浙江版2018年高考数学一轮复习专题8.2空间几何体的表面积与体积测201711283129

第02节空间几何体的表面积与体积
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）
1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和
等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解析】
2. 【2016陕西质检二】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）
A．28π B．36π C．32π D．40π
【答案】B
【解析】由三视图所提供的信息可知该几何体是一个圆台和圆柱的组合体,故其体积
πππ363)42164(3
1
24=⨯⨯+++⨯=V ,应选B.
3．【2018届南宁市高三联考】三棱锥
中，
为等边三角形，
，
，三棱锥
的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4.【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据三视图可知，几何体是个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥
底面是等腰直角三角形，面积为，高为2，所以三棱锥的体积
，故组合体的体积
,故选A.
5.【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】在长方体
中，
，
，
，点在平面
内运动，则线段
的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
6.【河北省邯郸市高三上学期第二次模拟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．π22 C ．
3
π D ．23π
【答案】D
【解析】由三视图还原图像，得原图是两个一样的圆锥底面对在一起了， 所以2
12[(1)1]23
3
V ππ=⨯⨯⨯⨯=
. 7.【2018届贵州省黔东南州高三上第一次联考】在ABC ∆中，
02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=（如下图），若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）
【答案】D
故选：D ．
8.【广东省韶关市高三调研】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．
12 B ．1 C ．3
2
D ．3
【答案】C
【解析】由三视图易知，该几何体是底面积为
3
2
，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得133
3322
V =⨯⨯=.选C
9.【2017年福建省数学基地校】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的
，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率
π近似取为3，那么近似公式
，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
【答案】B
10. 【
2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）
正视图 侧视图
（A ）
12
33+π （B ）133+π （C ）136+π （D ）16
+π 【答案】C
【解析】由三视图可知,上面是半径为2的半球,体积为3
1142326V π⎛=⨯⨯= ⎝⎭
,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积211
1133
V =⨯⨯=,故选C.
11.【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】已知,,,P A B C 是球O 球面上的四
点， ABC ∆是正三角形，三棱锥P ABC -的体积为
30APO BPO CPO ∠=∠=∠=，则球O 的表面积为（ ）
A. 4π
B. 12π
C. 16π
D. 【答案】C
【解析】
12.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设球的半径为：r，由正四面体的体积得：
,
所以r=，设正方体的最大棱长为a，∴3=∴a=,
外接球的面积为
故选B.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

）
13.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
【答案】9 2
14.【2017届浙江省名校协作体高三下学期模拟】某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是_______，该几何体的表面积是_______.
【答案】 2
【解析】由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，其直观图如图所示，由棱锥的体积公式得，，侧面为直角三角形，侧面是以为底的等腰三角形，所以该几何体的表面积为
.
三棱柱111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，0
120ACB ∠=，
CA CB ==14AA =，则这个球的表面积为 ．
【答案】64π
15.已知直三棱柱111ABC A B C -中，0
90BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱
111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ．
【答案】4π
【解析】根据题意，设2BC m =，则有11
BB m
=
，从而有其外接球的半径为
1R =≥，所以其比表面积的最小值为4S π=. 16.【2018的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________． 【答案】9π
【解析】设3BC k =，则()20R k k =>， 体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点
都在半径为R 的球O 的球面上，
，得2k =或，4R ∴=，由题意知点E 为线段BD 的中点，从而在ODB ∆中， 4,6OD OB DB ===，解得 ∴当截面垂直于OE 时，截面圆的半径为，故截面圆面积最小值为9π，故答案为9π. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
（Ⅰ）求该几何体的体积V ； （Ⅱ）求该几何体的侧面积S .
【答案】（Ⅰ）64；（Ⅱ）22440)582
1
24621(2+=⨯⨯+⨯⨯.
18.（本题满分12分）【2017年福建省数学基地校】如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -中，
四边形ABCD 为梯形， AD BC ，且2
A D
B
C =.过1,,A C
D 三点的平面记为α， 1BB 与α的交点为Q .
(I)证明： Q 为1BB 的中点；
(II)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比
.
【答案】(1)见解析
(I)证明：延长1,AQ DC 交于P ，则P ∈平面1A ABQ ，
又P ∈平面ABCD ，平面1A ABQ ⋂平面
ABCD AB =， 所以P AB ∈因为1,,BQ AA ,AD BC ，即Q 为1BB 的中点． (II)如图所示，连接,QA QD .设1AA h =，梯形
ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下， BC a =，则2AD a =
.
所以V 下＝三棱椎 所以V 上＝四棱柱
19. （本题满分12分）【2018届衡水金卷全国高三大联考】如图，在三棱柱中，
平面，，，点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
试题解析：
（1）连接交于点，连接.
在三棱柱中，四边形是平行四边形.
∴点是的中点.
∵点为的中点，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
（2）∵，，
∴.
在三棱柱中，
由平面，得平面平面.
又平面平面.
∴平面.
∴点到平面的距离为，且.
∴
.
20．（本题满分12分）【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，
，为中点，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
（1）证明：连接，因为，，
所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，从而，
同理可证，因此，
由于四边形为正方形，所以，又平面平面，
平面平面，
故平面，从而，
又，故平面，所以..
(2)因为，
.
所以，三棱锥的体积为.
21．（本题满分12分）【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】如图，在四棱锥P ABCD
中， PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形， 60ABC ∠=， 1,PA PB E ==为PC 的中点
.
（1）求证： //PA 平面BDE ； （2）求三棱锥P BDE -的体积.
【答案】(1)见解析；
试题解析：（1）证：设AC BD O ⋂=，连接OE ，则//PA OE ， 又OE ⊆平面BDE ，且PA ⊄平面,//BDE PA ∴平面BDE .
（222．（本题满分12分）【2018届吉林省百校联盟高三九月联考】如图所示，四棱锥S ABCD -
中，平面SAD ⊥平面ABCD ， SA AD ⊥， //AD BC ， 24AD ==．
（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ； （2）若AB AC =，在（1）的条件下，求三棱锥S AED -的体积．
【答案】(1)见解析
试题解析：
（1）如图，取SB 的中点M ， SC 的中点E ，连接AM ， ME DE ，
∵ME 是BCS ∆的中位线，∴//ME = 依题意得， //AD = ，则有//AD = ME ，∴四边形AMED 是平行四边形，∴//ED AM ，
∵ED ⊄平面SAB ， AM ⊂平面SAB ，∴//ED 平面SAB ．
（2）∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =， SA AD ⊥， SA ⊂平面SAD ，故SA ⊥平面ABCD ， ∵E 是SC 的中点，
∴E 到平面ABCD 的距离等于S 到平面ABCD 的距离的一半，且SA ⊥平面ABCD ，
4SA =，
∴三棱锥E ACD -的高是2， E ACD S AED V V --=，
在等腰ABC ∆中， 3AC AB ==， 4BC =， BC 边上的高为
//BC AD ，∴C 到AD 的距离为。