高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》全集汇编附答案

【最新】《平面向量》专题
一、选择题
1．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r
，则AE BF ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．24
B ．7-
C ．10-
D ．12-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r
用基底,AB AD u u u r u u u r 表达,再根据平面向量的数量积公式求
解即可. 【详解】
由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12
BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r
,所以
1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13
BF AF AB AD AB =-=-u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r .
因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所
以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫
⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以
1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111
||||16(8)16126666
AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .
故选：D 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.
2．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r r
v v ，且||3a =v ||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为
（ ） A ．
3
π B ．
23
π C ．
6
π D ．
56
π 【答案】B 【解析】 【分析】
对a b a b +=-v v v
v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与
a b
-v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.
【详解】
因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .
如图，设AB a =u u u v v ，AD b =u u u v v
，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA ∠=，所以3
BDA π
∠=
，23
BDE π
∠=
.故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.
3．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r
方向上的投影为4-，则
向量BA u u u r 与AC u u u r
的夹角为（ ） A ．45° B ．60°
C ．120°
D ．150°
【答案】C 【解析】 【分析】
设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u
r 方向上的投影为cos =4BD α-u u u r
，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
【详解】
312AB AC ==，D 是AC 的中点，
则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r
方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r
的夹角为θ，
则cos =4BD α-u u u r
，
∴()
cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC
BA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC
α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r
u ur r u
，
故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】
本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
4．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b r
r
，则()a b R λλ=∈r
r
；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r
r r r r
r
④||||||a b a b +≥+r
r
r
r
；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r
，故②错误；
对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r 不共线，故③错误；
对于④：a b a b +≥+r r r r
，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r
，故⑤
错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
5．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．垂心
C ．重心
D ．内心
【答案】B 【解析】 【分析】
可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB
AC AB B AC C
λ+u u u r
u u u r
u u u
r u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线
上，从而得到结论．
【详解】
Q ()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 即()||cos ||cos AB AC
AP AB B AC C
λ=+u u u r u u u r
u u u r u u u
r u u u r ， Q cos BA BC B BA BC ⋅=u u u r u u u r u u
u r u u u r ，cos CA CB C CA CB
⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB AC
BC BC BC AB B AC C
⋅+=-+=u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC
AB B AC C
λ+u u u r u u u r
u u u
r u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r
，
∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.
故选：B ． 【点睛】
本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.
6．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =
6
AOC π
∠=
，动点P 在以点B 为圆
心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则43λμ+的最大值为（ ）
A ．2+
B ．3+
C ．5+
D ．7+
【答案】D 【解析】 【分析】
先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，再求出
7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为.
【详解】
如图所示，由2OA =，6
AOC π
∠=
，
由余弦定理得23
4+32231,1AC AC =-⨯⨯⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ， 又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，
∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
∴()
43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；
如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6
BAD π
∠=
,
所以22333333,,(2)()13222
AD DB OB =⨯
==∴=++=, 所以
7
2cos 13213
BOA ∠==
, 所以
1327213
OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ， 因为BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为32cos023⨯⨯=o ，
∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r ，||1b ≤r 且|3|2b a -≤r r ，则cos ,a b 〈〉r
r 的最小值是
（ ） A ．
1116
B ．
78
C 15
D ．
315
16
【答案】B 【解析】 【分析】
设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r
，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】
设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r
，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，
由|3|2b a -≤r r
，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示
则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉r
r 最小，则,a b <>r r 应最大，
此时()
222222min
4327
cos ,cos 22438
OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉
=∠===⋅⨯⨯r r .
故选：B. 【点睛】
本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.
8．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线
【答案】B 【解析】 【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】
因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r
所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,
因为5MN a b =+u u u u r r
r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r
由平面向量共线定理可知,MN u u u u r
与NQ uuu r
为共线向量,
又因为MN u u u u r 与NQ uuu
r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.
故选: B 【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
9．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r
方向上的投影为( )
A ．165
-
B ．
165
C ．1613
-
D ．
1613
【答案】C 【解析】 【分析】
先计算出16a b r r
⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b
⋅r r
r 可得
【详解】
()4,3a =r Q ，()5,12b =-r
，
4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r
，
则向量a r 在b r
方向上的投影为1613a b b
⋅-=r r
r ，
故选：C. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r
的夹角为θ，向量a r 在b r
方向上的投影为
cos a θ⋅r 或a b b
⋅r r
r
10．已知点1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜
角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
，则椭圆C
的离心率为（ ）
A 1
B ．2
C ．
1
2
D ．
2
【答案】A 【解析】 【分析】
由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，
,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】
将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即
12121
||2
MF MF OM F F c ⊥=
=，. 又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，13MF c =，∴23a c c =+，∴31c
e a
=
=-. 故选:A. 【点睛】
考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.
11．如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，
2OC =u u u v ，4tan 3
AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+，则m
n
等于（ ）
A ．
57
B ．75
C ．
37
D ．
73
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可． 【详解】
以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：
因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55
AOB AOB ∠=-∠=，，
∴A （1，0），B （34
55
-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴
41
3tan θ413
--=-=7，
又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ2，sin θ72
,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，
4
5
n ） 即
15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ． 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．
12．已知向量m =r
(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r
，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．
12
B ．2
C ．2
D ．﹣2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ222
26sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2
θ，代入tanθ可得答案. 【详解】
因为向量m =r (1，cosθ)，n =r
(sinθ，﹣2)，
所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r
因为m r ⊥n r
，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2
θ2222
2626226141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
13．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则
CP CB ⋅=u u u v u u u v
（ ） A ．13
B ．
12
C ．
23
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v
，再利用数量积的定义得解．
【详解】
依据已知作出图形如下：
()
11213333
CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v .
所以2
21213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v
2212
11cos 13333π=
⨯⨯⨯+⨯= 故选C 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于
中档题．
14．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，
则OP FP →
→
g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r
表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r
，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r
，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即2
2334y x =-，
所以()2222
23132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r
又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r
的最大值为6 故选：C 【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
15．已知向量m →，n →
的夹角为60︒，且1m →=，m n →→
-=n →
=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
设||n x →
=，利用数量积的运算法则、性质计算即可. 【详解】 设||n x →=，
因为1m →
=，向量m →，n →
的夹角为60︒， 所以2
213m n x x →
→-=-+=， 即220x x --=，
解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →
=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.
16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若
(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，则λ＋μ的值为（ ）
A ．
65
B ．
85
C ．2
D ．83
【答案】B 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，列
出方程组求解即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，
(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u r
CA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得65
2
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则85λμ+=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
17．已知向量OA u u u r 与OB uuu r
的夹角为θ，2OA =u u u r ，1OB =uu u r ，=u u u r u u u r OP tOA ，
()1OQ t OB =-u u u r u u u r ，PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，则当01
05
t <<时，夹角θ的取值范围为
（ ）
A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2,23ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．20,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，
()()22
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+，再由01
05t <<，可求得夹角θ的取值范围.
【详解】
因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r
，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()22
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ， ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ
+=+，又0105t <<，则
12cos 1054cos 5
θθ+<
<+，得1
cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，
所以223ππθ<<，
故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.
18．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r
，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
13
B
．3
-
C
．3
-
D ．13
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】
//a b ∴r r
1
cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫
∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.
19．已知向量a v ，b v
满足a v
||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值
为（ ） A
．
2
B
．
3
C
D
．
4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平方运算可求得12
a b ⋅=r r ，利用
cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】
由题意可知：222
2324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12
a b ⋅=r r
cos ,4a b a b a b ⋅∴<>===
r r r
r r r 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
20．已知单位向量,a b r r
满足
3a b +=r r
，则a r 与b r 的夹角为
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 【答案】C 【解析】
由3a b +=r r 22236913a b a a b b +=+⋅+=r r
r r r r ，
又因为单位向量,a b r r ，所以1632
a b
a b ⋅=⇒⋅=r
r r r ，
所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r
，且,[0,]a b π〈〉∈r r ，所以,3
a b π〈〉∈r r ，故选C.。