABC 于AC ，
所以//AC PQ ，所以//AC 截面PQMN ，故①正确；同理可得//BD MQ ，所以AC BD ⊥，即②正确；又//BD MQ ，PMQ 45∠=︒，所以异面直线PM 与BD 所成的角为045，故④正确；
根据已知条件，无法确定AC BD 、长度之间的关系，故③错.
故答案为①②④
【点睛】
本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记相关知识点即可求出结果，属于常考题型. 14．(-123)【分析】在空间直角坐标系中点（xyz ）关于平面yoz 对称的点坐标是（-xyz ）【详解】在空间直角坐标系中点（123）关于平面xoy 对称的点坐标是（-123）故答案为（-123）【点睛】本
解析：(-1，2，3)
【分析】
在空间直角坐标系中，点（x ，y ，z ）关于平面yoz 对称的点坐标是（-x ，y ，z ）．
【详解】
在空间直角坐标系中，
点（1，2，3）关于平面xoy 对称的点坐标是（-1，2，3）．
故答案为（-1，2，3）．
【点睛】
本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．
15．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题
解析：【分析】
设空间向量(),,c m n z =，由已知条件可得m 、n 的值，由对任意x ，y R ∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b -+-+=得：||1z =，进而得到答案．
【详解】 解：空间向量(1,0,0)a =，13(,22
b =， 设空间向量(),,
c m n z =，
2c a ⋅=，52c b ⋅=
，
2m ∴=，1
522
m = 2m ∴=，3n =，
∴空间向量()2,3,c z =，
又由对任意x ，y R ∈，()()001c xa yb c x a y b -+≥-+=，
则||1z =，
故(22c =+=
故答案为：【点睛】
本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．
16．【解析】所以
【解析】
222
22||222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC =++=+++⋅+⋅'''⋅'+'
222000112211cos60221cos60212cos6011=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 所以11AC =' 17．【解析】设P(00z)由|PA|=|PB|得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2解得z=3故点P 的坐标为(003)
解析：()003，
， 【解析】
设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2，解得z=3，故点P 的坐标为(0,0,3). 18．【解析】试题分析：考点：平面向量基本定理
解析：122333
a b c ++ 【解析】
试题分析：
()()111222333AD AB BD AB BC AB BC CC AB AC AB CC =+=+
=++=+-+ ()
21223333a b a c a b c =+-+=++ 考点：平面向量基本定理
19．-10【解析】试题分析：因为点共线所以共线则解得所以考点：点共线与向量共线
解析： -10
【解析】
试题分析：(3,1,1)AB =--，(1,2,1)AC m n =++，因为点,,A B C 共线，所以,AB AC 共线，则121311m n ++==--，解得，所以10m n +=-．
考点：点共线与向量共线．
20．【分析】证明出平面然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设点利用空间向量法结合面面可求得的值即可得出结论【详解】因为四边形为菱形则为的中点由余弦定理可得平面平面平面平面平面所以平面以点
解析：43
【分析】
证明出1
AO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()1,,0N t ，利用空间向量法结合面DNC ⊥面1AOM 可求得t 的值，即可得出结论.
【详解】
因为四边形11A D DA 为菱形，2AD =，则12AA =，
O 为AD 的中点，160A AD ∠=，1AO ∴=，
由余弦定理可得222
1
1112cos 3AO AA AO AA AO A AD =+-⋅∠=，22
21
1AO AO AA ∴+=， 1
AO AD ∴⊥， 平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11
A ADD 平面ABCD AD =，1AO ⊂平面
11A ADD ，
所以，1
AO ⊥平面ABCD ， 以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()0,0,0O
、(1
3A 、31,,02M ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭、()1,0,0D -、(13C -,设点
()1,,0N t ，
设平面DNC 的法向量为()111,,m x y z =，()2,,0DN t =，(13DC =-，
由11111120
330
m DN x ty m DC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取13x t =，则123y =-16z t =+， 可得(
)
3,23,6m t t =
-+，
设平面1
AOM 的法向量为()222,,n x y z =，(13OA =，31,,02
OM ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
， 由1222303
2n OA z n OM x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，取23x =，则22y =，20z =，可得()3,2,0n =， 因为平面DNC ⊥平面1
AOM ，则(3322333430m n t t ⋅=⨯+⨯-=-=，解得4
3
t =
.
因此，当4
3
AN =时，平面DNC ⊥平面1
AOM . 故答案为：43
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用面面垂直求线段长度，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，将面面垂直的问题转化为法向量垂直来求解.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2
）20
. 【分析】
（1）以A 为原点，过A 在平面ABC 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明//AE 平面1BDC ．
（2）求出平面1BDC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出DE 与平面1BDC 所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：以A 为原点，过A 在平面ABC 作AC 的垂线为x 轴，
AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
(0A ，0，0)
，B 3，0)，(0C ，6，0)
，E ，9
2
，0)，
设12AA t =，(0D ，0，)t ，1(0C ，6，2)t ， 33
(
2AE =，92
，0)，(33DB =3，)t -，1(0DC =，6，)t ，
设平面1BDC 的法向量(n x =，y ，)z ，
则1333060n DB x y tz n DC y tz ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪
⎩，取1y =，则(3n =-，1，6
)t -，
0AE n ⋅=，AE ⊂/平面1BDC
， //AE ∴平面1BDC ．
（2）1CC =，(0D
，0，33
(
2DE =，92
，， 由（1）知，平面1BDC 的法向量(3n =-
，1，，即(3n =-，1，-，
设DE 与平面1BDC 所成角为θ， 则DE 与平面1BDC 所成角的正弦值为：
||630
sin 20||||430
DE n DE n θ⋅=
==⋅．
【点睛】
方法点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 22．（1）证明见解析；（2）23
. 【分析】
（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，由平面几何证得四边形CMEF 为平行四边形，再由线面平行的判定可得证；
（2）由已知以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，运用二面角的向量求解方法可求得平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【详解】
（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，则//
AM BC
=，∴四边形ABCM 为平行四边形，
//
AB MC
∴=，四边形ABEF 为矩形 //
AB EF ∴=，//MC EF
∴=， ∴四边形CMEF 为平行四边形，//
CF EM
∴=， 又CF ⊂/平面ADE ，M E ⊂平面ADE ，
//CF ∴平面ADE ；
（2）
点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD ，
如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，
(2,0,4)F ，
(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =-
设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则
00n CD n CF ⎧⋅=⎨
⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩
，令2y =，解得2
1x z =⎧⎨=⎩，(2,2,1)n ∴=， 又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2
cos ,3
||||n AD n AD n AD ⋅∴〈〉=
=⋅，
∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为2
3
．
【点睛】
方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.
1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上.
2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.
3、求：求出两个面的法向量.
4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；
5、取：根据二面角的范围()0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值. 23．（1）证明见解析；（2）239
13
【分析】
（1）由面PCD ⊥面ABCD ，BC CD ⊥可得BC ⊥面PCD ，则BC DE ⊥，又
DE PC ⊥，即可证得结论；
（2）过D 点作DC 的垂线DZ ，则DZ ⊥面ABCD .以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DZ 为
z 轴建立空间直角坐标系，分别求得面DCE 的法向量为1n ，面DEF 的法向量为2n ，计
算即可得出结果. 【详解】
证明：（1）∵PD AD DC ==，E 为PC 中点，∴DE PC ⊥. ∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD 面ABCD CD =，BC CD ⊥，
∴BC ⊥面PCD ，
∵DE ⊂面PCD ，∴BC DE ⊥. ∵PC BC C ⋂=，∴DE ⊥面PBC . （2）∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD
面ABCD CD =，在面PCD 内，过D 点作DC
的垂线DZ ，则DZ ⊥面ABCD .如图，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DZ 为z 轴建立空间直角坐标系，
∴()3,1,0F ，3330,,44E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0C ，()0,0,0D ，()0,3,0DC =，
3330,,44DE ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，()3,1,0DF =.
设面DCE 的法向量为1n ，由面PCD ⊥面ABCD ，可得()11,0,0n =，设面DEF 的法向
量为()2,,n x y z =，2200n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即333044
30
y z x y ⎧+
=⎪⎨⎪+=⎩
，令1x =，求得()
21,3,3n =-，
121cos ,13n n =
，设二面角C DE F --的平面角为θ，∴239
sin 13
θ=
.
【点睛】
思路点睛：解决线面角、二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 24．（1）证明见解析；（2）10
10
. 【分析】
（1）利用直角三角形求出BE ，由1
2
AC BE =
可知C 是BE 的中点，由中位线求出CD
AB ，即可求证结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦.
【详解】 （1）因为
1
22
AE =，所以4AE =，又2AB =，AB AE ⊥， 所以2
2
2
2
2425BE AB AE =+=+=，又因为1
52
AC BE ==， 所以AC 是Rt ABE △的斜边BE 上的中线， 所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点 所以CD 是ABE △的中位线，所以//CD AB ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，
所以//CD 平面PAB ．
（2）据题设知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为
x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为1
22
AB AP AE ==
=，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，
所以()040E ，
，，()120C ，，，()002P ，，，()020D ，，， 所以()042PE =-，
，，()122PC =-，，，()100CD =-，，， 设平面PCD 的一个法向量为()n x y z →
='''，，，
则0
n CD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，
所以0
x z y
=⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n →=，，， 设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10
sin PE n
PE n
θ→→
⋅=
=
⋅故直线PE 与平面PCD 10 【点睛】
方法点睛：向量法求线面角的方法就是求出平面的法向量，然后通过斜线向量与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值得到线面角的正弦大小，属于中档题．
25．（1）证明见解析；（2
【分析】
（1）证明EF ⊥平面1A AMN 即可得面面垂直；
（2）求出BE 与EF 的夹角的余弦值，利用EF 是平面1A AMN 的法向量，易得线面角的正弦值． 【详解】
（1）因为侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，所以1BB BC ⊥，
1//MN BB ，从而BC MN ⊥，
又ABC 是正三角形，M 是BC 中点，所以AM BC ⊥，
因为AM MN M ⋂=，,AM MN ⊂平面1A AMN ，所以BC ⊥平面1A AMN ，
11//B C 平面ABC ，11BC ⊂平面11B C FE ，平面
ABC 平面11B C FE EF =，所以
11//B C EF ，而11//BC B C ，所以//EF BC ，所以EF ⊥平面1A AMN ，EF ⊂平面11B C FE ，
所以平面111A AMN EB C F ⊥； （2）EF
AM P =，连接PN ，
//AO 平面11EB C F ，平面11EB C F
平面1A AMN PN =，AO ⊂平面1A AMN ，所以
//AO PN ，又由三棱柱的性质得//ON AP ，所以APNO 是平行四边形，所以AP NO =，
O 是111A B C △的中心，则113ON A N =
，所以111
33
AP A N AM ==， 所以
1
3
EF AP BC AM ==， 设3BC a =，则EF a =，3PN AO BC a ===，
由三棱柱性质知四边形11B C FE 是等腰梯形，如图，11PN B C ⊥，作11EH B C ⊥于H ，则3EH PN a ==，又11
(3)2
B H a a a =
-=，
所以1B E
，1111cos B H EB C B E ∠=
==． 由（1）知11B C 是平面1A AMN 的一个法向量，而11EB C ∠是1B E 与11B C 的夹角， 所以直线1B E 与平面1A AMN
所成角的正弦值等于11cos 10
EB C ∠=
．
【点睛】
本题考查证明面面垂直，考查求直线与平面所成角．求直线与平面所成角的方法： （1）定义法：作出直线与平面所成的角（证明），然后解三角形得到角；
（2）空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得出线面角的正弦值．
本题求线面角时，把两者结合，求出直线与平面的一个垂线的夹角的余弦值，从而得出线面角的正弦值，省略了建立空间直角坐标系，用推理代替了计算，也是一种求角的思路． 26．（1）证明见解析；（2321
. 【分析】
（1）根据题意及线面垂直的判定定理，可证明AB ⊥平面BCC 1B 1，即AB ⊥BC 1，根据勾股定理，可证明BC ⊥BC 1，即可证明BC 1⊥平面ABC ，根线面垂直的性质定理，即可得证； （2）如图建系，求得所需点的坐标，进而求得,BA BE ，1BC 向量坐标，即可求得平面ABE 的法向量m 的坐标，根据线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】
（1）证明：因为ABC 是直角三角形，所以AB ⊥BC ． 因为侧面11ABB A 是矩形，所以AB ⊥BB 1． 因为BC ∩BB 1＝B ，所以AB ⊥平面BCC 1B 1， 又因为1BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以AB ⊥BC 1．
因为BC ＝1，BB 1＝CC 1＝2，13BC 所以2
2
2
11BC BC CC +=，所以BC ⊥BC 1． 因为BC ∩AB ＝B ，所以BC 1⊥平面ABC ． 因为AC ⊂平面ABC ．所以BC 1⊥AC ．
（2）由（1）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，故以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BC 1为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则B （0，0，0），C （1，0，0），A （0，1，0），1302E ⎛ ⎝⎭
，，(1103B -，． (01302,1,0),BA BE =⎛ ⎝⎭
=，，1BC =（2，0，3- 设面ABE 的法向量为()111m x y z =，，，由00m BA m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111013
02
y x z =⎧⎪
⎨=⎪⎩，
，， 令z 1＝1，得()
301m =-，
，． 设直线B 1C 与平面ABE 所成角的大小为θ，则11sin m B C m B C
θ⋅=
⋅33321
27
=
=⨯ 所以直线B 1C 与平面ABE 321
． 【点睛】
解题是关键是熟练掌握线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，在用向量法求线面角时，法向量与直线的方向向量所成角的余弦值，即为线面角的正弦值，考查推理证明，计算求值的能力，属中档题.。